平面向量常见题型汇编4平面向量的投影问题

1、平面向量的投影问题数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。(1)图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下(此时便于确定投影)，例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心(外心到三边投影为三边中点)(2)从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题1.定值问题例题1:已知向量a,b满足解析：考虑变式1:r3,brrr,rabb在a上的投影为詈，br2rrrraab0,所以ab2.3,且rrrrab,则b在a方向上的投影为rr所以只需求出ab即

2、可。92.33.3两个半径分别为r1,r2的圆M,N,公共弦AB长为3,rrab可得:如图所示，则uuuuuumuuuruuu分析：AB为两个圆的公共弦，从而圆心uuuuuuurM,N到弦AB的投影为AB的中点，进而AM,ANuuu在AB上的投影能够确定，所以考虑计算uuuuuuuuuuruuuAMAB和ANAB时可利用向量的投影定义。解析：取AB中点T,连结MT,NT,由圆的性质可得:MTAB,NTABuuuuuurAMABuuirATuuurAB1uuu2-AB2uuruuuANABuuruuuATAB1uur2一AB2uuuuuuruuuruuuAMABANAB9例题2：如图，在VABC

3、中，ABBC4,ABC30°,AD是边BC上的高，则unruurADAC的值等于uuiruuur解析：由图中垂直可得：AC在AD上的投影为ADuuuruuurADACuuur2AD只需求出变式2:uuuruuuruuur22,所以ADACADVABC的高即可。由已知可得AD|ABsinABC如图，O为VABC的外心，AB4,AC2,BAC为钝角，M是边BC的中点,uuuuuuur则AMAO的值为解析：外心O在AB,AC上的投影恰好为它们的中点，分别设为P,Q,uuuuuu所以AO在AB,AC上的投影为APuuuu1uuuuuu故考虑AM-ABAC,21uuuuuu-AB,AQ21uu

4、uAC,而M恰好为BC中点,2uuuuuuu1uuuuuuuuu所以AMAOABACAO21uuuuuuruuiruuurABAOACAO2uuu21uuir2AB+-AC22.范围问题例题3：若过点P1,1的直线l与eO:x2y24相交于uuuuuu一A,B两点，则OAOB的取值范围是,，一.uuuuuu_、解析：本题中因为OA,OB位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B作直线OA的垂线，uuuuuuuuuuum垂足为D,通过旋转AB可发现，当OBOA时，OAOB0,AB位于其他位置时，D点始终位于OA的反向延长线上,uunuuuOAOB|OAOD,故0,下面寻找最小

5、值，即DO的最大值，可得当B在OAuuuuumOAOBminuuuuuuuuuuurOAOB0,故OAOBmax上的投影与C重合时，DA最大，即为AC,此时直线OP即为直线AB。所以uuuuuuOAODOAOCr24。进而OAOB的范围是4,0变式3:已知uuuOAuuu1,OBuuuuuu,且OA,OB的夹角为150°,点C是VAOB的外接圆上优弧Ab上的一个动点,uuuuuur考虑OAOC即为uuuunr则OAOC0r乘以Ouu的最大值是uuu分析：题中OA的模长为定值,uuuuuuuuir在OA上的投影，从而OAOC的最大值只需寻找投影的大小,uuuuuuu观察图形可得只有当M

6、C与OA同向时，投影最大。uuuuiur即OAOCmaxuuuOAuuurOD,只需计算uuurOD的模长即可uuuruuu解析：当MC与OA同向时,uuuuuuOC在OA上的投影最大,uuruuirOAOCmaxuuruuurOAODuuirAB在VAOB中，|AB2OA22I11IOB2OA|OB|cosAOB7,2RABsinAOBuuur11一OD|ON|ND|-|OAR56uuruuirOAOCuurODmax例题4：如图，菱形ABCD的边长为2,A60o,MDC中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则uuuuuuurAMAN的最大值为分析：菱形uuuuAM方向大小确定，在求数量积时

7、可想到投影定义，即uuuriuuiruuuuuuuuAM乘以AN在AM上的投影，所以AMuuuruurAN的最大值只需要寻找AN在uuuuAM上的投影的最大值即可，而A点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在AM投影距离A最远的，结合图像可发现C的投影距离A最远,所以uuuuAMuuirANmaxuuurAMuuurAC,uuiruuur再由AD,DC表示后进行数量积运算;uuuuuuir解析：AMANmaxuuuruuuruuruuuuAMACADDMuurADuuurDCuuuAD1unrDC2uuurADuurDCuur21uuir2AD-DC23uur-AD2uurDC9变式4：如图，

8、在等腰直角VABC中,ACBC2,点M,N分别是AB,BC的中点，P点是VABC内（包括边界）任一点，则uuuANuuirMP的取值范围是解析：因为P点为VABC内任一点，所以很难用定义表示出uuuruuuruuiruuurANMP,考虑利用投影定义。由AN长为定值，可彳#ANuuir为AN乘以uuuruuurMP在AN上的投影，所以只需找到投影的范围即可。如图，过M作AN的垂线，则M点的投影为F,当P在B点时,uuruurMP在AN上的投影最大且为线段FE的长,当P在A点时,在图中有条件可得:uuuMPuuruurMP在AN上的投影最小，为|AF,分别计算相关模长即可。AN|J5,CN|BN

9、|1BEAE，RtVACN:RtVBEN，则黑慑AEAN|NE-V5,5uuuruuuruuu由FM/BE,M为中点可得：F为AE中点，从而MB,MA在AN方向上的投影分别为3,33-=uuuruuuJ5,由AN而，即可求得ANMP的范围为53.综合问题例题5:已知eM为直角三角形ABC的外接圆，OB是斜边AC上的高，且AC6,OB2收AOOC,点P为线段OA的中点，若DE是eM中绕圆心M一uuur运动的一条直径，则PDuuurPE解析：本题的难点在于DE是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。uuuuuruuu口DE为直径，延长EP交圆M于Q,即可得DQQE,则PD在PE上的投影向量为PQ

10、。uuuruur所求PDPE从而PEPQ由射影定理可得:所以解得AO所以PEPQPEAPAO2,OCAPPQ,而由PEPQ联想到相交弦定理,PC。考虑与已知条件联系求出直径AC上的各段线段长度。COOB8,且AOCO4,再由P为OA的中点可得APPCuuruuu5,进而PDPEAC1,PCPEPQ5,变式5：C为线段AB上一点,P为直线AB外一点,I为PC上一点,uiuiuuuPAuuuPB10，uuuuuurPAPCuuur-jPAuuiruuurPBPCuuuPBuirBIuurBAuuurACuuu|ACuuuAPuuuAPuurBIuuu-BAuuuBA的值为解析：考虑作图观察几何特点,uuuPAuuuPBuuuAB10。uuriuurPAPC-uuuPAuuuuuuPBPC-uuuPB及所求uuuuuuuuunruuu驾阜可想到投影与数量积的关系,BA即PC在PA,PB上的投影相等，即可得到uiruuu再分析BIBAuuuruuruuuruuruuruuuACAP0uurACAP口ACAPuuuruurAIuuuruuruuruuuACAPACAPACAPPC平分APB。由平行四边形性质可得和向量平分为uurAI与和向量共线,uuuuuuAC,AP的单位向量