抛物线及标准方程测试卷

1、典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程.（1）x2=4y（2）x=ay2（a#0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p,再写出焦点坐标和准线方程.（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程.解：（1）;p=2,.焦点坐标是（0,1）,准线方程是：y=1（2）原抛物线方程为：y2=1x,2p=aap1当a>0时，"=，抛物线开口向右，24a11焦点坐标是（，,0）,准线方程是：x4a4a当a<0时，=-,抛物线开口向左，24a1、，、，1 焦点坐标是（，,0）,准线方程是：x1、，、一（,0）,准线

2、方程是:4ax=一4a4a4a2综合上述，当a#0时，抛物线x=ay的焦点坐标为典型例题二例2若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2,求此直线方程.分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k.'y=kx222解法一：设Aloy，、B（x2,y2），则由：,2可得：kx一（4k+8）x+4=0.y=8xJ1 直线与抛物线相交，k#0且>0,则k>1. AB中点横坐标为：,x1+x2=4k：8=2,2k2解得：k=2或k=1（舍去）.故所求直线方程为：y=2x-2.22

3、斛法一：设A%,%）、B（x2,y2）,则有y1=8x1y2=8x2.两式作差解：(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),即-y-=X1一X2y-|y21x1+x2=4二y1+y2=kx12+kx22=k(x1+x2)4=4k4,8k=故k=2或k=-1(舍去).4k-4则所求直线方程为：y=2x2.典型例题三例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.2c，-.AB分析：可设抛物线万程为y=2px(p>0).如图所示，只须证明=MM1，则以2AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.证明：作AA，l于A,BB1_Ll于B.M为AB中点，作MM1_Ll于Mi,则由抛物线的

4、定义可知：AAil=|AF|,|BBi|=|bf在直角梯形BB1AA中:111MM1|=-(AA1+BB1|)=-(|AF|+|BF)=-|AB.1一，二MM1=一AB,故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.2说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，的圆与相应的准线相交.典型例题四例4(1)设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3<5,求k值.(2)以(1)中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为时，求P点坐标.分析：(1)题可利用弦长公式求k,(2)题可利用面积求高，再用点到直线距离求坐标.解：(1)由2=4"x得：4x2+(

5、4k-4)x+k2=0、y=2x+kk2设直线与抛物线父于A(x1,y1)与B(x2,y2)两点.则有：x1+x2=1-k,x1x2=一46若线段PP2为抛物线C:y2=2px(p>0)的一条焦点弦，F为C的焦点，求证：二AB|=v'(1+22)(x1-x2)2:闵x1+x2)24x1x2=国1-k)2k2=v'5(1-2k)-AB=3&"75(1-2k)=3底,即k=H_八、，、.296.5(2)-Sa=9,底边长为3.5,，二角形(Wjh=彳=3、55丁点P在x轴上，设P点坐标是(,0)则点P到直线y=2x-4的距离就等于h,即%-0二4=51.22

6、125二%=-1或x0=5,即所求P点坐标是(一1,0)或(5,0).典型例题五例5已知定直线l及定点A(A不在l上)，n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对称点为P,求证P的轨迹为抛物线.分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PA=PN且PNH即可.证明：如图所示，连结PA、PN、NB.由已知条件可知：PB垂直平分NA,且B关于AN的对称点为P.AN也垂直平分PB,则四边形PABN为菱形.即有P

7、A=PN.AB_l.PN_l.则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线.典型例题六112r=Pf|p,f|p分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的.我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理,把结论证明出来.证法一：vF(-P-,0),若过F的直线即线段则有P1F=P2F二P,PFP2F也可以用抛物线的定义与平面几何知识,PP2所在直线斜率不存在时,若线段PP2所在直线斜率存在时，设为k,则此直线为：y=k(x卫)(k00),且设2P(xi,yi),P2(x2,y2).y=k(x-y)由得：k2x2-p(k2+2

8、)x+y=k(x-与)2122kp=042_xx_p(k2).xx2k2Pxix2二4根据抛物线定义有：PiF=xi与p2f.P1P2=x+x2+piiPF|BFT=xix2pPiF|P2F|"|F|P2F|(xixix2p2xix2(xix2)24请将代入并化简得:iJ-.2HF2A、B点，由抛物线证法二：如图所示，设Fi、F2、F点在C的准线l上的射影分别是不妨设耳P；=n<m=PiP',又设耳点在FF'、RP'上的射影分别是定义知，P2F|=n,PF=m,FF'=p又AP2AFs耳BP,，"AF=%F|bp|p2Pl即m-nmnp

9、(mn)=2mn112十一mnp故原命题成立.典型例题七,求证：焦点例7设抛物线方程为y2=2px(p>0),过焦点F的弦AB的倾斜角为a弦长为AB=2p.sina分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.证法一：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(,0),2过焦点的弦AB所在的直线方程为：y=tana(x-)y=tan：(x-p)由方程组y(2)消去y得：y2=2px2.222.24xtan-4p(tan-)ptan=0.,.2.一p(tan口十2)小2、x1+x2=2=p(1+2cota)设A(xi,yi),B(x2,v2，tan«x1x2十又

10、y1y2=tan(xi-x?)二AB=q'(1+tan2a)(x1-x2)2=(1tan2-)(x1x2)2-4x1x2I二.(1tan2：)p2(1cot2：)-4p2,2,22、二.sec-4pcot-(1cot-)21sin4:2P.2一sin2p即AB=2sina证法二：如图所示,分别作AA、BB1垂直于准线l.由抛物线定义有:AF|=AA1=AFcosa+pBF|=BB1|=p-BFcosa于是可得出：AF=-BF=-1-cos。1+cosa,AB|=AF+BF.pp1。cos二1cos;2P一2.1-cos-2P一2一sin-故原命题成立.典型例题八例8已知圆锥曲线C经过定

11、点P(3,2J3),它的一个焦点为F(1,0),对应于该焦点的准线为X=-1,过焦点F任意作曲线C的弦AB,若弦AB的长度不超过8,且直线AB22与椭圆3x+2y=2相交于不同的两点，求(1) AB的倾斜角8的取值范围.(2)设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程.分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其斜率为k,弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得日的取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简即可.解：(1)由已知得PF|=4.故P到x=1的距离d=4,从而PF=d曲线C是抛物线，其方程为y2=4

12、x.设直线AB的斜率为k,若k不存在，则直线AB与3x2+2y2=2无交点.，k存在.设AB的方程为y=k(x-1)2/,y=4x一一o一由,可得：ky4y4k=0y=k(x1)y1y2=-4设A、B坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则:AB=,：(1+yi-y2)1k22k(y1y2)一4yly24(1k2)2、二二1)得:3x+2y=2弦AB的长度不超过8,4(12k)宅8即k2>1k2_2_22_2(2k23)x2-4k2x2(k21)=0AB与椭圆相交于不同的两点，k2<3由k2至1和k2<3可得：1Wk<J3或一J3<kw1故1<tan&l

13、t;73或-<3<tan0<-1又0<n，所求日的取值范围是：-<e<土或空<日m竺4334(2)设CD中点M(x,y)、C(x3,y3)、D(x4,y4)y=k(x-1)2222由22得：(2k2+3)x24k2x+2(k21)=02(k2-1)2k233x2+2y2=24k2x3x4-2,x3x1二2k3x3x42k2x=二%22k233x=1-22k2321<k2：二3.5M2k23：二9,212r22则2W1-1-<-gp2<x<-.52k233532k2.x=22k322(x-1)23化简彳导:3x22y23x=022

14、，所求轨迹方程为：3x2y-3x=0（x；一）53典型例题九求AB的中点到y轴例9定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2=x上移动,的距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标.分析：线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值.这是中点坐标问题,因此只要研究A、B两点的横坐标之和取什么最小值即可.解：如图，设F是丫2=乂的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD,又M到准线的垂线为MN,C、D和N是垂足，则DB11-MN=(AC+211.一1BD)=(AF+BF)之一22AB=-2设M点的横坐标为x,纵坐标为y,MN1,3=x+一,则x至一一等式成立的条件是AB过点F.5._21

15、.当x=一时，y1y2=P=，故44,、2221人(y1+y2)=y+y2+2y1y2=2x-二=2,2y+y2=±J2,y=±-525所以M(,士),此时M到y轴的距离的最小值为一.424说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简.典型例题十例10过抛物线y=2px的焦点F作倾斜角为9的直线，交抛物线于A、B两点，求AB的最小值.分析：本题可分日再求范围.解：(1)若日=,2=一和日丰一两种情况讨论.当22一H,.日#5时，先写出AB的表达式,此时AB=2p.n.(2)若日#一，因有两交点，所以日#0.2AB:y=tan9(x-),即x=+2t

16、an二2代入抛物线方程，有y2-2p-yp2=0.tan?.224P.2.22-故(y2一y1)=2+4p=4pcscy,tan122r(X2-Xi)(y2-y1).2csc丁,2门-4p.2Atanvtan-故AB?=4p2csc2“1+所以AB=2Psin2f12_4t)=4pcsc?tanfji>2p.因a0一,所以这里不能取“2综合(1)(2),AB最小值=2p说明:(1)此题须对8分日=一和#一两种情况进行讨论；22(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为l=与£；sin-(3)当9=时，AB叫做抛物线的通径.通径2是最短的焦点弦.典型例题旺例11过抛物线y2=2px

17、(p>0)的焦点F作弦AB,l为准线，过A、B作l的垂线,垂足分别为A、B,则/AFB为()，ZAFB为().A.大于等于90°B.小于等于90°C.等于90°D不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切.解：点A在抛物线上，由抛物线定义，则aa'|=AF|=/1=/2,又AA'x轴=Z1=/3.Z2=/3,同理Z4=/6,而/2+N3+/6+/4=180*,.N3+/6=90：NA'FB'=90：选C.过AB中点M作MM_Ll,垂中为M,则MM'=(AA,|+BB'|)=-(AF|+|BF)=1|AB.以AB为直径的圆与直线l相切，切点为M'.又F在圆的外部，/AFB<90，特别地，当AB_Lx轴时，M与F重合，/AFB=90*.即/AFB£901选B.典型例题