拉氏变换与反变换

1、2.5拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。2.5.1 拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间t为自变量的实变函数f"),它的定义域是t2°,那么f")的拉普拉斯变换定义为式中，s是复变数,63均为实数)，Fs=Lft±0ftedt(2.10)et°称为拉普拉斯积分；F(s)是函数f(t)的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通

2、常也称F(s)为f(t)的象函数，而称f为F(s)的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。式(2.10)表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数F(s)2.5.2 几种典型函数的拉氏变换1 .单位阶跃函数1的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为1(t四(t:二0)(t-0)单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在的不变量。单位阶跃函数的拉氏变换式为t=0时刻突然作用于系统一个幅值为F(s)=L1(t)=当Re(s)>0,则timeT0。所以狈小一总&q

3、uot;用(。一炉0=!0-(2.11图2.7单位阶跃函数2 .指数函数/口=e7的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中片是常数。汽日)=小刃二匚皿广业=小一也令一-则与求单位阶跃函数同理，就可求得F(s)=Wm=-=料一(2.12)3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设工3=而破,力二8£飙，则骂二Zfsin收二(sin魏仁.”出由欧拉公式，有sin就=2所以_111物无1s书一e0s+jo0°【aes-jo0=j"2dt.re'sjWehdt】111©一八-,一2，22js-%s+j。/s+co同理4.单位脉冲函数不）的拉氏变换(2

4、.13)玛(，)=Zcosci=3(2.14)5“十出1单位脉冲函数是在持续时间好式2°）期间幅值为工的矩形波。其幅值和X苫一作用时间的乘积等于1,即2。如图2.8所示图2.8单位脉冲函数单位脉冲函数的数学表达式为5(£)*飞(£,饼比/1-、litii-(。ECF)7ET其拉氏变换式为G）二中创二J；吧;产出Inn(edi此处因为£二小时，岚£）二°,故积分限变为°TE。5 .单位速度函数的拉氏变换单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为（£<0）（CQ）见图2.9所示图2.9单位速度函数F（s）=把

5、7T单位速度函数的拉氏变换式为'九利用分部积分法-5t所以当R&>>0时吧Lt。,则(2.16)6 .单位加速度函数的拉氏变换单位加速度函数的数学表达式为10（看<0）9口。）如图2.10所示图2.10单位加速度函数其拉氏变换式为尸£(Rek>Q)(2.17)2.5.3拉氏变换的主要定理但利用以下的定理，则对根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换,一般的函数可以使运算简化1.叠加定理拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性（1）齐次性设上LA以二年），则七4«)3®(2.18)式中常数（2）叠加性设工/（

6、£）=/，£/式，）=月,则£【工0十工二耳十鸟（2.19）两者结合起来，就有上口）十蜕（3二喇十蝠0）这说明拉氏变换是线性变换。2彳散分定理设二二”则L誓=力0）-（。）式中广）函数）在上二口时刻的值，即初始值。同样，可得为）的各阶导数的拉氏变换是（2.20）41=£*同次。）一/（0）dlJrL二百“一一"今/f吸6山JF式中尸，二，原函数各阶导数在£=0时刻的值。如果函数丁（力及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始条件），则各阶导数的拉氏变换为方=娘I/%）卜/风功（2.21）3.复微分定理若丁e可以进行拉氏变换,则除了在歹的极

7、点以外，.,dLtft.1-Fsds(2.22)式中，个-/'.J.同样有d2ds2般地，有LlfOR-1忌F(s)sn=1,2,3,(2.23)4.积分定理设力。卜加）,则(2.24)式中积分在上二°时刻的值。当初始条件为零时，(2.25)对多重积分是IT=4秋口广仲(2.26)当初始条件为零时，则(2.27)5.延迟定理设比/二尸，且时，/W-0,则(2.28)函数/G一门为原函数，沿时间轴延迟了匚，如图2.11所示图2.11函数/(£-6.位移定理在控制理论中，经常遇到1g7(上)一类的函数，它的象函数只需把国用口+幻代替即可，这相当于在复数S坐标中，有一位移

8、白。设力初二出),则小(2.29)例如mem的象函数占上。3金卜、,则丁。营业的象函数为s+生L£一出亡小£4i=-L6+4+"7 .初值定理它表明原函数在£=0时的数值。lirn%)=lirn小(2.30)即原函数的初值等于后乘以象函数的终值。8 .终值定理设力初并且配出存在，则lun/(£)=j(w)=lim§尸(s)田x(2.31)即原函数的终值等于三乘以象函数的初值。这一定理对于求瞬态响应的稳态值是很有用的。9 .卷积定理设内&>F(s),见阅=必)，则有£"(>一-Q.32)即两个原函

9、数的卷积分的拉氏变换等于它们象函数的乘积。为卷积分的数学表示，定义为式(2.32)中，*)W)/1Hg2f司宫向df10.时间比例尺的改变/(-)(2.33)式中匚比例系数L=,（金/）=J方升1,则JM2，的象函数为11.拉氏变换的积分下限在某些情况下，/（力在£=0处有一个脉冲函数。这时必须明确拉普拉斯积分的下限是0一还是°，,因为对于这两种下限，的拉氏变换是不同的。为此，可采用如下符号予以区分：仙卜工川广也若在2=0处/4包含一个脉冲函数，则因为在这种情况下£7族-%丰o显然，如果在£三。处没有脉冲函数，则有3口=九702.5.4拉普拉斯反变换拉普

10、拉斯反变换的公式为ft=L'仁(s)1=c1二st一F(s)eds(2.36)1式中L-表示拉普拉斯反变换的符号通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数f"1 .部分分式展开法在控制理论中，常遇到的象函数是目的有理分式但二也：NB4F十蛤+十九至+品尸占）=1为了将耳写成部分分式，首先将的分母因式分解，则有肝=%，.+文十."十嶷式中，*i,a，,*整是用（£）=。的根的负值，称为上好）的极点，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。2 .鹏力的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换彳

11、.34f十4/T+十鼠_产+鼠尸（s）=/（总+P1X苗+外）（S+尸。一巧"4L+得（2.37）式中，鼻是待定系数，它是“二一必处的留数，其求法如下4=f（占十Pi）LtL"Lf（2.38）再根据拉氏变换的迭加定理，求原函数=riF（s）=£-1=£4产J-ls4声1J*1.,12=j例2.1求须一2）的原函数。解:首先将声的分母因式分解，则有一£2£工£+24j4n/营F=-7=-k+s（sa-s-）s（s-3）（s+2）ss-3s+24=尸=二-Y式s-3)(g-2)£一s-I-2(s+2)G一+2)即得3s

12、15s-35才十2Z11>“”忻二”-万15s-3J+L41、：5占+2,，+为+A3155a20)3.'”含有共轲复数极点时的拉氏反变换如果®（s）有一对共腕复数极点一外，f,其余极点均为各不相同的实数极点。将F展成如'+91产+十如旨也（ff+Pi）O+a）（ff+冷）（£+芦,）乂产+当4+A式中，4和劣可按下式求解修姓一醍且卢+A2A-+0-Wl）（£斗声。£4%忸（£）0+Pl）（£+%）-即'-一：+)(ff+Pg)尚工(2.39)因为一尸1（或一是复数，故式（2.39）两边都应是复数，令等号

13、两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联立求解，即得A,a两个常数。耳=例2.2已知4.-州，y-工，试求其部分分式。F0=解：因为式£+依+）0+网一为）（2.40）含有一对共腕复数极点a=-眄一包卓=一通+明和一个极点色=。，故可将尸二式（2.40）因式分解成0+依+/*+第一1%)s(2.41)以下求系数同、4和月。由式（2.40）和式（2.41）相等，有A司£+当自0+依+磔）e+砥-J/）（挈+依+内）0+做-，）卜4S(2.42)（"依+M）G+必-.）乘以上式两边，并令”一他一，得到耳=4+4§k-r-j9一阿|厘二4（-四一陶）+a一依

14、一的上式可进一步写成F纵二-AU4+4<吗二-AG一网+=-4网+4-谒褊由上式两边实部和虚部分别相等，可得联立以上两式，可求得A=-14二一2落为了求出系数勺用后乘方程（2.42）两边，并令£=。，将为=4尽1代入,0+依+)0+，4-j稣)SJft一(巡14Ml)Co缘-j/)=1<!endif>将所求得的4,4,当值代入（2.41）,并整理后得开的部分分式0+他+1%)6+网_%)5+眄=£佰+两尸+痛8+陶+/查拉氏变换表使得/忸/,结果见式（3.16）。百例2.3已知式一+al）求丁。解：将尸的分母因式分解，得、序_144斤+当严产-I-f,1.

15、出”1，布、G十吕+144W-一2222一Og+1)於+HD砰利用方程两边实部、虚部分别相等得解得4=7,4=°所以耳二s+l£(d+£+1)这种形式再作适当变换:查拉氏变换表得1s+2)4导+队(2.43)式中，An?4心，L的求法与单实数极点情况下相同。4,的求法如下：41=忸1）（3+次）1f/(/)=1-ecos-£4-0.57esin-£(£>0)4.因§中含有重极点的拉氏反变换设=口有r个重根,则卜由$1n卢称+-FbW+1科”1！?rf将上式展开成部分分式p(s=&4.(s+pj(s+Pof-15

16、一而50立+小厂,5-一武=;T-F（S）（S+户巾了%）二厂3阈=+4+4(r-2>卬十同一遇一安川+4广心cz>0）(2.44)例2.4设解：已知含有2个重极点，可将式（2.45）的分母因式分解得以下求系数4、且和4。-Ai=s(s-F)Sr)产一鼻-412(dds|_s(s+R)(2.45)(2.46)将所求得的"九、4值代入式（2.46）,即得虫的部分分式（3J-11尸3-7一4V+-十%）-了查拉氏变换表可得.；1：。9®=例2.5求（£*2尸（后41）的拉氏反变换。解：将不展开为部分分式口=A旦(s+2rk+2)-上式中各项系数为(占+2%

17、+1)（皆十2y-2+3-2+1+值+2炉(占+1)J（g+3）心+1）-（抖3）（占-1）I值十犷J=2飞十1）b+2)于是炉=1+2>(自+2)+占+1查拉氏变换表，得ft)g+n*肝+z*q之u)5.用MATLAB展开部分分式(1)概述MATLA是美国MathWorks公司的软件产品，是一个高级的数值分析、处理与计算的软件，其强大的矩阵运算能力和完美的图形可视化功能，使得它成为国际控制界应用最广的首选计算机工具。SIMULINK是基于模型化图形的动态系统仿真软件，是MATLAB勺一个工具箱，它使系统分析进入一个崭新的阶段，它不需要过多地了解数值问题，而是侧重于系统的建模、分析与设计

18、。具良好的人机界面及周到的帮助功能使得它广为科技界和工程界所采用。(2)用MATLAB进行部分分式展开MATLAEW一个命令用于求B(s)/A(s)的部分分式展开式。设s的有理分式为F=也/十寸+4式中弓(i=L"j"J/(j=L"M)的某些值可能为零。在MATLAB勺行向量中，numffiden分别表示F(s)分子和分母的系数，即num=-t-den=1"='：命令r,p,k=residue(num,den)MATLAB!按下式给出F(s)部分分式展开式中的留数、极点和余项：F=r+1+制+牛)占一中(1)w-p"Pg上式与式(2.3

19、7)比较,显然有p(1)=-pi,p(2)=-p2,，p(n)=-pn；r(1)=A,r(2)=A,，r(n尸A;k(s)是余项。例2.6试求下列函数的部分分式展开式S44心439+52白+26F0-7/105+35?+505+24解：对此函数有num=111395226den=110355024命令r,p,k=residue(num,den)于是得到下列结果r,p,k=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.00000.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1则得-30.5十皿、/+1逐+399+52白+2&12.5声G=-

20、rt7=+-一一+10/+351+50£+24s+4工+Ws+2s+1如果F(s)中含重极点，则部分分式展开式将包括下列诸项r。)rU+D式中，P(j)为一个q重极点。例2.7试将下列函数展开成部分分式s+4s+&解：对于该函数有num=0146den=1331命令r,p,k=residue(num,den)将得到如下结果：r,p,k=residue(num,den)r=1.00002.00003.0000P=-1.0000-1.0000-1.0000k=所以可得注意，本例的余项k为零。2.5.5应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：（1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为s