5.4.1-同角三角函数基本关系式

1、2013年6月13日 1、 如图，设点P(x,y)为角终边上的任意一点，点终边上的任意一点，点P到原到原点的距离点的距离 ，那么角的正弦、余弦、正的正弦、余弦、正切分别定义为切分别定义为:)0(22ryxrxyOP(x,y)Mr知识回顾知识回顾.),2(Zkkaasin;ryacos;rxatanxyRR2.2.象限角的三角函数值的符号象限角的三角函数值的符号xyo全正全正记忆记忆: :一全正一全正 二正弦二正弦 三正切三正切 四余弦四余弦tansincos归纳探索30 45 60 sin cos tan 123233222213212322sincos sincos 1113313 探索引入

2、探索引入规律猜想：那么我们怎样证明它呢？1cossin22cossintan在初中，公式中的角为锐角！对任意角这些公式是否成立？sintancosyyrxxr 平方关系和商数关系平方关系和商数关系sin2 cos2 (sin)2 (cos)2yrxrx2 2 y2 2 r2 2，sin2 cos2 1R22rxyP(x，y)xyOrsincostanyrxryx；1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式1cossin22 称为平方关系称为平方关系 tancossin 称为商数关系称为商数关系 文字表述为：同一个角的正弦、余弦的平方和等于文字表述为：同一个角的正弦、余

3、弦的平方和等于1 1，商等于这个角的正切商等于这个角的正切. . 思考：思考：平方关系和商数关系平方关系和商数关系是反映同一个角是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？式，如何用文字语言描述这两个关系？ 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式平方关系：平方关系：22sincos1 ，sintancos，商数关系：商数关系：学习数学公式需要做学习数学公式需要做好哪几件事？好哪几件事？第一件事：第一件事：记住它！记住它！注意：注意：()2222sinsinsinsinsin写成写成的平方，不能将的

4、平方，不能将的简写，读作的简写，读作是是学习数学公式需要做好哪几件事？学习数学公式需要做好哪几件事？ 记住它！（通过分析式子的结构来记忆）记住它！（通过分析式子的结构来记忆） 明确公式成立的条件明确公式成立的条件（何时（何时“不必疑不必疑”？）？） 思考：这两个等式中角是不是可以取任意的角？如果不是，角的范围是多少，是因为什么？sin 270cos270sin90cos90sin( 90 )cos( 90 )sintancos那么在 中呢？先计算下列各式：在 这个等式中， 的取值范围是什么呢？22sincos1分母不能为零所以在 中，,2kkzsintancos公式成立的条件R学习数学公式需要

5、做好哪几件事？学习数学公式需要做好哪几件事？ 记住它！（通过分析式子的结构来记忆）记住它！（通过分析式子的结构来记忆） 明确公式成立的条件（何时明确公式成立的条件（何时“不必疑不必疑”？）？） 熟悉公式的变形熟悉公式的变形（换马甲）（换马甲）哈哈哈哈我换了个马甲！我换了个马甲！小样！别以为你小样！别以为你换了个马甲我就换了个马甲我就认不出你了！认不出你了！“同角同角”二层含义二层含义: 角相同；角相同； 与角的表达形式无关与角的表达形式无关你试试你试试判断正误：判断正误：（4）22sin 30cos 30122sin 60cos 301sin 45tan 45cos 45sin60tan30c

6、os30（1）（3）（2）知识探究：知识探究：基本变形基本变形 对错错对注意：这两个基本关系式必须用在同一个角中的特点公式1cossin.122移项变形：移项变形：2222cos1sinsin1cos常用于正弦、余弦函数常用于正弦、余弦函数的相互转化，相互求解。的相互转化，相互求解。注：注：在开方时，由角在开方时，由角 所在的象限来确定开方后的符号。所在的象限来确定开方后的符号。即即在一、二象限时，当在三、四象限时，当22cos1cos1sin是一、四象限时当是二、三象限时，当,sin1sin122cos知识探究：知识探究：同角公式基本变形同角公式基本变形 的特点、公式tancossin2变形

7、：变形：tansincos由正弦正切，求余弦由正弦正切，求余弦tancossin由余弦正切，求正弦由余弦正切，求正弦tancossin由正弦余弦，求正切由正弦余弦，求正切注：注：所得三角函数值的符号是由另外两个三角所得三角函数值的符号是由另外两个三角函数值的符号确定的。函数值的符号确定的。学习数学公式需要做好哪几件事？学习数学公式需要做好哪几件事？ 记住它！（通过分析式子的结构来记忆）记住它！（通过分析式子的结构来记忆） 明确公式成立的条件（何时明确公式成立的条件（何时“不必疑不必疑”？）？） 熟悉公式的变形（换马甲）熟悉公式的变形（换马甲） 熟悉公式的一些典型应用熟悉公式的一些典型应用 熟悉

8、应用公式时的易错点熟悉应用公式时的易错点公式运用题型公式运用题型已知一个角的一个三角函数值，求已知一个角的一个三角函数值，求这个这个角的其它几个三角函数值。角的其它几个三角函数值。sincostan同角三角函数关系1cossin22cossintan学会由所在的象限确定三角函数值的符号例题已知 且 是第二象限角，求4sin,5cos ,tan .解题回顾解题回顾例例1 1 已知已知 ，且，且 是第二象限的角，是第二象限的角，求求 和和 . . 54sinaaacosatan 1cossin22aa259)54(1sin1cos222aaa0cosa53cosa345354cossintanaa

9、a解：由公式，有 又又是第二象限的角， 开平方运算，开平方运算，必须要明确必须要明确角所在象限角所在象限 练习1 已知 ，且 为第三象限的角，求 4cos5sin,tan33(sin,tan)5422222sincos149sin1 cos1525sin03sin5sin343tan() ()cos554 （- ）又是第三象限的角。解:同角三角函数关系1cossin22cossintan例题由已知确定所在的象限是正确解题的关键的值，求变式训练、已知tan,cos54sin的值，求变式训练例题、已知tan,cos54sin解解：当当 是第一象限角时是第一象限角时， 0cos53259cos343

10、554cossintan当当 是第二象限角时，是第二象限角时，0cos53259cos34)35(54cossintan自我反思：自我反思：在象限决定所得结果的符号由角所得得解：由34cossintan53sin1cos54sin2得由1cossin220sin53sin1cos2是第一或第二象限角角(1)(2)分类讨论分类讨论解题回顾解题回顾同角三角函数关系1cossin22cossintan练习2 已知12cos13 ，求 。sin ,tan125tan,135sin在第二象限时当125tan,135sin在第三象限时当归纳总结：归纳总结： 利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行分类讨论分类讨论（1）一组公式：同角三角函数的基本关系式）一组公式：同角三角函数的基本关系式R, 1cossin2