平行四边形判定,题型归纳

1、对角线取值范围问题（同三角形第三边中线取值范围）平行四边形一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为（）A.4<a<16B,14<a<26C,12<a<20D,8<a<32平行四边形的判定：1:定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3:两组对边分别相等的四边形是平行四边形4:对角线相互平分的四边形是平行四边形14 .平行四边形的判定（一）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题1:如图，四边形ABC比平行四边形，连接AC.过点A作AHBC于点E;过点C作CF/AE交A

2、D于点F;求证：四边形AECF为平行四边形练习：1、已知：如图，ABC是等边三角形，DE分别是BA、CA的延长线上的点，且AD=AE连接ED并延长至ijF,使彳#EF=EC,连接AF、CF、BE.（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；证明：（1）VABC为等边三角形，且AE=AD,由题可知/AED=/ADE=ZEAD=60°EF/BC,又=EC=EF,.ECF为等边三角形，即/EFC=/EDB=60°,CF/BD一四边形BCFD为平行四边形.2、如图：平行四边形ABCLfr,MN分别是ABCD的中点，AN与DM®交于点P,BN与CMf交于点Q试说明PQ与MNS相

3、平分。3、如图，在四边形ABCD中，AH、CGBE、FD分别是/A、/C、/B、/D的角平分线，且BE/FD,AH/CG证明四边形ABCD为平行四边形.15 .平行四边形的判定（二）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题1:如图，在ABCM,延长CD到E,使D&CD连接BE交AD于点F,交AC于点Go求证：AF=DF【答案】解：（1）证明：如图1,连接BDAE, 四边形ABCD平行四边形， .AB/CDAB=CD> .DE=CDAB/DEAB=DE，四边形ABD既平行四边形。，AF=DF。练习：1、如图，已知平行四边形ABCD过A作AMLBC于M,交BD于E,过C作CNLA

4、D于N,交BD于F,连结AF、CE（1） 求证：四边形AECF为平行四边形；【答案】（1）证明二四边形ABC比平行四边形（已知），BC/AD（平行四边形的对边相互平行）。又AM，BC（已知）,.AMLAD.CNLAD（已知）,，AM/CN.AE/CE又由平行得/ADEMCBD又AD=BC（平行四边形的对边相等）。在4ADE和4CBF中，/DAEWBCF=90,AD=CB/ADEWFBC.AD且ACBICASA,，AE=CF（全等三角形的对应边相等）。四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）2、如图：在口ABC叶，E,G,F,H分别是四条边上的点，且AECF,BGDH试说

5、明：EF与GH相互平分.例题2:如图，ABCffiADEtB是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F,且BF=DC连接EF、EB.(1)求证：AB草AACD(2)求证：四边形EFC北平行四边形练习：1、如图1,在4OAB中，/OAB=90,/AOB=30,OB=8.以OB为一边，在OA陟卜作等边三角形OBC,DOB的中点，连接AD并延长交OC于E.求点B的坐标.求证：四边形ABCE1平行四边形.如图2,将图1中的四边形ABCOff叠，使点C与点A重合，折痕为FG,求OG勺长.【解析】(1)vZAOB=30,OB=8,AB=4,OA=43,B(小区4).(2);OB久等边三角形,.OC=O

6、B=8.VD点为OB的中点,；OD=4.又;AD是RtOAB斗边的中线， .AD=OB=OD, ./ODA=180-2X30°=120°,./EDO=60.又/EOD=60,.OEM等边三角形，OE=4JE(0,4),CE=4,CE=ABRvCE/AB, 四边形abceW四边形.(3)ga=gc；.gA=gC.即oG+oAoc-ogIqe+K'Jp-og)2,.og=i.16.平行四边形的判定(三)：两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题1:如图，点A是直线l外一点，在l上取两点RC,分另1J以AC为圆心，BGAB长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接ARARCD,

7、则四边形ABCDH定是1】A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形练习：1、如图，点AB、C是坐标平面内不在同一直线上的三点，画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形.例题2:如图所示，试证明：四边形PONMH平行四边形.练习：1、在YABCM，分别以AD,BC为边向内作等边ADEffi等边ABCF连接BE,DF.求证：四边形BED笈平行四边形.2、四边形的四条边长分别是a、b、c、d,其中a、c为对边，且满足，则这个四边形一定是()A.平行四边形B.两组对角分别相等的四边形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形3、等边八ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE以AD为边作等边

8、ADF,如图.求证：四边形CDFE是平行四边形.4、如图所示，以ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形ABRBCEACF,猜想：四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论.证明：四边形ADEF是平行四边形.连接EDEF,ABD.ABCBACF分别是等边三角形，AB=BDBC=BE/DBA土EBC=60°.丁./DBE=/ABC.ABCADBE.同理可证ABCFEC,AB=EF,AC=DEvAB=ADAC=AF,AD=EEDE=AF.四边形ADEF是平行四边形17 .平行四边形的判定(四)：对角线相互平分的四边形是平行四边形例题1:已知A(2,3)B(-2,5),A、B点关于

9、原点的对称点分别为C、D,依次连接A、B、C、D点，则四边形ABC此什么四边形？例题2、如图，在平行四边形ABCM,连接对角线BD,过AC两点分别作AEBD于E点，CFBD于F点，求证：四边形AEC皿平行四边形练习:1、如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABC虚平行四边形，BEAC,DFAC,E、F是垂足，GH分别是BGAD的中点，连接EGGF、FH,HE为公园中小路，问小明从B地经E地，H地到F地，与小强从D地经F地，G地到E地，谁的路程远？2、如图所示，在YABCD43,E、F是对角线AC上两点，且AF=CE,求证：四边形BEDF是平行四边形.3、如图，在YABCD43,点MN是对角线A

10、C上的点，且AM=CN,DE=BF,求证：四边形MFNE平行四边形18 .坐标平行四边形知识点总结：若A、RC为已知点，则求一点D与他们构成平行四边形，则有三个点D1、D2、D3,则有D1=A+B-CD2=A+C-BD3=B+C-A(按照中点坐标公式和对角线相互平分性质)例题1、已知点A(-1,0),B(2,-1),D(0,1).请在直角坐标系中找一点C与A、BCD四点构成平行四边形，则点C的坐标为-练习：1、若以A(,0),B(2,0),C(0,1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在【】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、已知点D与点A(8,0),B(0,6),C

11、(a,-a)是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为.例题2、如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OAOB的长分别是方程x27x120的两根(OA<0B),动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒.(1)求A、B两点的坐标。(2)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M,使以A、P、QM为顶点的四边形是平行四边形*存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由练习:1、如图BCx轴于C点，BA例于人点，B(3,4),

12、四边形ABC加直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在ADAB上，且AF=2.(1)求G点坐标；(2)求直线EF解析式；(3)点N在x轴上，直线EF上是否存在点M使以MN、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由19 .动点平行四边形例题1:在四边形ABCD中，AD/BC且AD>BC,BC=6cmP、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？练习：1、如图，在ABC中，AB=AC,射线AM/BC,点P从点A出发沿射线AM运动，同时点Q从点B出发沿射

13、线BC运动，设运动时间为t(s).(1)连接PQAQPC,当PQ经过AC的中点D时，求证：四边形AQCP是平行四边形；|一(2)若BC=6cm,点P速度为1cm/s，点Q的速度为4cm/s,填空：当t为s时，以A、Q、GP为顶点的四边形是平行四边形；(1)证明：:D为AC中点，AD=CDvAM/BC,丁./PAC=/ACB,在ADP和CDQ中，/PAD=/DCQAD=CD/ADP=/CDQ.ADPzXCDQ(ASA),PD=DQ又=AD=CD一四边形AQCP是平行四边形；(2)当Q在线段BC上，AP=QC时，以A、QC、P为顶点的四边形是平行四边形，|由题意得：t=6-4t,解得：t=,当Q在

14、C的右边时，AP=QC时，以A、。C、P为顶点的四边形是平行四边形，由题意得：t=4t-6,解得：t=2,故答案为：或2;2、如图，/ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点(不与点B重合)，连接AD,彳BEXAD),垂足为E,连接CE,过点E作EFLCE,交BD于F.(1)求证：BF=FD;(2)点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时/A的度数.解：(1)在RtAEB中，.AC=BC-1二CE=AB2CB=CE丁./CEB=/CBEvZCEF=/CBF=90°,丁./BEF=/EBF,EF=BF.vZBEF+ZF

15、ED=90°,/EBD+ZEDB=90°,丁./FED=/EDF,vEF=FD.BF=FD.(2)能.理由如下：若四边形ACFE为平行四边形，贝UAC/EF,AC=EF,BC=BE.BA=BD/A=45°.当ZA=450时四边形ACFE为平行四边形.3、将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(ABC的长直角边与含450角的三角尺(ACI)的斜边恰好重合.已知A五2<3,P是AC上的一个动点.(1)当点P运动到/ABC的平分线上时，连接DP求DP的长；(2)当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时/PDA勺度数；(3)当点P运动到什么位置时，以D

16、,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时UDPBQ勺面积.34、直线y-x6与坐标轴分别父与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，4同时到达A点，运动停止。点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O-B-A运动。(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)设点Q的运动时间为t秒，OPQ勺面积为S,求出S与t之间的函数关系式。(3)当S翌时，求出点P的坐标，并直接写出以点QP、Q为顶点的平行四边形5的第四个顶点M的坐标。20.性质和判定综合例题1、如图E、F是四边形ABCM对角线AC上的两点，AF=CEDF=BEDF/BE求证：(1)/AF阴/CEB",(2)

17、四边形ABC虚平行四边形.解：(1)因为DF/BE,所以/AFD=/CEB又因为AF=CEDF=BE,所以AF阴/CEB(2)由(1)AAFtDCEB知AD=BC/DAF=/BCE,所以AD/BC,所以四边形ABCD平行四边形.例题2:如图，在ABC中，ZACB=90°,D是BC的中点，DHBGC由DBF为邻边作平行四边形BDEF又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD1AB,那4么APBC的面积与ABC面积之比为【】A.1B.3C.1D.-4554【答案】a【考点】平行四边形的判定和性质。【分析】过点P作PH/BC交AB于H,连接CHPF,PE .APBE:四边形APE配平

18、行四边形。.PEAB, 四边形BDEF平行四边形，.EFBD .EF/ARaP,E,F共线。设BD=a1.八-BD-AB,二PE=AB=4aPF=PE-EF=3a4vPH/BGHB(=SPBCo.PF/AB,二四边形BFPH平行四边形。.BH=PF=3a,/SahbcSaabc=BHAB=3a4a=3:4,Sapbc:Saabc=3:4。故选D。练习：1、如图，ABC是等边三角形，P是三角形内任一点，PDAB,PEBC,PF/AC,若ABC周长为12,求PD+PE+P的化来源：学纲纲Z&X&XaK2、图3是某城EC±BGBA/DE,BD/AE,EF=FC甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1市部分街道示意图，图中AF/BC,路车，路线是B-A一E一F,乙乘2路车，路线是B-AC-F.假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F点，？请说明理由.来源:Z§xx§E3、已知：如图，四边形ABC北平行四边形，DEY(1)求证：乙AEMCFN21世纪教育网(2)求证：四边形BMDN!平行四边形.【答案】证明：(1)二.四边形ABCD是平行四边形,.AB/DC,AD/BG/E=/F,/DAB=BCD/EAM=FCNXvAE=CFaAAEIWACFN(ASA。(