排列组合概率随变量及其分布列

1、排列组合概率随变量及其分布列作者:日期:排列组合、概率、随机变量及其分布列Q1-抓f主命题方向慝猾定位除耳(2012 江苏，22)设 E 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，E=0;当两条棱平行时，E 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，E=1.(1)求概率 P(土 0);(2)求 E 的分布列，并求其数学期望 E(讥审题视点点 P 的坐标满足的条件 a-b=3,可知 1Wb=a3Wn3,从而确定点 P的个数.(2)由题意知 ab 是 3 的倍数，记 a-b=3k,由 1wb=a3kwn3k,再对 n 分类讨论.解(1)点 P 的坐标满足条件 1Wb

2、=a3Wn3,所以 An=n3.(2)设 k 为正整数，记 fn(k)为满足条件以及 ab=3k 的点 P 的个数，只要讨论 fn(k)1 的情形.由 1wb=a3kwn3k 知 fn(k)=n3k,且 kwn,设 n1=3m+r,其中 mCN*,r3c、帛一cJTJT3mm+1m2n3m3C011,2,则kwm,所以Bn=g1fn(k)=g1(n3k)=mn?=2，n1r,_将 m=n1代入上式，化简得3【应对策略】(1)准确分类与分步是解决排列组合问题的基础，选准方法是关键，备考中要强化常用方法的训练，反复理解体会解题中的数学思想与方法，但不要做太复杂的题目.(2)离散型随机变量的概率分布

3、与数学期望是建立在传统的概率问题的基础之上的内容,常以实际应用题的形式出现，与数学建模能力的考查结合在一起，考查学生的数学应用意识以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.解决这一类问题，一定要注意认真审题，不仅要能在弄清题意的基础上，迅速地寻找出正确的解题思路，还要能够规范的表述解题的过程.这些，需要在复习中引起足够的重视，注意做好针对性的训练，力求做到求解这一类问题时能够得心应手、准确无误.n1n26rr1所以 Bn=n1n26.栉BieBie l2MlSHIFANig!FAl2MlSHIFANig!FA.一Q2必备知识方法必必记学相长必备知识1 .两种计数原理分类计数原理和分步计数原理.

4、2 .排列,mn!(1)排列的定义；(2)排列数公式：An=n(n1)(n2)(nm+1)=(mWn,m,n、nm!、N*).3 .组合(1)组合的定义；(2)组合数公式：Cm=nnT2n-m+1=一立一(mwn,m,nCN*).m!m!nm!组合数T的质：cm=cm；cm+cfT1=cm+1.4 .概率、随机变量及其分布(1)离散型随机变量及其概率分布的表示：离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量；离散型随机变量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；性质：1pi0(i=1,2,3,，n);2p+3+p3+pn=1;(2)特殊的概率分布列：01 分布(两点分布)符

5、号表示：X01 分布；超几何分布：10 符号表示：XH(n,M,N);2 概率分布列：XH(r；n,M,N)=P(X=r)=2 曾；二项分布(又叫独立重复试验，波努利试验)：10 符号表示：XB(n,p);2概率分布列：P(X=k)=onpk(1-p)nk.注意：P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=r)+P(X=n)=1.必备方法5 .解排列、组合问题时注意以下几点：(1)审题分析是排列问题，还是组合问题，按照元素的性质分类，按照事件发生的过程分步；(2)分清运算的性质，只要是分类计数，就是加法运算，只要是分步计数，就是乘法运算，在综合问题中，常常在分类中有分步，在分步中有分类；

6、(3)要掌握定位排列的处理方法，掌握分类组合处理的思想方法；(4)排列、组合问题的答案较大时，不易直接验证，因此在检查结果是否正确时，应该着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可以通过一题多解验证结论.6 .概率、随机变量及其分布(1)求随机变量的概率分布的基础是求随机变量取各个可能值的概率，其中要注意随机变量取各个可能值的概率满足的性质.对于常用的两点分布、超几何分布、二项分布要熟练掌握.n(2)随机变量的均值(期望)：E(X)=.1xipi；03，热点命题角度折：二点歌破命题角度一与计数原理有关的问题【例 1】？(2011 江苏，23)设整数 n4,P(a,b)是平面直

7、角坐标系 xOy 中的点，其中 a,bC1,2,3,，n,ab.(1)记 An为满足 a-b=3 的点 P 的个数，求 An；、一一11(2)记 Bn为满足(ab)是整数的点 P 的个数，求 Bn.审题视点(1)点 P 的坐标满足的条件 a-b=3,可知 1Wb=a3Wn3,从而确定点 P的个数.(2)由题意知 ab 是 3 的倍数，记 a-b=3k,由 1wb=a3kwn3k,再对 n 分类讨论.解(1)点 P 的坐标满足条件 1Wb=a3Wn3,所以 An=n3.(2)设 k 为正整数，记 fn(k)为满足条件以及 ab=3k 的点 P 的个数，只要讨论 fn(k)1 的情形.由 1wb=

8、a3kwn3k 知 fn(k)=n-3k,且 kwn;,设 n1=3m+r,其中 mCN*,r3一一一.一.一，_mm3mm+1e0,1,2,则kwm,所以 Bn=g1fn(k)=g(n3k)=mn2nn3,n 是整数，63所以 Bn=n1n2n,不不是整数.63方法锦此计数原理问题中要计算点的个数，因此要根据条件对正整数的取值进行分类，弄清可能的取值类别，再根据加法原理进行计算.【突破训练 1】 (2012 江苏， 23)设集合 Pn=1,2,， n,nCN*.记 f(n)为同时满足下列条件的集合 A 的个数：A?Pn；若 xCA,则 2x?A;若 xC?PnA,则 2x?PnA.求 f(4

9、)；(2)求 f(n)的解析式(用 n 表示).m2n3m32将m=n1-r代入上式，化简得3n1n26rr1解当 n=4 时，符合条件的集合 A 为：2,1,4,2,3,1,3,4,故 f(4)=4.(2)任取偶数 xCPn,将 x 除以 2,若商仍为偶数，再除以 2,，经过 k 次以后，商必为奇数，此时记商为 m,于是 x=m 2k,其中 m 为奇数，kCN*.由条件知，若 mCA,则 xCA?k 为偶数；若 m?A,则 xCA?k 为奇数.于是 x 是否属于 A 由 m 是否属于 A 确定.设 Qn是 Pn中所有奇数的集合，因此 f(n)等于Qn的子集个数.当 n 为偶数(或奇数)时，P

10、n中奇数的个数是 2 或匕 2，命题角度二概率、相互独立事件和独立重复实验命题要点(1)等可能事件的概率(2)互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率【例 2】？(2012 南通模拟)某品牌设计了编号依次为 1,2,3,，n(n4,且 nCN*)的 n 种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择 i,j(0i,jn,且 i,jCN)种款式用来拍摄广告.(1)若 i=j=2,且甲在 1 至 ijm(m 为给定的正整数，且 2mn2)号中选择，乙在(m+1)到 n 号中选择.记Pst(1WsWm,m+1wtwn)为款式(编号)s 和 t 同时被选中的概率，求所有的 Pst的和；(2)求

11、至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率.审题视点首先求出两款的所有等可能基本事件的种数，再确定款式 s 和 t(1Wswm,m+1t4+2x1=1，444. LJEJUAhLAO&HIDINGNINLJEJUAhLAO&HIDINGNIN一W.阅卷老师叮咛注重之节：力争潴分4.概率问题中必须突破的两个关键点一、 分拆事件时一定要做到“不重不漏”.【例 1】？在一次数学考试中，第 21 题和第 22 题为选做题，规定每位考生必须且只须在 1其中选做一题,设 4 名考生选做这两题的可能性均为 2,求其中甲、乙二名学生选做同一道题的概率.解设事件 A 表示“甲选做第 21 题”，事件

12、B 表示“乙选做第 21 题”，则甲、乙 2 名学生选做同一道题的事件为“AB 十五百”，且事件 A,B 相互独立，11111.P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=巧 1+1 一 2X1=；老师叮咛：甲、乙二名学生选做同一道题是指同时选第 21 题或 22 题，因此设事件 A 表示“甲选做第 21 题”，事件 B 表示“乙选做第 21 题”，则甲、乙 2 名学生选做同一道题的事件为“AB+AB,二、搞清随机变量每个取值对应的随机事件并准确计算【例 2】?某校要举行一次演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 2,1,1,且各阶

13、段通过与否相互独立.设该选手在334比赛中比赛的次数为 E,求 E 的分布列和数学期望.解(1)记“该选手通过初赛”为事件 A,“该选手通过复赛”为事件 B,“该选手通过决赛”为事件 C,则 P(A)=2,P(B)=1,P(C)=!334E 可能取值为 1,2,3.21P(E=1)=P(A)=1-=-,33P(E=2)=P(AB)=P(A)P(B)=2X1-o=4,3392、/12P(E=3)=P(AB)=P(A)P(B)=3x3=9.E 的分布列为：1239 的数学期望 EG)=1X-+2X4+3X2=3999老师叮咛：搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事

14、件包含的各种情况，对概率类型的准确判定与转化是解题的基础和关键，准确计算是解题的根本，因此在备考中要多下功夫，养成思维严密、转换灵活、计算无误的好习惯5.训练1. 一个房间有 4 扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的.有一只燕子自开着的窗子飞入这个房间，它只能从开着的窗子飞出去，燕子在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间.燕子飞向各扇窗子是等可能的.(1)假定燕子是没有记忆的，求它恰好在第 2 次试飞时出了房间的概率；(2)假定这只燕子是有记忆的， 它飞向任一窗子的尝试不多于一次， 若这只燕子恰好在第刀次试飞时飞出了房间，求试飞次数刀的分布列及其数学期望.2. (2012 徐州质检)

15、一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记 2 分，投入蓝袋记 1 分，未投入袋记 0 分.经过多次试验，某人投掷 100 个飞碟有 50 个入红袋，25 个入蓝袋，其余不能入袋.(1)求该人在 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率；(2)求该人两次投掷后得分 E 的数学期望 EE.3. 某居民小区有两个相互才立的安全防范系统(简称系统)A 和 B,系统 A 和 B 在任意时刻发.一、.i.1 一生故障的概率分力1J 为 77 和 P.10(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 49,求P的值；(2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量巳求 E 的概率分布列及数学

16、期望 EE.4(2012 无锡五校联考)无锡学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有 2 人，会跳舞的有 5人，现从中选 2 人.设 E 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且_7P(0)=10.(1)求文娱队的队员人数；10(2)写出七的概率分布列并计算 E(讥5 .学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球，2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球，2 个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在一次游戏中摸出 3 个白球的概率；获奖的概率.(2)求在两次游戏

17、中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X).6 .(2012 南师附中信息卷)为拉动经济增长，某市决定新建一批基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目个数分别占总数的1,1,现在 3 名工人独立地236从中任意一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率.(2)记 X 为 3 人中选择的项目所属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求 X 的分布列及数学期望.1(2)两次投掷得分七的得分可取值为 0,1,2,3,4 则：P(0)=P(C)P(C)=16；P(a1)=C2P(B)P(C)=2X1X1=1；P(E=2)=C2P(A)P(C)+P(B)P(B)=

18、：5；44o16111.解参考答案1(1)由题息可知：燕子每次试飞出了房间的概率均为-.113所以燕子恰好在第 2 次试飞时出了房间的概率 P=1-*14416_,1C、311P(2)=45=43211P(3)=432=4321.1P(n=4)=4321=41234P111144442.解(1) “飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记为事件_.501251则P(A1而=2,P(B)=P(C)=赤=4.因每次投掷飞碟为相互独立事件，故 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率为A,B,C.P4(3)=C331-11214.彳 11P(43)=C2P(A)P(B)=4；P(g4)=P(

19、A)P(A)=4，E($=0X-+1X：+2X 盘+3*工+4*!=、16816442(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么1P(o)=12p=59.解得 p=5-10505，一 C1(2)由题意，P(E=0)=C3P(X=2)=今=急所以 X 的分布列是X012P9214910050100123.解1101p(41)=C310,11027c112)=C3W1-WQ1QP(43)=031而3=100024310007291000.4.解人5.解七0123P1100027100024310007291000E(尸 0 x,+1xZ+2x9+3xE=27E()0100010001000100010.730 弓2x3PO0)=P(登 1)=1P(土 0)=10，-p(=0)=,即oiq=7Q.7-2x6-2x3 一:62X=号，解得 x=2.故文娱队共有 5 人.7x6x10C2o33 口一。、C21(2)”)=丁=5,P(e2)=0F 而，卫012P33110510.E(=0X+1X3+2X=4105105.人-4,、，士小C2C2(1)设在 1 次游戏中摸出 i 个白球为事件 Ai(i=0,1,2,3