一次函数知识点及其典型例题

1、一次函数基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式 s vt中，v表示速度，t表示时间，s表示在时间t内所走的路程，则变量是,常量是。在圆的周长公式 C=2兀r中，变量是 ,常量是2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。*判断Y是否为X的函数，只要看 X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1） y= % x （2）y=2x-1 （3）y=- （4）y=2-1-3x （5

2、）y=x2-1 中，是一次x函数的有（）（A） 4 个（B） 3 个（C） 2 个（D） 1 个3、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。5、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用 平滑曲线连接起来）。6、函数的表示方法列

3、表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。7、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，kw0)的函数叫做正比例函数，其中 k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx (k 不为零)k不为零 x指数为1b取零当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，？直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随 x增

4、大y反而减小.(1)解析式：y=kx (k是常数，kw 0)(2)必过点:(0, 0)、(1, k)(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，？图像经过二、四象限(4)增减性：k>0, y随x的增大而增大；k<0, y随x增大而减小倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴 例题：.正比例函数y (3m 5)x ,当m 时，y随x的增大而增大若y x 2 3b是正比例函数，则 b的值是 ()B.C.D.函数y=(k-1)x, y随x增大而减小，则k的范围是()A. k 0 B. k 1 C. k 1 D.东方超市鲜鸡蛋每个元，那么所付款y元与买鲜鸡

5、蛋个数 x (个)之间的函数关系式是平行四边形相邻的两边长为x、v,周长是30,则y与x的函数关系式是 .8、一次函数及性质一般地，形如y=kx + b(k,b是常数，kw0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数注：一次函数一般形式y=kx+b (k 不为零)k不为零 x指数为1b取任意实一次函数y=kx+b的图象是经过（0, b）和（-b, 0）两点的一条直线，我们称它为直 k线y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）(1)解析式：y=kx+b（

6、k、b是常数，k 0）(2)必过点：（0, b）和（-b , 0） k(3)走向：k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限0 直线经过第一、00 直线经过第一、三、四象限00 直线经过第一、二、四象限00 直线经过第二、三、四象限0增减性：k>0 , y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于 x轴.(6)图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位;当b<0时，将直线y=kx的图象向

7、下平移b个单位.例题：若关于x的函数y （n 1）xm 1是一次函数，则 m=)将直线y = 3x向下平移5个单位,得到直线 ;将直线y=-x-5向上平移5个单.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（位，得到直线若直线y x a和直线y xb的交点坐标为（m,8）,则a已知函数y=3x+1,当自变量增加m时，相应的函数值增加（9、一次函数y=kx+b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0, b）,.即横坐标或

8、纵坐标为0的点.b>0b<0b=0k>0经过A、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过A、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小若m< 0, n >0,则一次函数y=mx+n的图象不经过()A.第一象限 B.第二象限C. 第三象限 D. 第四象限10、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx + b的图象是一条直线，它可以看作是由直线 y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时，向上平移；当 b<0时，向下平移).11、直线y=kix+

9、bi与y=k2x+b2的位置关系(1)两直线平行：ki=k2且bib2(2)两直线相交：k1 k2(3)两直线重合：k1=k2且b1=b212、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；(3)解方程得出未知系数的值；(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式13、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0 (a, b为常数，aw 0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量

10、的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.14、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0或ax+b<0 (a, b为常数，aw0)的形 式，所以解一元一次不等式可以看作： 当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围. 15、一次函数与二元一次方程组(1)以二元一次方程 ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y= x 9的b b图象相同.ax b1y gag(2)二元一次方程组1"的解可以看作是两个一次函数y=更x和a?x b2y cbb1y= a2 x 包的图象交点b2b2T欠函数和正比

11、例函数的图象和性质-次函数网过点(0. b)且平行于尸底的一条直缱性防(1)当k>0时，y随牙 的噌大而增大，图冢必过 第一、三象限；当bAO时，过第一、二、 三象限；当bR时,只过第一， 三象限；当b大0时i过第一.二* 四象限.(2)当k<0时，y随京 的噌大而遍小.图象必过 第二四象限.当bAO时，过第一、二、 四象限；当b=O时,只过第二、 四家限；当bQ时,过第二、三、 四象限正比例函数S图象过原点.(1)当k>5 /随耳的增 大而增大,图象必过第一、 三家限当k<Q时，y随江 的噌大而诚小，图象必过 第二四象限题型一、点的坐标方法：x轴上的点纵坐标为 0,

12、y轴上的点横坐标为 0;若两个点关于x轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；1、若点A ( m,n)在第二象限，则点(|m|,-n )在第 象限；2、若点P (2a-1,2-3b )是第二象限的点，则 a,b的范围为;3、已知 A (4, b), B (a,-2 ),若 A, B关于 x 轴对称，则 a=,b=;若 A,B关于y轴对称，则 a=,b=;若若 A, B关于原点对称，则a=,b=;4、若点M (1-x,1-y )在第二象限，那么点 N (1-x,y

13、-1 )关于原点的对称点在第 象 限。题型二、关于点的距离的问题方法：点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；任意两点 A(xa, yA), B(xb"b)的距离为 T(Xa_XT)14、已知点 P ( 3,0 ) , Q(-2,0),则 PQ=,已知点 M 0, , N 0,则 2MQ=; E 2, 1 ,F 2, 8，则EF两点之间白距离是 ；已知点G (2,-3)、H (3,4),则G H两点之间的距离是;5、两点(3,-4)、(5, a)间的距离是2,则a的值为;6、已知点A (0,2)、B (-3,-2)、C (a,b),若C点在x轴上，且/

14、 ACB=90 ,则C点坐标为.题型三、一次函数与正比例函数的识别方法：若y=kx+b(k,b是常数，kw0),那么y叫做x的一次函数，特别的，当 b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，kw0),这时，y叫做x的正比例函数，当 k=0时，一次函数就成为若y=b,这时，y叫做常函数。 A与B成正比例A=kB(kw0)(yA反)2 ;若 AB/ x 轴,则 A(xA,0), B(xB,0)的距离为 xA xB ；若 AB/ y 轴，则 A(0, yA), B(0, yB)的距离为 | Va Yb| ；点A(xa"a)到原点之间的距离为 xa2 Va21、点B (2, -2)到x轴的

15、距离是;到y轴的距离是 ;2、点C (0, -5)至ij x轴的距离是 ;至ij y轴的距离是 ;到原点的距 离是；3、点D (a,b )至ij x轴的距离是 ;至ij y轴的距离是 ;到原点的距离1、当k_时，yk一 2一一3 x 2x 3 是一次函数；2、当m_此ym3 x2m 1 4x 5 是一次函数;3、当m_此ym4 x2m 1 4x 5是一次函数;4、2y-3 上3 3x+1成正比例，且x=2,y=12,贝U函数解析式为题型四、函数图像及其性质方法：函数图象性质经过象限变化规律y=kx+b(k、b为常数，且 kw0)k>0b>0b=0b<0k<0b>0

16、b=0b<0一次函数 y=kx+b (kw0)中k、b的意义:k(称为斜率)表示直线y=kx+b (kw0)的倾斜程度；b (称为截距)表示直线y=kx+b (kw0)与y轴交点的 ,也表示直线在 y轴上的。同一平面内，不重合的两直线y=k ix+b当 时，两直线平行。当 时,两直线相交。特殊直线方程：X轴： 直线 Y与X轴平行的直线(kiW0)与 y=k 2x+b2 (k2W0)的位置关系：当 时，两直线垂直。当 时，两直线交于 y轴上同一点。轴： 直线与Y轴平行的直线三象限角平分线、四象限角平分线1、对于函数y=5x+6, y的值随x值的减小而 2、对于函数y 1 2x, y 的值随

17、x值的 而增大。2 33、一次函数y=(6-3m)x +(2n 4)不经过第三象限，则 m n的范围是 4、直线y=(6-3m)x + (2n - 4)不经过第三象限，则 m n的范围是 5、已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线 y=-bx+k经过第 象限。6、无论m为何值，直线 y=x+2m与直线y=-x+4的交点不可能在第 象限。7、已知一次函数:.加. I(1)当m取何值时，y随x的增大而减小(2)当m取何值时，函数的图象过原点题型五、待定系数法求解析式方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b (kw0)的解析式。 已知是直线或一次函数可以设y

18、=kx+b (kw0)； 若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。1、若函数y=3x+b经过点(2,-6),求函数的解析式。.* JITrJ:、I. 1 1 4-Air0| 2 d 6 8 / 小财图：2、直线y=kx+b的图像经过 A （3, 4）和点B （2, 7）,3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量 y （升）与彳T驶时间x （小时）之间的关系.求油箱里所剩油y （升）与彳T驶时间x （小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。4、一次函数的图像与 y=2x-5平行且与x轴交于点（-2,0 ）求解析式。5、若一次函数 y=kx+b的自变量x的取值范围是-2 <

19、x< 6,相应的函数值的范围是 -11 Wy9,求此函数的解析式。6、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称，求k、b的值。7、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于x轴对称，求k、b的值。8、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于原点对称，求 k、b的值。题型六、平移方法：直线y=kx+b与y轴交点为（0, b）,直线平移则直线上的点（0, b）也会同样的平移，平移不改变斜率k,则将平移后的点代入解析式求出b即可。直线y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k（x+2）+b+3;（"左加右减，上加下减"）。1 .直线

20、y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。2 .直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 3 .直线y=1x向右平移2个单位得到直线2.3-4 .直线y= -x 2向左平移2个单位得到直线25 .直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 6 .直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 一 17 .直线y - x向上平移i个单位，再向右平移 i个单位得到直线 。338 .直线y x 1向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线。49 .过点（2,-3）且平行于直线 y=2x的直线是。10 .过点（2, -3）且平行于直线 y=-3x+1的直线是.11 .把函数y=3x+1的图像向右平移 2个单位再向上平移 3个单位，可得到的图像表示的函数是;12 .直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移 5个单位得到的，而（2a,7 ）在直线n上，贝U a=;