对数函数及其性质

1、2.2.2 对数函数及其性质对数函数及其性质 (1) P70 一般地，如果一般地，如果a(a0, a1)的的b次幂等于次幂等于N，就是就是axN ，那么数，那么数x叫做叫做以以a为底为底N的对数的对数， 记作：记作：logaNx.1.对数对数的定义的定义P62 ：（1）负数与零没有对数负数与零没有对数 （2）01loga（3）1logaa（4）对数恒等式： NaNalog2.几个常用的结论（几个常用的结论（P63） ：3.两种常用的对数（两种常用的对数（P62） ：（1 1）常用对数：以常用对数：以1010为底的对数为底的对数. . 简记作简记作lgNlgN（2 2）自然对数自然对数: :以以

2、e e为底的对数为底的对数. . 简记作简记作lnNlnN4 4积、商、幂的对数运算法则积、商、幂的对数运算法则P P6565：如果如果a a0 0，且，且a a1 1，M M0 0，N N0 0有：有：) 3( loglog)2(logloglog) 1 (loglog)(logR)(nMnMNMNMNMMNanaaaaaaa5.5.对数换底公式对数换底公式P P6666 ) 10(logloglogccaNNcca且两个推论两个推论: : 1loglog) 1abbabmnbanamloglog)2某种细胞分裂时，由一个分裂成某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，由个，由2个分成个分成4个个。

3、一个这样的细胞分裂一个这样的细胞分裂x次以后，得到的细胞个数次以后，得到的细胞个数y与分裂次与分裂次数数x的函数关系式可表示为（的函数关系式可表示为（ ），）， 如果把这个函数表示成对数的形式应为（如果把这个函数表示成对数的形式应为（ ） 如果用如果用x表示自变量，表示自变量，y表示函数，那么这个函数应为表示函数，那么这个函数应为（ ）y = 2 xy = log 2 xx=log2y引入新知：引入新知：函数函数y ylogloga ax x ( (a a0 0且且a a1)1)叫做叫做对数函数对数函数，定义域为定义域为(0,(0,) )例例1 求下列函数的定义域求下列函数的定义域:2log)

4、1(xya )4(log)2(xya x|x0 x|x0 x|xx|x40 (a0且且a1) a1) 的的图象和性质图象和性质: :思考思考1:函数图象分布在哪些象限？与函数图象分布在哪些象限？与y轴的相轴的相对位置关系如何？对位置关系如何？思考思考2:由此可知函数的定义域、值域分别是由此可知函数的定义域、值域分别是什么？什么？思考思考3:函数图象的升降情况如何？由此说明函数图象的升降情况如何？由此说明什么性质？什么性质？思考思考4:图象在图象在x轴上、下两侧的分布情况如何轴上、下两侧的分布情况如何？由此说明函数值有那些变化？由此说明函数值有那些变化？ 思考思考5:若若 ab1 ，则函数，则函

5、数 与与 的图象的相对位置关系如何？的图象的相对位置关系如何？ logayxlogbyx类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格： 图象特征 函数性质 函数图象都在 轴右侧 函数的定义域为 图象关于 和 不对称 向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为 函数图象都过定点（ ， ） 自左向右看，图象逐渐 自左向右，图象逐渐 第一象限的图象纵坐标都大于 第一象限的图象纵坐标都大于 第二象限的图象纵坐标都小于 第二象限的图象纵坐标都小于 1a 1a01a 1a0y思考底数是如何影响函数的（学生独立思考，师生共同总结）xy1o定义域( ( 0,+ 0,+ ) )值域R Rx 1,y

6、00 a 10 a 1a 1性 质1xy0图 象过定点在在( ( 0,+ 0,+ ) )上上减减在在( ( 0,+ 0,+ ) )上上增增单调性(1,0)(1,0)y 00 x 0y 00 x1, , y 0, y 1函数值函数值变化变化图像变化图像变化底数越大越靠近底数越大越靠近x轴轴底数越小越靠近底数越小越靠近x轴轴0log, 10 , 100log, 1, 1.xaxaxaxa0log, 1, 100log, 10 , 1.xaxaxaxa2.2.函数函数y=y=logloga ax x (a0 (a0且且a1) a1) 的的图象和性质图象和性质:P:P7171（1） ;（2） （3）

7、(a0，且a1).8.5log3.4,log222.7log1.8,log0.30.35.9log5.1,logaa例2、比较下列各组数中两个值的大小：（1）考查对数函数y=log2x，因为它的底数21,所以它在(0,+)上是增函数，于是log23.4log28.5.（2）考查对数函数y=log0.3x，因为它的底数满足00.3log0.32.7.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此，要对底数a进行讨论：当a1时，函数y=logax在(0,+)上是增函数，于是loga5.1loga5.9;当0aloga5.9.变式练习比较下列

8、各题中两个值的大小：(1) , (2) , (3) , (4) , 0(5) , 1 （6） ,10log610log80.5log 60.5log 423log 0.523log 0.61.5log 1.623log 0.532log223log 2七、学习小结：八、课后反思：九课后作业 1.课本习题 2 .完成资料上的相应ks5u精品课件1.解解:要使函数有意义要使函数有意义,则则:02x0 x即得：故函数的定义域为故函数的定义域为0 xx小结小结:求形如求形如 的函数定义域要的函数定义域要考虑考虑)(logxfya0)(xf例题与练习例题与练习例一例一 比较下列两个数的大小：比较下列两个

9、数的大小：4 . 3log25 . 8log2 和和解解: :考察对数函数考察对数函数y=logy=log2 2x,x,因为它的底数因为它的底数2 21,1, 所以它在所以它在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,于是于是loglog2 23.43.4loglog2 28.58.5 小结小结:1.:1.体现了函数思想的应用体现了函数思想的应用. . 2. 2.体现了分类讨论思想的应用体现了分类讨论思想的应用. . 小结小结:1. :1. 体现了数形结合思想的应用体现了数形结合思想的应用. 2. 2.“介值法介值法”体现了问题的转化思想体现了问题的转化思想. 例例7.比较下列各组数中两个

10、值的大小：比较下列各组数中两个值的大小：5 . 8log , 4 . 3log) 1 (227 . 2log , 8 . 1log)2(3 . 03 . 0) 1, 0(9 . 5log , 1 . 5log)4(aaaa5 . 1log , 5log)3(23 . 0题型四题型四:比较大小问题：比较大小问题：法法1:1:利用单调性利用单调性法法2:2:找中间值找中间值?要讨论要讨论图图象象a10a0, a1)(4) 0 x1时时, y1时时, y0(4) 0 x0; x1时时, y1时时y=ax是增函数是增函数当当 0a1时时y=logax是增函数是增函数当当0a1a1时时, ,从左向右看逐

11、从左向右看逐渐上升渐上升; ;当当0a10a1a1时时, ,在在R R上是增函数上是增函数; ; 当当0a10a1a1时时,x1 y0,x1 y0 0 x1 y0 0 x1 y0 (a0且且a1) a1) 的图象和性质的图象和性质: :(1)(1)都在都在y y轴右方轴右方; ;（2）图像不关于原点）图像不关于原点和和y轴不对称轴不对称(3)向向y轴正负方向无限轴正负方向无限延伸延伸(4)(4)都过点都过点(1,0)(1,0)图象特征图象特征: :(5)(5)当当a1a1时时, ,从左向右看逐从左向右看逐渐上升渐上升; ;当当0a10a1a1时时, ,在在R R上是增函数上是增函数; ; 当当0a10a1a1时时,x1 y0,x1 y0 0 x1 y0 0 x1 y0 (a0且且a1) a1) 的图象和性