常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差学生

1、常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差【知识要点】一、离散型随机变量及其分布列1、随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量长用希腊字母，来表示。若是随机变量，ab,其中a,b是常数，则也是随机变量2、离散型随机变量如果对于随机变量可能取的值，可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。3、离散型随机变量的分布列Pi,i1,2,n,表示X的分布列。(1)若离散型随机变量X可能取的不同值为,X2,Xj,Xn,X取每XX1X2XiXnPP1P1PiPn个值Xj(i1,2,n)的概率P(XXi)Pi,以表格的形式表示如下:此表称为离散型随机变量X的分布列，简称X

2、的分布列。有时为了表达简单，也用等式P(XXi)n(2)性质：Pi0,i1,2,n；pi1；在某个范围内取值的i1概率等于这个范围内每个随机变量值的概率的总和4、常见离散型随机变量(1)两点分布若随机变量X的分布列是X01P1-PP则这样的分布列称为两点分布列。如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布(也称伯努利分布)，而称pP(x1)为成功概率。其EX=p,DX=p(1-p).(2)超几何分布般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数,则事件X=k发生的概率为P(Xk)knkCMCNMCnCN,k0,1,2,X01mP00n0CMCNM1n1CMCNMpmp

3、nmCMCNMCnCNCNmminM,n,且nN,MN,n、M、NN,称分布列为超几何分布列。如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布。nMnMMNn记作：XH(N,M,n),其EX，DX?(1)。NNNN1【例题11】一次数学摸底考试，某班60名同学的成绩的频率分布直方图如图所示，若得分90分以上为及格。从该班任取一位同学，其分数是否及格记为求的分布列0解:【例题12】某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生,从中选出4人参加数学竞赛，用X表示其中的男生人数，求X的分布列。解：、离散型随机变量的均值与方差1、均值若离散型随机变量的分布列为XiX2Xn

4、PPiPiPn则的数学期望(或平均数、均值，简称期望)为EXiPiX2P2XnPn,它反映了离散型随机变量取值的平均水平。均值的性质：EC=C(C为常数)；E(ab)aEb(a,b为常数)；E(i2)E1E2；如果i,2相互独立，那么E(i?2)(EJ?(E2)2、方差如果离散型随机变量所有可能取的值是Xi,X2，,Xn，且取这些值的概率分别是p1，p2,Pn,，那么2.22D(XiE)?Pi(X2E)P2(XnE)Pn叫做的万差。D的算术平方根DT叫做随机变量的标准差。记作：。它们都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。方差的性质：DE2(E)2;D(ab)a2?D(a,b为常数

5、)【例题2i】已知离散型随机变量X的分布列如下表。若EX=0,DX=i,则a=,b=oXi0i2Pabcii2【例题22随机变量的分布列如下:i0iPabc3/8其中a,b,c成等差数列，若E1,则D。3【方法规律】一、离散型随机变量分布列的性质2、.【例题1】(1)设随机变重的分布列为P(k)m(-)k(k1,2,3),则m的值3为0k(2)设随机变量的分布列为P(-)ak(k1,2,3,4,5),则常数a的值为5-二、离散型随机变量的分布列、均值与方差【例题2】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位演出顺序(序号为1

6、,2,，6)求：(1)甲，乙两单位的演出序号至少有一个奇数的概率；(2)甲，乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。解:【例题3】某饮料公司招聘了一名员工，先对其进行一项测试，以便确定工资级别。公司准备了两种不同的饮料共8杯，具颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料。若4杯都选对，则月工资定为2800元；否则，月工资定为2100元。令X表示此人选对A饮料的杯数。假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力。(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望。解：【例题4】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分,取出一个黑

7、球的1分。现从该箱中任取(无放回，且每求取到的机会相等)3个求，记随机变量X为取出此3球所得分数之和。(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望。【例题5】某校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则均值E()。【例题6】某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为1o该目标分为3个3不同的部分，第一、二、三部分的面积之比为1:3:6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。(1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；(2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P(A)。解：【例题7】某校篮

8、球选修课的考核方式采用远距离投篮，规定若学生连中二球，则通过考核，终止投篮；否则继续投篮，直到投满4次终止。现有某位学生每次投篮的命中率为2,且每次投篮相互独立。3(1)该同学投中二球但未能通过考核的概率；(2)现知该校选修篮球的同学共27位，每位同学投篮的命中率为2,且每次投3篮相互独立。在这次考核中，记通过考核的人数为X,求X的期望。解：【例题8】因冰雪灾害，某柑橘基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施。若实施方案一，预计第一年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1

9、.25倍、1.0倍的概率分别为0.5、0.5。若实施方案二，预计第一年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5;第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别为0.4、0.6。实施每种方案第一年与第二年相互独立，令i(i1,2)表示方案i实施2年后柑橘产量达到灾前产量的倍数(1)写出i(i1,2)的分布列；(2)实施哪种方案，2年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施2年后柑橘产量达不到、恰好达到、超过灾前产量的预计利润分别为10万元、15万元、20万元。问实施哪种方案的平均利润更大？令【巩固练习】1、已知

10、2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)解：2、某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝

11、试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.解：只与道路畅通状况有关,3、设某校新、老校区之间开车单程所需时间为对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(分钟)25303540频数(次)20304010(I)求T的分布列与数学期望ET;(n)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解：4、(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均