材料力学第三章

1、第三章第三章 扭扭 转转目录目录3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.3 纯剪切纯剪切 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 3.8 薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件的自由扭转 3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念 本章重点本章重点（1）扭转的概念，扭矩的计算，扭矩图的绘制）扭转的概念，扭矩的计算，扭矩图的绘制（2）圆轴扭转时的应力与应变）圆轴扭转时的应力与应变（3）扭转变形构件的强度与刚度条件）扭转变形

2、构件的强度与刚度条件本章难点本章难点 矩形截面杆和开口、闭口薄壁杆件扭转时应力及变形矩形截面杆和开口、闭口薄壁杆件扭转时应力及变形特征，圆柱形密圈螺旋弹簧、自由扭转、约束扭转以及等特征，圆柱形密圈螺旋弹簧、自由扭转、约束扭转以及等直圆杆扭转时的强度和刚度计算。直圆杆扭转时的强度和刚度计算。3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形

3、。发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形。 FFM1 引例引例2 概念概念工工 程程 实实 例例工工 程程 实实 例例工工 程程 实实 例例工工 程程 实实 例例工工 程程 实实 例例汽车方向盘汽车方向盘扭水龙头扭水龙头用钥匙扭转开门用钥匙扭转开门酒瓶软木塞的开瓶器酒瓶软木塞的开瓶器小轿车的方向盘工作小轿车的方向盘工作自行车的脚蹬工作自行车的脚蹬工作机器轴的转动机器轴的转动改锥上螺丝钉改锥上螺丝钉常见的扭转现象常见的扭转现象轴轴是工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、是工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。石油钻机中的钻杆等。扭转扭转

4、：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。垂直，杆发生的变形为扭转变形。 MeMe 受力特点受力特点杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.变形特点变形特点杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（ ）：）：直角的改变量。直角的改变量。扭转角（扭转角（）：）：任

5、意两截面绕轴线转动而发生的角位移。任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（ ）：）：直角的改变量。直角的改变量。3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图1 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 在工程实践中，外力偶矩往往不是直接给出的。而直接给出的在工程实践中，外力偶矩往往不是直接给出的。而直接给出的往往都是轴所传递的功率和轴的转速。例如：下图中，外力偶矩没往往都是轴所传递的功率和轴的转速。例如：下图中，外力偶矩没有给出，给出的仅仅是电动机的转速和输出的功率。如果我们要分有给出，给出的仅仅是电动机的转速和输出的功率。如果我们要分析传动轴中某点处的应力情况，首先必须知道

6、析传动轴中某点处的应力情况，首先必须知道A端皮带轮上的外力端皮带轮上的外力偶矩，下面我们来看看如何根据电动机的转速和输出功率来求解外偶矩，下面我们来看看如何根据电动机的转速和输出功率来求解外力偶矩力偶矩 Me的大小。的大小。 AB外力偶矩的直接计算外力偶矩的直接计算3-23-2已知：电动机通过皮带轮输给已知：电动机通过皮带轮输给AB轴的功率为轴的功率为N千瓦。千瓦。AB轴轴 的转速的转速n转转/分。分。则：则： 电动机每秒钟所作的功为：电动机每秒钟所作的功为：mNPW1000（a）设电动机通过皮带轮作用于设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为轴上的外力偶矩为则：则：m在每秒内完成的功为：

7、在每秒内完成的功为：）（mNMnWe602(b) 由于由于Me所作的功也就是电动机通过皮带轮给所作的功也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入的功轴输入的功故：WW min/9549rkwenPM 如果功率如果功率P以瓦为单位，代入以瓦为单位，代入c式则可得：式则可得：nPm7024将将(a)、(b)两式代入上式，于是求得：两式代入上式，于是求得：（3-1） (c)（Nm） 单位单位: P: P:千瓦千瓦; n: r/mim; m: Nm; n: r/mim; m: Nm 截面法求力偶矩截面法求力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法

8、求扭矩截面法求扭矩eexMTMTm00eee外力偶矩转向的确定：外力偶矩转向的确定： 主动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相同，主动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相同， 从动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相反从动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相反 。（1）联系扭转变形来规定扭矩符号：杆因扭转使某一段内的纵）联系扭转变形来规定扭矩符号：杆因扭转使某一段内的纵向母线有变成右手螺旋的趋势时，则该截面上的扭矩为正，反向母线有变成右手螺旋的趋势时，则该截面上的扭矩为正，反之为负。之为负。（2）右手螺旋法则：若按右手螺旋法则把）右手螺旋法则：若按右手螺旋法则把Me表示为矢量，当矢表示为矢量，当矢量方

9、向与截面的外法线方向一致时，为正，反之为负。量方向与截面的外法线方向一致时，为正，反之为负。 扭转正、负号的规定：扭转正、负号的规定：右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+),反之为反之为 负负(-)注意：右手螺旋法则表示的方向是扭矩的方向，不是外力偶矩方向注意：右手螺旋法则表示的方向是扭矩的方向，不是外力偶矩方向MexnnMeMexTMexT采用右手螺旋法则采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指当力偶矩矢的指 向背离截面时扭矩为正，反之为负向背离截面时扭矩为正，反之为负.2 2、扭矩符号的规定、扭矩符号的规定3 3、扭矩图、扭矩图用平行于杆轴线的坐标用平行于杆轴线的坐标 x 表

10、示横表示横截面的位置；用垂直于杆轴线的截面的位置；用垂直于杆轴线的坐标坐标 T 表示横截面上的扭矩，正表示横截面上的扭矩，正的扭矩画在的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方轴下方. T例题例题.1 传动轴如图所示，主动轮传动轴如图所示，主动轮A输入的功率为输入的功率为P = 36kW . 从动轮，输出的功率分别为从动轮，输出的功率分别为P = 11 kW 、P = 14 kW ，轴的转速，轴的转速 n = 300 r/min ，试做扭矩图，试做扭矩图.解解:计算外力偶矩计算外力偶矩mNnPMe 9549mN446mN)300149549(mN503mN)30011

11、9549(mN1146mN)300369549(eDeCeBeAMMMM结果为负号，说明结果为负号，说明T 2 应是负值扭矩应是负值扭矩由平衡方程由平衡方程 002TMMmeCBexmN7002eCeBMMT同理，在同理，在 BC 段内段内mN3501eBMTxMeBMeCT2MeB1T01eBMT在在 AD 段内段内133注意：若假设扭矩为正值，则注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号相同扭矩的实际符号与计算符号相同.MeB03eDMT作出扭矩图作出扭矩图从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩在在 CA段内段内.mN700maxTMeCMeAMeDmN4463eDMT3.3 3.3

12、 纯剪切纯剪切 3-23-2 圆圆 筒筒 变变 形形3-23-2 圆圆 筒筒 单单 元元 体体薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 Me。一、薄壁圆筒扭转时的切应力一、薄壁圆筒扭转时的切应力推论推论横截面上无正应力，只横截面上无正应力，只有切应力；有切应力；切应力方向垂直半径或与切应力方向垂直半径或与圆周相切圆周相切.dx 圆周各点处切应力的方向于圆周相切，圆周各点处切应力的方向于圆周相切，且数值相等，近似的认为沿壁厚方向且数值相等，近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数

13、值无变化各点处切应力的数值无变化.ABDC2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒扭转时的切应力 ： )2(dM errrAAA：平均半径所作圆的面积：平均半径所作圆的面积r： 圆筒平均半径圆筒平均半径T 22rMe即:eM

14、二、切应力互等定理二、切应力互等定理2.1 在单元体左、右面（杆的横截面）上在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向于只有切应力，其方向于 y 轴平行轴平行.可知，两侧面的内力元素可知，两侧面的内力元素 dy dz 大小相等，方向相反，将组成大小相等，方向相反，将组成 一个力偶。一个力偶。由平衡方程由平衡方程0 yF其矩为其矩为( dy dz) dx2.2 要满足平衡方程要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩数

15、量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得( dy dz) dx00 xeFMzyxd)dd( 2.3 切应力互等定理切应力互等定理在单元体相互垂直的两个平面在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。或共同背离该交线。 纯剪切单元体：纯剪切单元体：单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体. 扭转时,单元体abcd的ab边相对于cd发生了微小的相对错动，引起单元体a

16、bcd的剪切变形。 如图所示：ab边对cd 边相对错动的距离是： dxdabeeeedRRdaa dxRdadaa直角abc的角度改变量：三、切应变三、切应变 剪切胡克定律剪切胡克定律lr acddxbdy 无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：l式中，式中， r 为薄壁圆筒的外半径为薄壁圆筒的外半径. 由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶 Me在某一范围内时，在某一范围内时， 与与 Me（在数值上等于（在

17、数值上等于 T ）成正比）成正比. lr RlslstgrsrstgeM即: 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。acddxb dy tz 22rMelrG切应力低于剪切比例极限时：切应力低于剪切比例极限时：eMeM剪切胡克定律剪切胡克定律 E 当切应力不超过材料的接切比例极限时当切应力不超过材料的接切比例极限时,切应切应变变与切应力与切应力成正比成正比.式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因因 无量纲，故无量纲，故G的量

18、纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可值可通过实验确定，钢材的通过实验确定，钢材的G值约为值约为80GPa。比较比较:G钢材的钢材的E值约为值约为200GPa。 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。就可以推算出来。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系个弹性常数之间存在下列关系:）1 (2EGE 弹性模量弹性模量G 切变模量切变模量 泊松比泊松比弹性体变

19、形过程中，外力所做的功在数值上等于储存于弹性体内的变形能。弹性体变形过程中，外力所做的功在数值上等于储存于弹性体内的变形能。dW等于单元体内贮存的应变能等于单元体内贮存的应变能dV。则有：。则有：四、剪切应变能四、剪切应变能(3.5)10dxddydzdW右侧面向下的剪力右侧面向下的剪力：dydz右侧面向下错动的距离右侧面向下错动的距离：dxd 剪力在位移上所做的功：剪力在位移上所做的功：111000)()()(dVddydzdxddxddydzdWdVdydzdxdV 四、剪切应变能四、剪切应变能111000)()()(dVddydzdxddxddydzdWdVdydzdxdV 单位体积内的

20、剪切应变能密度v：10ddVdVv21v GGv21(3.) 对一个受扭的材料，我们要想知道它到底能承受多大的对一个受扭的材料，我们要想知道它到底能承受多大的外载作用，首先必须知道其内部的应力分布规律，只有知道外载作用，首先必须知道其内部的应力分布规律，只有知道了其内部的分布规律后才能够较易地找出其内部的最大应力，了其内部的分布规律后才能够较易地找出其内部的最大应力，从而确定这种材料适合于什么样的工程，能够经受什么样的从而确定这种材料适合于什么样的工程，能够经受什么样的载荷。载荷。 在这里应力分析属于静不定问题，须综合研究几何、物理在这里应力分析属于静不定问题，须综合研究几何、物理和静力学三个

21、方面。由变形几何条件得到变形变化规律，再由和静力学三个方面。由变形几何条件得到变形变化规律，再由物理条件得到应力变化规律，最后由静力学平衡条件得到应力物理条件得到应力变化规律，最后由静力学平衡条件得到应力计算公式。计算公式。3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力1、变形几何关系：、变形几何关系：（1）圆轴扭转的平面假设：）圆轴扭转的平面假设： 圆轴的扭转变形实验：同薄壁圆筒的扭转相似，在圆轴表圆轴的扭转变形实验：同薄壁圆筒的扭转相似，在圆轴表面上作纵向线和圆周线，如图所示：面上作纵向线和圆周线，如图所示： 实验结果：各圆周线绕轴线相对的旋转了一个角度，但实验结果：各圆周线绕轴线相对的旋转了一

22、个角度，但大小，形状和相邻两圆周线之间的距离不变，在小变形的情况大小，形状和相邻两圆周线之间的距离不变，在小变形的情况下，各纵向线仍近似的是一条直线，只是倾斜了一个微小的角下，各纵向线仍近似的是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度，变形前，圆轴表面的方格，变形后扭歪成菱形。度，变形前，圆轴表面的方格，变形后扭歪成菱形。 结论：结论：圆轴变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大圆轴变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线，且相邻两截面间的距离不变。小不变，半径仍保持为直线，且相邻两截面间的距离不变。 圆轴扭转的基本假设：圆轴扭转的基本假设：平面假设平面假设（2）剪应

23、变的变化规律：）剪应变的变化规律： 现从圆轴中取出长为现从圆轴中取出长为dx的微段，的微段，即上图中的即上图中的mm-nn之间微之间微段，再在上述微段中取单元体段，再在上述微段中取单元体abcd。截面。截面nn对对mm的相对转角的相对转角为为 , 根据平面假设，根据平面假设，横截面横截面 nn像刚性平面一样像刚性平面一样,相对于相对于mm绕轴线转了一个角度绕轴线转了一个角度 .dd 于是单元体于是单元体abcd的的ab边相对于边相对于cd也发生了微小的相对错也发生了微小的相对错动，引起单元体动，引起单元体abcd的剪切变形。的剪切变形。 如图所示：如图所示：ab边对边对cd 边相对错动的距离是

24、：边相对错动的距离是： dxdabeeeedRRdaa dxRdadaa直角直角abc的角度改变量：的角度改变量：dxdabeeeedR同样道理同样道理,在距离圆心在距离圆心处的切应变为处的切应变为:距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率扭转角沿长度方向变化率xddtg2、物理关系：、物理关系：将剪切虎克定律代入上面的剪应变公式将剪切虎克定律代入上面的剪应变公式讨论：由于对于某一特定的横截面讨论：由于对于某一特定的横截面 dxd=常数。常数。 xGGdddxdpppGxGdd 横截面任意点的切应力横截面任意点的切应力

25、与该点到圆心的距离成正比与该点到圆心的距离成正比.(3.7)(3.7) 再根据剪应力互等定理可知：在纵截面和横截面上，沿半再根据剪应力互等定理可知：在纵截面和横截面上，沿半径剪应力的分布规律如图所示：径剪应力的分布规律如图所示： 对于某一特定的横截面来说对于某一特定的横截面来说 与与 成正比。又因为成正比。又因为 发生在垂直于半径的平面发生在垂直于半径的平面 内，所以所以 也与半径垂直。也与半径垂直。xGdd 3、静力关系：、静力关系： 求求dxd横截面内取环形微分面积横截面内取环形微分面积dAdddAdA上的微内力上的微内力Adp对圆心的力矩为对圆心的力矩为:Adp积分得横截面上内力系对圆心

26、的力矩为积分得横截面上内力系对圆心的力矩为:ApdA根据扭矩的定义根据扭矩的定义,横截面上内力系对圆心的力矩就是截面的扭矩横截面上内力系对圆心的力矩就是截面的扭矩:dxdIpGddxdddxdGdTAAApAGA)(A2xGdd dxdGITp消去常量消去常量dxd得到得到:pITdAIAp2极惯性矩极惯性矩pITpIT RmaxRptIW 横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式处任一点剪应力计算公式在圆截面的边缘在圆截面的边缘为最大值为最大值R,则最大切应力为：则最大切应力为：引入抗扭截面系数引入抗扭截面系数得到：得到：tWTmax式中：式中： T横截面上的扭矩，由截面法通

27、过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。pI(3.9)(3.9)(3.10)(3.10)(3.11)(3.11)适用范围适用范围: 以上推导时以平面假设为基础以上推导时以平面假设为基础,只有对横截面不只有对横截面不变的圆轴平面假设才是正确的变的圆轴平面假设才是正确的,因此因此: 1. 公式只适用于圆截面的等直杆公式只适用于圆截面的等直杆(对沿轴线圆截对沿轴线圆截面变化缓慢的小锥度杆可近似使用面变化缓慢的小锥度杆可近似使用). 2. 仅适用于仅适用于max低于剪切比例极限的情

28、况低于剪切比例极限的情况(胡克胡克定律定律)tWTmax(3.11)(3.11)截面极惯性矩截面极惯性矩Ip和抗扭截面和抗扭截面Wt系数的计算系数的计算对于实心圆截面：对于实心圆截面：对于空心圆截面：对于空心圆截面：163DRIWpt)1 (1643DRIWptDd322244032DRddAIRAp)1 (32)(32244442232DdDddAIDdApdddA(3.12)(3.12)(3.13)(3.13)(3.14)(3.14)圆轴扭转的强度条件圆轴扭转的强度条件强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：tmaxmaxWTmaxtWT( 称为许用剪应力。)强度计算三方面：强

29、度计算三方面： 校核强度：校核强度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWt强度条件强度条件max不超过材料的许用剪切应力不超过材料的许用剪切应力 。 故强度条件为：故强度条件为： 同拉伸和压缩的强度计算类似，圆轴扭转时的强度要求同拉伸和压缩的强度计算类似，圆轴扭转时的强度要求仍然是：仍然是： max讨论：讨论：的确定的确定max即：即：发生在发生在Tmax 处（扭转最大的截面处处（扭转最大的截面处) 对于等截面直杆，对于等截面直杆，max tWTmaxmax(3.15)(3.15)不一定发生

30、在不一定发生在Tmax 对于阶梯形轴，因为对于阶梯形轴，因为Wt不是常量，不是常量，所在的截面。这就要求综合考虑扭矩所在的截面。这就要求综合考虑扭矩T和抗扭截面模量和抗扭截面模量Wt两者两者的变化情况来确定。的变化情况来确定。max 轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力t与许与许用正应力用正应力之间存在下述关系：之间存在下述关系：对于塑性材料对于塑性

31、材料 (0.5一一0.577) 对于脆性材料，对于脆性材料， (0.81.0) l式中，式中， l 代表许用拉应力。代表许用拉应力。在作截面设计时，可以把杆件设计成空心杆件，以增大在作截面设计时，可以把杆件设计成空心杆件，以增大 Wt和和Ip的值，从而可减小的值，从而可减小max的值。的值。例题例题 图示空心圆轴外径图示空心圆轴外径D=100mm，内径，内径d=80mm，M1=6kNm，M2=4kNm，材料的剪切弹性模量，材料的剪切弹性模量 G=80GPa.(1) 画轴的扭矩图；画轴的扭矩图；(2) 求轴的最大切应力，并指出其位置求轴的最大切应力，并指出其位置.M1M2ABCll（1）画轴的扭

32、矩图）画轴的扭矩图Me1Me2ABCllBC段段1Me2CT2T2+Me2=02Me2CMe1BT1T1+Me2-Me1=0T1 =2kNm AB段段T2 = -4kNm最大扭矩发生在最大扭矩发生在BC段段Tmax=4kNm4kNm2kNm+_T（2）求轴的最大切应力，）求轴的最大切应力，并指出其位置并指出其位置 max最大切应力发生在截面的周边上最大切应力发生在截面的周边上，且垂直于半径，且垂直于半径.tmaxmaxWT Me1Me2ABCllMPa5 .34)1(1643max DT max受力特点受力特点 变形特征变形特征扭矩的符号规定和扭矩图扭矩的符号规定和扭矩图圆截面等直杆圆截面等直

33、杆扭转的基本概念扭转的基本概念已知力、力臂、或功率、转速求力偶矩已知力、力臂、或功率、转速求力偶矩nPMe954922rMe)1 (2EG外力偶矩的计算外力偶矩的计算危险截面危险截面右手螺旋法则右手螺旋法则 控制面和突变关系控制面和突变关系纯剪切纯剪切薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒扭转时的切应力切应力互等定理切应力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律解释不同的破坏现象解释不同的破坏现象圆扭转时的应力圆扭转时的应力变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系强度条件强度条件maxmaxtWT抗扭截面系数抗扭截面系数)1 (162/32)1 (4344DDDRIWptG16233DRRIW

34、pt作业：作业：3.1、3.5、3.6、3.7由公式：xGIT dpd 因此，长度为因此，长度为 l 的的 段杆两截面间相对扭转角段杆两截面间相对扭转角 为为： d d0lpxGIT3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形pGI：圆轴的抗扭刚度：圆轴的抗扭刚度pGI越大，扭转角越大，扭转角越小越小pIGlT 圆轴扭转时的变圆轴扭转时的变形是用相对扭转角形是用相对扭转角 来度量的来度量的(3.16)(3.16)单位长度扭转角单位长度扭转角 ： lIGT p/m)( 180 dd pIGTx 工程中习惯用()作为 的单位以 表示扭转角的变化率表示扭转角的变化率pIGTdxd(3.17)(3

35、.17)(rad/m) (3.18)(3.18)pIGlT比较比较: : pIGTdxd(相对扭转角相对扭转角)刚度条件刚度条件 (rad/m) maxpxmaGIT /m)( 180 maxmaxpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。(3.19)(3.20) 刚度条件的讨论刚度条件的讨论 对于传动轴，有时即使满足了强度条件，还不一定能保证它对于传动轴，有时即使满足了强度条件，还不一定能保证它正常工作。例如：机器的传动轴如有过大的扭转角，将会使机器正常工作。例如：机器的传动

36、轴如有过大的扭转角，将会使机器在运转中产生较大的振动；精密机床上的轴若变形过大，则将影在运转中产生较大的振动；精密机床上的轴若变形过大，则将影响机器的加工精度等。因此对传动轴的扭转变形要加以限制。响机器的加工精度等。因此对传动轴的扭转变形要加以限制。一般地说：标志杆件扭转变形的物理量有两个：一般地说：标志杆件扭转变形的物理量有两个： 绝对扭转角绝对扭转角 相对扭转角相对扭转角 dxd其中：其中： PGITL杆件中任一截面的变形程度，故而它不能作为衡量扭转杆件中任一截面的变形程度，故而它不能作为衡量扭转变形的物理量。变形的物理量。；随着随着x的变化而变化，所以它不能够完全的变化而变化，所以它不能

37、够完全表明表明pIGlT /m)( 180 maxmaxpGIT PGITdxd；对于对于Tn值不变的等直杆来说，值不变的等直杆来说， dxd表示了表示了 杆件中单位长度上的扭转角，在杆件中的任意长度上杆件中单位长度上的扭转角，在杆件中的任意长度上 常量dxd的变形程度。故而可以作为衡量扭转变形的物理量的变形程度。故而可以作为衡量扭转变形的物理量。 ，因此它是完全表明了杆件内部各截面处因此它是完全表明了杆件内部各截面处若：记若：记 dxd；杆件因扭转而破坏时的杆件因扭转而破坏时的 值为 。 0则则： 允许扭转角允许扭转角 刚度条件刚度条件 0maxn max讨论当两个截面之间当两个截面之间T值

38、不变，且轴为等直杆时，值不变，且轴为等直杆时， 常量PGIT式中： PGI圆杆的抗扭刚度抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱表示杆抵抗扭转变形能力的强弱若在两截面之间若在两截面之间 常量nT，或轴为阶梯轴（或轴为阶梯轴（ 常量PI） 时，则应分段计算各段的扭转角，然后相加，此时上式为：时，则应分段计算各段的扭转角，然后相加，此时上式为：PIGLT（.16.16）故故：niPiiniGILT1讨论讨论对于等直杆来说：对于等直杆来说： 注意：此处由注意：此处由 PIGT得到的单位为弧度得到的单位为弧度/米。米。rad/m而而 的单位为度的单位为度/米米 0/m 故上面的刚度条件应改为故上面的刚度

39、条件应改为：关于空心轴的讨论：关于空心轴的讨论：maxpGIT、若、若G=常量，则：常量，则： 、若、若 =常量，则：常量，则：实p空pII实空TT实空GG节约材料节约材料 mGITP0maxmax180（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。刚度计算的三个方面：刚度计算的三个方面： 刚度校核：刚度校核： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算许可载荷： max max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。有时，还可依据此条件进行选

40、材。dFDF2/DTsF2AA 为了保持取出部分的平衡，在簧丝横截面上一定有一个与截为了保持取出部分的平衡，在簧丝横截面上一定有一个与截面相切的内力系，将这个内力系向截面形心简化，即可得到如面相切的内力系，将这个内力系向截面形心简化，即可得到如图所示的图所示的Fs和和T。(a)(b)(c)(d)3. 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力与变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力与变形12AA12AA1对圆柱形密圈螺旋弹簧的基本假设：对圆柱形密圈螺旋弹簧的基本假设： 1、 05时，可省略时，可省略 弹簧轴线在同一平面内。弹簧轴线在同一平面内。的影响，近似地认为簧丝的横截面与的影响，近似地认为簧丝的横截面与2、当簧丝的横

41、截面直径当簧丝的横截面直径d远小于弹簧圈的平均直径远小于弹簧圈的平均直径D时，还可略时，还可略 去簧丝曲率的影响，近似的用直杆公式计算。去簧丝曲率的影响，近似的用直杆公式计算。一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力1、内力计算：、内力计算： 如图所示，为一密圈弹簧，沿其轴线作用压力如图所示，为一密圈弹簧，沿其轴线作用压力F。现以。现以簧丝的任意横截面假想地将弹簧分成两部分，并取上一部分簧丝的任意横截面假想地将弹簧分成两部分，并取上一部分为研究对象，如图所示：为研究对象，如图所示：3. 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力与变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力与变形dFDF2/DTsF2AA(a)(b)(

42、c)(d)13. 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力与变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力与变形2000FDTFFMYs由 2、应力计算：、应力计算： 与剪力与剪力Fs对应的剪应力对应的剪应力 1的计算：的计算：根据实用计算方法（即假设根据实用计算方法（即假设 1均匀分布于横截面上），均匀分布于横截面上），与扭矩与扭矩T 对应的剪应力对应的剪应力 2的计算的计算:214dFAFs3max28dFDWTt)12(884332max21DddFDdFDdF总应力：总应力：横截面上的某一点处的应力：横截面上的某一点处的应力： 在簧丝横截面上，任意点处的总应力是剪切和扭转两种剪在簧丝横截面上，任意点处的总应力是剪切和扭

43、转两种剪应力的矢量和，在图应力的矢量和，在图(c)、(d)所示的所示的A点处，达到最大值。点处，达到最大值。注：上式中，第一项代表剪切的影响，后一项代表扭转的影响。注：上式中，第一项代表剪切的影响，后一项代表扭转的影响。)12(884332max21DddFDdFDdF当当 10dD时时， Dd2与与1相比，显然可以省略不计，从而相比，显然可以省略不计，从而3max8dFD（.21.21） 修正公式修正公式 上面的应力分析，用直杆扭转公式计算上面的应力分析，用直杆扭转公式计算1，实际上没考虑簧丝实际上没考虑簧丝是个曲杆，假设是个曲杆，假设1在截面均匀分布两种情况下进行的，实质上是个在截面均匀分

44、布两种情况下进行的，实质上是个近似计算。近似计算。 如果考虑以上两个因素，即可得修正公式如下：如果考虑以上两个因素，即可得修正公式如下：33max88615. 04414dFDKdFDccc（3-22） 其中：弹簧指数弹簧指数dDc 曲度系数曲度系数cccK615. 04414 弹簧的弹簧的强度条件强度条件：式中式中： max根据公式求出的最大切应力根据公式求出的最大切应力 材料许用切应力材料许用切应力 max83maxdFDKdDc 二、弹簧的变形二、弹簧的变形1、弹簧在变形过程中，外力功的计算：、弹簧在变形过程中，外力功的计算：2FW 在弹性范围内压力在弹性范围内压力F F与变形与变形成正

45、比成正比2、弹簧应变能的计算、弹簧应变能的计算弹簧单位体积的应变能为弹簧单位体积的应变能为:距圆心为距圆心为的任意点的扭转切应力的任意点的扭转切应力:44163221dFddFDITp由（3.63.6）式）式: :Gv22dGDFGv22221282F2/DTsF2000FDTFFMYs积分积分:外力完成的功等于贮存在弹簧中的应变能外力完成的功等于贮存在弹簧中的应变能:nRGdnDGdC3434648则弹簧在压缩或伸长时的变形量则弹簧在压缩或伸长时的变形量:CF 讨论：讨论：由上面两式可看出，减小由上面两式可看出，减小d，增加，增加n和和D都都可取得增加弹簧变形量的效果。可取得增加弹簧变形量的

46、效果。(3.24)(3.25)4322/02822224128GdnDFdsdddDFdVvVdDnV 4324GdnDFF434364GdnFRGdnFD引入:(3.23)3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念 、基本概念：、基本概念： 1、翘曲、翘曲：取一横截面为矩形的杆，在其侧面上画上纵向线和横：取一横截面为矩形的杆，在其侧面上画上纵向线和横向周界线，扭转后发现横向周界线已变为空间曲线，这表明变形向周界线，扭转后发现横向周界线已变为空间曲线，这表明变形后杆的横截面已不再保持为平面，而变为曲面，这种现象，就称后杆的横截面已不再保持为平面，而变为曲面，这种现象，就称为翘曲。为翘曲。

47、注：注：从翘曲这种现象可以看出，平面假设对非圆截面杆件的扭转从翘曲这种现象可以看出，平面假设对非圆截面杆件的扭转 已不再适用。已不再适用。2、自由扭转自由扭转：等直杆在两端受扭转力偶矩作用，且其翘曲不受任何限制的情等直杆在两端受扭转力偶矩作用，且其翘曲不受任何限制的情 况，属于自由扭转。况，属于自由扭转。 特特 点点：杆件各横截面上的翘曲程度相同，纵向纤维的长度杆件各横截面上的翘曲程度相同，纵向纤维的长度 无变化，故无变化，故 横截面上没有正应力而只有剪应力。横截面上没有正应力而只有剪应力。 3、约束扭转约束扭转：由于约束条件或受力条件的限制，造成杆件各横截面的翘曲程由于约束条件或受力条件的限

48、制，造成杆件各横截面的翘曲程 度不同，这种情况属于约束扭转。度不同，这种情况属于约束扭转。 特特 点点：由于杆件各横截面的翘曲程度不同，这势必引起相邻两截面之由于杆件各横截面的翘曲程度不同，这势必引起相邻两截面之 间纵向纤维的长度改变。于是横截面除剪应力外还有正应力。间纵向纤维的长度改变。于是横截面除剪应力外还有正应力。 对于矩形截面杆中的截面上对于矩形截面杆中的截面上的应力，如进行详细的理论分析的应力，如进行详细的理论分析不仅非常困难，而且还要用到其不仅非常困难，而且还要用到其他方面的一些知识，因此，在这他方面的一些知识，因此，在这里我们就不加推导的直接的引用里我们就不加推导的直接的引用弹性

49、力学的结果。弹性力学的结果。4、薄壁杆件与实体杆件在约束扭转时的差别：薄壁杆件与实体杆件在约束扭转时的差别： 薄壁杆件（如工字钢、槽钢等）在约束扭转时正应力相当薄壁杆件（如工字钢、槽钢等）在约束扭转时正应力相当大大，而实体杆件（如矩形、椭圆形杆件）因约束扭转而引起的，而实体杆件（如矩形、椭圆形杆件）因约束扭转而引起的正应力极小，与自由扭转并不太大差别。基于这个原因，我们正应力极小，与自由扭转并不太大差别。基于这个原因，我们在实际工作中处理具体问题时，应该划清主次。在实际工作中处理具体问题时，应该划清主次。 矩形截面杆扭转时，它的横截面上剪应力的分布情况大致如矩形截面杆扭转时，它的横截面上剪应力

50、的分布情况大致如图所示，整个截面上的最大切应力发生在矩形的长边的中点，图所示，整个截面上的最大切应力发生在矩形的长边的中点，短边上最大切应力也发生在短边的中点。短边上最大切应力也发生在短边的中点。2maxhbTmax1、是和是和h/b有关的系数，见表有关的系数，见表3.2(3.26)(3.27)4、薄壁杆件与实体杆件在约束扭转时的差别：薄壁杆件与实体杆件在约束扭转时的差别： 薄壁杆件（如工字钢、槽钢等）在约束扭转时正应力相当薄壁杆件（如工字钢、槽钢等）在约束扭转时正应力相当大大，而实体杆件（如矩形、椭圆形杆件）因约束扭转而引起的，而实体杆件（如矩形、椭圆形杆件）因约束扭转而引起的正应力极小，与

51、自由扭转并不太大差别。基于这个原因，我们正应力极小，与自由扭转并不太大差别。基于这个原因，我们在实际工作中处理具体问题时，应该划清主次。在实际工作中处理具体问题时，应该划清主次。 矩形截面杆扭转时，它的横截面上剪应力的分布情况大致如矩形截面杆扭转时，它的横截面上剪应力的分布情况大致如图所示，整个截面上的最大切应力发生在矩形的长边的中点，图所示，整个截面上的最大切应力发生在矩形的长边的中点，短边上最大切应力也发生在短边的中点。短边上最大切应力也发生在短边的中点。tGITLhbGTL3、和和是和是和h/b有关的系数，见表有关的系数，见表3.2扭转角的计算扭转角的计算(3.28)受力特点受力特点 变

52、形特征变形特征扭矩的符号规定和扭矩图扭矩的符号规定和扭矩图圆截面等直杆圆截面等直杆扭转的基本概念扭转的基本概念已知力、力臂、或功率、转速求力偶矩已知力、力臂、或功率、转速求力偶矩nPMe954922rMe)1 (2EG外力偶矩的计算外力偶矩的计算危险截面危险截面右手螺旋法则右手螺旋法则 控制面和突变关系控制面和突变关系纯剪切纯剪切薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒扭转时的切应力切应力互等定理切应力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律解释不同的破坏现象解释不同的破坏现象圆扭转时的应力圆扭转时的应力变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系强度条件强度条件maxmaxtWT抗扭截面系数抗扭截

53、面系数)(16234实心轴DRRIWptG剪切应变能剪切应变能G2212180maxmaxpGIT) 12(83maxDddD抗扭截面系数抗扭截面系数)()1 (162/32)1 (4344空心轴DDDRIWpt刚度条件刚度条件强度条件和刚度条件的应用强度条件和刚度条件的应用强度和刚度校核强度和刚度校核截面设计截面设计许可载荷的确定许可载荷的确定注意两种条件并用注意两种条件并用矩形截面杆扭转理论矩形截面杆扭转理论圆柱形密圈弹簧的应力与变形圆柱形密圈弹簧的应力与变形弹簧丝截面上的的应力弹簧丝截面上的的应力弹簧的变形弹簧的变形4364GdnR矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转2hbTtGITl圆扭转

54、时的变形圆扭转时的变形 MeMe 受力特点受力特点杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.变形特点变形特点杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（ ）：）：直角的改变量。直角的改变量。第三章第三章 小结小结（1）联系扭转变形来规定扭矩符号：杆因扭转使某一段内的纵）联系扭转变形来规定扭矩符号：杆因扭转使某一段内的纵向母线有变成右手螺旋的趋势时，则该截面上的扭矩为正，反向母线有变成右手螺旋的趋势时，则该截面上的扭矩为正，反之为负。之为负。（2）右手螺旋法则：若按右手螺旋法则把）右手螺旋法则：若按右手螺旋法则把Me表示为矢量，当矢表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，为正，反之为负。量方向与截面的外法线方向一致时，为正，反之为负。 正、负号的规定：正、负号的规定：右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正