平面上两直线的夹角求法解析

1、平面上两直线的夹角求法解析一、内容概述在2004年审定的人教A和B版教材中，平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及到.但是，该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式：川tan疗Tm/口Ftana-5)-0弁g-Tqp-j1+tanffitan用，平面向量中直线法向量夹角的余弦网“金|及直线方28-pr向向量夹角的余弦k甲I的应用来进行考查.二、基本概念平面上直线方程的两种常用表示：直线的点斜式方程：(I);直线的一般式方程：击+蜘+C二0gBe不全为。).平面上两条相交直线夹角的概念：平面上两条相交直线4所成四个角中的最小角，叫做两条直线的夹角.平面上两条直线所成角的范围：如果两条直线

2、平行或重合，规定它们所成的角为D;如果两条直线垂直，规定它们的夹角为90；如果两条直线相交且互不垂直，则两直线的夹角范围为平面上直线的方向向量：基线与平面上一条直线1平行或重合的向量层，叫做直线1的方向向量；直线点斜式方程P二上的一个方向向量为(1平面上直线的法向量：基线与平面上一直线1垂直的向量浮，叫做直线1的法向量；直线的一般式方程*+为+=(&瓦。不全为%勺一个法向量为(讨.12n侬二网空巴亘l+tMqtanf求两直线夹三、理论推导1 .已知倾斜角或斜笔“根据两角差的正切公式角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系克。中，直线力的倾斜角为%,直线%的倾斜角为.假设囱日会91为直线匕，4所成

3、的一角，显然%=%4日,则由公式得:.=冗（左图）或日二吟（右图）由法向量夹角的余弦得：一一%一的COSMN,直口=:-:i=JJ=J_F=网同炉正厅57寿洒石又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角近范围是（二配），所以cos0.从而得:0050f=|cOS|=XS（同，用即，平面上直线占与直线乙的夹角a=arccos-,-,=J屋+/3.已知直线的点斜式方程，利用直线方向向量夹角余弦角.求平面上两直线夹证明：如下图所示，在平面直角坐标系芯中，直线L的点斜式方程为=用工+后,一方向向量不二也也）；直线的点斜式方程为刀=总工+瓦，一方向向量5也岛）.假设日学9仃）为直线21,4所成的角，显然g

4、-盛荻石三方（左图）或w,5（右图），由方向向量夹角的余弦得:万每（1后）与）_1+.刍小十j十;又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角鼻范围是（0，翅r），所以cos0.从而得:注意：可以求出直线一般式方程的某个方向向量，也可以求出直线点斜式方程的某个法向量.但是，无论利用哪一种方法，都必须谨记平面上两直线所成角与两直线夹角的区别：两直线夹角章的范围是即日的三角函数值一定是非负的.四、例题解析对于有关平面上两直线的夹角问题，理论简单，方法也易于掌握，该部分难点是如何根据题意选取恰当的理论和方法来解决问题.下面结合具体实例谈谈求解方法是如何选择的.例1已知直线;，弓的斜率是二次方程工一4工十

5、1=0的根，试求直线A与八的夹角.解析：设直线1,%的斜率分别为总，也，解二次方程#一4工+1工。得，止产2+收七=2一后将如近代入公式一|14心|得，一白网两2一所以直线,1与4的夹角日=或式血点=60.点评：本题结合二次方程求解问题考查第一种方法的运用，解决此类问题的时候，要理解直线倾斜角与直线斜率的关系，并能准确选择求直线夹角的方法.例2求直线幻3工+少12二与直线k7x-l2p-l=0的夹角.解析：题目中的直线方程是一般式形式且互不垂直，因此我们选择法向量求夹角的方法.也4十跖I耳力可碎声得,直线4：力+4*-12=0一法向量用=（34）；直线71-121y-1=0一法向量房二（工一1

6、0CO6-|cos（瓦，&将耳r瓦代入公式cos日二44斗烟ZZ3x7-4x1227辰=965疗+（一，门277153j立中产aaw所以直线。与右的夹角965点评：本题主要考查对公式的选择及熟练程度，也可以尝试利用方向向量求解，鼓励一题多解.例3光线沿直线=2x+jv-2=0照射到直线力工+2尸+2=0上后反射，求反射光线线所在直线匕的方程.2工十y-2-0解析：联立天+功+2=0得反射点的坐标为（2,-2）,由题意知直线4过该点，则设匕的方程为式工-2）+2+2）=0（其中苴二（曰，句为直线的法向量，口出不同时为零）由物理学中的反射原理可知：直线1与直线口的夹角等于直线以与直线,3的夹角，即:2+2442b后M行/XJ冒+63，解得1I或鼻=2）（舍去，否则看与L重合）.所以，直线4的方程为2天-11了_26=0点评：本题首先应思考将问题转化为求过定点，且与所给直线夹角已知的直线方程；其次，在求直