第7章_无限脉冲响应滤波器设计

1、数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science1从大的方面来看，从大的方面来看，设计无限脉冲响应数字滤波器有两设计无限脉冲响应数字滤波器有两种基本方法：一种是间接设计法，另一种是直接设计种基本方法：一种是间接设计法，另一种是直接设计法。法。间接设计法的基础是模拟滤波器。间接设计法的基础是模拟滤波器。7.1 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计这里的模拟滤波器指调整模拟信号频谱的模拟系统。这里的模拟滤波器指调整模拟信号频谱的模拟系统。理想模拟滤波器在通带和阻带交界处的幅度是突变理想模拟滤波器在通带和阻带交界处的幅度是突变第第7章章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤

2、波器的设计图图7.1数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science2的，实际模拟滤波器在通带和阻带之间的幅度是渐变的，实际模拟滤波器在通带和阻带之间的幅度是渐变的。的。7.1.1 模拟滤波器的描述方法模拟滤波器的描述方法模拟滤波器的频率响应是根据非周期函数的傅里叶变模拟滤波器的频率响应是根据非周期函数的傅里叶变换定义换定义(3.84)得来的。实际模拟滤波器的频率响应得来的。实际模拟滤波器的频率响应其中其中h(t)是实际模拟滤波器的单位脉冲响应，是因果是实际模拟滤波器的单位脉冲响应，是因果的。脉冲响应的。脉冲响应h(t)的拉普拉斯变换的定义是的拉普拉斯变换的定义是0

3、)()()(dtethdtethHtjtj)( )()(LT)(jsdteththsHst(7.1)(7.4)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science3模拟滤波器的幅频特性模拟滤波器的幅频特性|H(j)|也有用分贝的衰减函数也有用分贝的衰减函数A()来表示的，即来表示的，即如果如果|H(j)|max=1，则衰减函数将变为，则衰减函数将变为幅频特性的平方幅频特性的平方|H(j)|2叫做幅度平方响应，它也是一叫做幅度平方响应，它也是一种描述模拟滤波器的有效方法。因为，利用系统频谱种描述模拟滤波器的有效方法。因为，利用系统频谱H(j)的共轭特点，即的共轭特点，即)

4、( | )(| )(|lg10)(22max分贝jHjHjA)( | )(|lg10)(2分贝jHjA) 1 . 7( )()(*可知利用定义jHjH(7.7)(7.8)(7.9)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science4幅度平方响应有这种关系，幅度平方响应有这种关系，这种关系是设计模拟滤波器的工具。下面介绍两种常这种关系是设计模拟滤波器的工具。下面介绍两种常用的模拟滤波器设计。用的模拟滤波器设计。7.1.2 巴特沃斯滤波器的设计巴特沃斯滤波器的设计模拟低通巴特沃斯滤波器的幅度平方响应是模拟低通巴特沃斯滤波器的幅度平方响应是它的幅度随频率的增大而变小。例如它

5、的幅度随频率的增大而变小。例如H(j)在阶在阶N=1N=1和和5 5的频率响应曲线，的频率响应曲线， jssHsHjHjHjH| )()()(*)(| )(|2)( )/(11| )(|c2c2是半功率点截止频率NjH(7.10)(7.11)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science5为了得到用复频率为了得到用复频率s表示的系统，让我们将表示的系统，让我们将s=j代入代入幅度平方响应，就可以得到幅度平方响应，就可以得到)( )()()()()()0(7.1( 11| )()(| )(|212212c2c22c2c2是分母的根利用关系NNNNNNNjssssss

6、ssjjsjjssHsHjH图图7.2(7.12)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science6巴特沃斯幅度平方响应的分母有巴特沃斯幅度平方响应的分母有2N个根，个根，确定这些根确定这些根的依据是的依据是利用利用-1=ej(2k-)来求解方程来求解方程(7.13)，就能得到这些根，就能得到这些根只要你选择只要你选择s左半平面的极点左半平面的极点s1N，用它们组成幅度平，用它们组成幅度平方函数中的系统函数方函数中的系统函数H(s)，即，即0)(2c2NNjs)2 , , 3 , 2 , 1( )121(2cNkesNkjk)( )()( )()()()121 (2

7、c1c121c，前后两半的极点共轭不影响幅频特性省略NkjkNkkNkkNNNessssHjsssssssH(7.13)(7.14)(7.18)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science7就可以获得稳定的模拟巴特沃斯滤波器。就可以获得稳定的模拟巴特沃斯滤波器。例题例题7.1 船舶通信需要一个模拟低通滤波器，其通带船舶通信需要一个模拟低通滤波器，其通带截止频率截止频率fp=5kHz，通带衰减，通带衰减Ap=2dB，阻带截止频率，阻带截止频率fs=12kHz，阻带衰减，阻带衰减As=20dB。请设计一个能满足这。请设计一个能满足这些技术指标的模拟低通巴特沃斯滤波器

8、。些技术指标的模拟低通巴特沃斯滤波器。解解 设计滤波器的关键在阶设计滤波器的关键在阶N和和3dB截止频率截止频率c。下面。下面分四步来设计模拟滤波器。分四步来设计模拟滤波器。（1）确定滤波器的阶）确定滤波器的阶根据衰减公式和巴特沃斯的幅度平方函数，得根据衰减公式和巴特沃斯的幅度平方函数，得)( dB )/(1lg10)(2cjAN省略虚数符号(7.20)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science8将技术指标代入衰减函数，可得阶将技术指标代入衰减函数，可得阶实际的阶实际的阶N是正整数，最好是大于理论值的最小整数。是正整数，最好是大于理论值的最小整数。本题取本题取

9、N=3。（2）确定滤波器的截止频率）确定滤波器的截止频率根据衰减函数，如果使用通带指标来计算根据衰减函数，如果使用通带指标来计算3dB截止频截止频率，则率，则93. 2)/lg(2)110/() 110lg(sp10/10/hButterwortspAANHz)5468( (rad/s) 3435654682) 110(50002c)32/(110/2cf(7.23)(7.27)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science9（3）确定滤波器的极点）确定滤波器的极点根据极点公式根据极点公式(7.14)和阶和阶N=3，选择位于，选择位于s平面的左半平面的左半平面的极

10、点，得系统的极点平面的极点，得系统的极点（4）确定滤波器的系统函数）确定滤波器的系统函数根据巴特沃斯滤波器的系统函数根据巴特沃斯滤波器的系统函数(7.18)，该系统函数，该系统函数)34356( 1006. 41036. 21087. 61006. 4)( 22)30. 7( )()()(c139243133c2c2c333213c代入利用共轭特点利用极点sssssssssssssHc)( , ,1334c3c232c1的共轭是ssessesjj(7.30)(7.31)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science10系数的近似取值会改变系统的频率响应，所以，必须

11、系数的近似取值会改变系统的频率响应，所以，必须检验公式检验公式(7.31)的幅频特性。的幅频特性。它的幅频特性它的幅频特性|H()|如左如左图所示，右图是图所示，右图是H(s)的系数四舍五入为整数后的幅频的系数四舍五入为整数后的幅频特性，例如特性，例如4.061013变为变为41013；两者都能满足技术；两者都能满足技术指标。指标。图图7.4数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science117.1.3 切比雪夫滤波器的设计切比雪夫滤波器的设计切比雪夫滤波器有两种类型：切比雪夫滤波器有两种类型：切比雪夫切比雪夫1型的模拟低通滤波器的幅度平方函数是型的模拟低通滤波器的

12、幅度平方函数是式中式中r是跟通带的波动幅度有关的系数，是跟通带的波动幅度有关的系数，CN(x)是是N阶阶)( )/(11| )(|p2p2是通带截止频率NrCH图图7.5(7.32)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science12切比雪夫多项式。切比雪夫多项式。N阶切比雪夫多项式的定义是阶切比雪夫多项式的定义是或或其中其中C0(x)=1和和C1(x)=x。确定切比雪夫确定切比雪夫1型的阶型的阶N和波动系数和波动系数r，可，可从衰减函数从衰减函数入手，入手，衰减函数是衰减函数是)1|( )(chch)1|( )(coscos)(11时当时当xxNxxNxCN)2(

13、 )()(2)(21nxCxxCxCnnn)32. 7()(7.7( )/(1lg10)(2p和根据公式NrCA(7.33)(7.34)(7.35)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science13首先，首先，将通带指标将通带指标p, Ap带入公式带入公式(7.35)，得到，得到经过化简，得到波动系数经过化简，得到波动系数然后，将指标然后，将指标p、s、As和和r代入式代入式(7.35)，得到，得到2/110/) 110(pAr) 1/( )ch(ch1lg10)3(7.3( )/(1lg10ps212pssxxNrrCAN暂时使用根据公式)1lg(10)/(1l

14、g1022ppprrCAN(7.36)(7.37)(7.38)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science14化简化简公式公式(7.38)，就能得到切比雪夫就能得到切比雪夫1型的阶型的阶知道阶知道阶N和波动系数和波动系数r，就能设计切比雪夫，就能设计切比雪夫1型的系统型的系统函数函数H(s)了。为了得到了。为了得到H(s)，让我们将，让我们将s=j代入幅度代入幅度平方函数平方函数(7.32)，)/(ch)110/110(ch)/(ch)/110(chps110/10/1ps110/11 ChebyshevpssAAArN)( )(11 )10. 7( )(11|

15、 )()(| )(|p222p2jsxxCrjsrCsHsHHNNjs为了方便观察，令利用关系(7.39)(7.40)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science15它的分母含它的分母含N阶多项式阶多项式CN(x)的平方，是的平方，是2N阶的，应该阶的，应该有有2N个根。确定这些根的依据是个根。确定这些根的依据是从多项式从多项式CN(x)中任选一个方程，都可以求解上面的方中任选一个方程，都可以求解上面的方程。比如选择程。比如选择CN(x)的第一个方程，这时令的第一个方程，这时令并将它代入公式并将它代入公式(7.33)的第一个方程，得到的第一个方程，得到rjxCx

16、CrNN1)( 0)(122，或者)( )(cos1巧这是复数变量的代换技jbax)(sh)sin()(ch)cos()(3.5( )sin()sin()cos()cos()( )(cos)(NbNajNbNajNbNajNbNajbaNxCN欧拉公式式三角函数的两角和的公(7.41)(7.42)(7.43)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science16其中双曲正弦函数其中双曲正弦函数sh(x)=sinh(x)=(ex-e-x)/2。将。将公式公式(7.43)代入方程代入方程(7.41)，得到一个二元，得到一个二元N次复数方程次复数方程对比复数方程对比复数方程

17、(7.44)的实部和虚部，可以得到二元的实部和虚部，可以得到二元N次次方程组方程组利用双曲余弦函数利用双曲余弦函数ch(x)0和和sin(/2)=1的特点，求的特点，求出方程组出方程组(7.45)的解的解rjNbNajNbNa1)(sh)sin()(ch)cos(rNbNaNbNa1)(sh)sin(0)(ch)cos(7.44)(7.45)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science17将这些将这些a和和b代回公式代回公式(7.42)，并借鉴公式并借鉴公式(7.43)，就能就能得到方程得到方程(7.41)的根，的根，参考公式参考公式(7.40)的的x=s/(j

18、p)和公式和公式(7.47)，得到切比雪得到切比雪夫夫1型的幅度平方函数的型的幅度平方函数的2N个极点，个极点，)1( )/1 (sh212/ )2(1NkNrbNkNka)/1 (shsh)212sin()/1 (shch)212cos()1( )sh()sin()ch()cos(11NrNkjNrNkNkbajbaxk(7.46)(7.47)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science18其中其中k=1N，每个，每个k都包含都包含“”两种情况。两种情况。按照公式按照公式(7.16)(7.17)的分析，组成稳定系统的分析，组成稳定系统H(s)的极的极点应该在复

19、数点应该在复数s坐标平面的左半平面；符合稳定要求的坐标平面的左半平面；符合稳定要求的极点是极点是其中其中k=1N。这些极点的前后部分是共轭对称的。这些极点的前后部分是共轭对称的。)/1 (shch)212cos()/1 (shsh)212sin(1p1pNrNkjNrNksk)/1 (shch)212cos()/1 (shsh)212sin(1p1pNrNkjNrNksk(7.48)(7.50)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science19利用这些极点利用这些极点(7.50)，就可以获得切比雪夫就可以获得切比雪夫1型的系统型的系统函数函数你可能会问：这个表达式

20、是怎么来的呢？你可能会问：这个表达式是怎么来的呢？)( )()(2)(211p是滤波器的阶NssssssrsHNNN(7.51)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science20这个表达式是这么来的，运用对比法就可以得到。这个表达式是这么来的，运用对比法就可以得到。让我们重写切比雪夫让我们重写切比雪夫1型的幅度平方函数，型的幅度平方函数，它的分母包含一个它的分母包含一个N阶切比雪夫多项式阶切比雪夫多项式CN(s/jp)的平的平方。这说明其系统函数方。这说明其系统函数H(s)是是N阶的，阶的，H(s)的分母包含的分母包含CN(s/jp)，它是变量它是变量(s/jp)

21、的的N阶多项式。多项式阶多项式。多项式CN(s/jp)的最高次幂的最高次幂(s/jp)N=sN/(jp)N的系数是的系数是2N-1，这可以利用切比雪夫多项式的定义这可以利用切比雪夫多项式的定义(7.34)递推得到。递推得到。2p2)(11| )()(| )(|jsrCsHsHHNjs(7.52)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science21如果提取分母多项式的公因式如果提取分母多项式的公因式r2N-1/(jp)N，然后再因，然后再因式分解这个分母多项式，则切比雪夫式分解这个分母多项式，则切比雪夫1 1型的系统函数型的系统函数可以写为可以写为切比雪夫切比雪夫1型

22、的系统函数型的系统函数(7.51)就是这么来的。就是这么来的。)s( )()()2/()( )()()(21)(1211p21p1的左半平面在极点不影响幅度特性省略NNNNNNNNsssssssrjssssssjrsH(7.53)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science22例题例题7.2 检测水流速度时，需要一个低通滤波器。滤检测水流速度时，需要一个低通滤波器。滤波器要求通带截止频率波器要求通带截止频率fp=3kHz，通带衰减，通带衰减Ap=1dB，阻带截止频率阻带截止频率fs=6kHz，阻带衰减，阻带衰减As=40dB。请设计一。请设计一个能满足这些技术指

23、标的模拟切比雪夫个能满足这些技术指标的模拟切比雪夫1型低通滤波型低通滤波器。器。解解 设计滤波器的关键是确定阶设计滤波器的关键是确定阶N和波动系数和波动系数r。下面。下面分四步完成这个设计。分四步完成这个设计。 确定波动系数确定波动系数r将通带衰减将通带衰减Ap=1dB代入公式代入公式(7.37)，得到波动系数得到波动系数509. 0) 110(2/110/1r(7.54)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science23 确定阶确定阶N将技术指标将技术指标As、r、fs和和fp代入公式代入公式(7.39)，得到阶，得到阶实际的阶实际的阶N应该取整数应该取整数5。

24、 确定系统的极点确定系统的极点将技术指标将技术指标fp、N、r等代入公式等代入公式(7.50)，得系统极点得系统极点)( 536. 4)32/()62(ch)509. 0/110(ch110/401理想值N.286)0ch()1012cos(18850.286)0sh()1012sin(18850kjksk(7.55)(7.56)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science24它的它的k=15。利用前后极点的共轭对称性简化计算，。利用前后极点的共轭对称性简化计算，这这5 5个极点是个极点是 写出系统函数写出系统函数将极点将极点(7.57)代入切比雪夫代入切比雪夫

25、1型的系统函数型的系统函数(7.51)， 得得到系统函数到系统函数)( 186630 .1686115359 .44139 .5455115359 .4413186630 .168654321称极点的前后部分共轭对jsjssjsjs(7.57)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science25若将公式的若将公式的s换成换成j=j2f，即可计算幅频特性，即可计算幅频特性|H(f)|201162123845208282205432145p10922. 210328. 710525. 61061765610922. 2)10525. 18828)(5456)(10512

26、. 33372(10922. 2)( )()()()()2/()(ssssssssssssssssssssrsH利用极点的共轭对称性(7.58)图图7.9数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science267.2 间接设计数字滤波器间接设计数字滤波器间接设计数字滤波器的方法是借助模拟系统函数和数间接设计数字滤波器的方法是借助模拟系统函数和数字系统函数的数学关系，也就是字系统函数的数学关系，也就是s和和z之间的对应关系，之间的对应关系，对模拟滤波器进行数学变换。变换方法有两种。对模拟滤波器进行数学变换。变换方法有两种。7.2.1 脉冲响应不变法脉冲响应不变法它的原理和

27、模拟信号变成数字信号的原理是一样的，它的原理和模拟信号变成数字信号的原理是一样的，将单位脉冲响应当作是模拟信号，这个问题就好理解将单位脉冲响应当作是模拟信号，这个问题就好理解了。了。为了从模拟系统函数为了从模拟系统函数Ha(s)获得数字系统函数获得数字系统函数H(z)，现，现在将模拟系统函数写成在将模拟系统函数写成数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science27根据拉普拉斯变换的定义根据拉普拉斯变换的定义(7.4)，这个，这个Ha(s)的拉普拉斯的拉普拉斯逆变换逆变换按照公式按照公式(7.80)离散化这个模拟系统离散化这个模拟系统ha(t)，得到数字系得到数字系

28、统统)( )(LT)(1aa是模拟系统的极点iNiiisssAthsH)ILT( )()(ILT)(1aa写是拉普拉斯逆变换的简NitsitueAsHthi)( )(| )()(11是单位阶跃序列nunueAtueAnhNinTsiNinTttsiii(7.83)(7.84)(7.85)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science28然后求这个离散系统然后求这个离散系统h(n)的的z变换，得到数字系统函数变换，得到数字系统函数它就是从它就是从Ha(s)获得获得H(z)的脉冲响应不变法。观察公式的脉冲响应不变法。观察公式(7.86)，你会发现数字系统的极点，你会发

29、现数字系统的极点zi和模拟系统的极点和模拟系统的极点si的对应关系：的对应关系：|)|( 1)()(ZT)(11TsNiTsinniiezzeAznhnhzH收敛域)z( 平面的极点平面的极点映射到sezTsii(7.86)(7.87)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science29例题例题7.5 检测地球物理信号时，需要滤掉被测信号中检测地球物理信号时，需要滤掉被测信号中的高频噪声。假设有用信号的频谱成分分布在频率的高频噪声。假设有用信号的频谱成分分布在频率f=0500Hz的范围，请你设计一个的范围，请你设计一个4阶的巴特沃斯数字阶的巴特沃斯数字滤波器，让它完

30、成这项任务。滤波器，让它完成这项任务。解解 截止频率通常是指半功率点截止频率，也就是截止频率通常是指半功率点截止频率，也就是3dB截止频率。这截止频率。这么理解的话，本题的设计可以分两步完么理解的话，本题的设计可以分两步完成。成。（1）设计模拟系统函数）设计模拟系统函数已知有用信号的截止角频率已知有用信号的截止角频率c=2500弧度弧度/秒，滤波秒，滤波器的阶器的阶N=4，根据公式，根据公式(7.18)计算模拟系统函数计算模拟系统函数Ha(s)的的极点，极点，数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science30并写出系统函数并写出系统函数Ha(s)的部分分式表达式的

31、部分分式表达式)( )( 29031202)( 120229031202290329031202142321利用极点的共轭对称性利用利用sjssjsjsjs4321601145135041451350414516011451)(ssjssjssjssjsHa(7.99)(7.100)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science31这个模拟滤波器这个模拟滤波器Ha(s)的幅频特性的幅频特性为为自变量是频率自变量是频率f的幅度的幅度|Ha(f)|在在f=500Hz的的地方有地方有-20log10(0.707)3 (dB)的衰减。的衰减。（2）设计数字系统函数）设计数

32、字系统函数运用脉冲响应不变法的转换公式运用脉冲响应不变法的转换公式(7.88)时，必须先选时，必须先选择对模拟滤波器的采样频率择对模拟滤波器的采样频率fs。从上图看，选择采样从上图看，选择采样频率频率fs=4000Hz，应该不会造成数字滤波器太多的混叠，应该不会造成数字滤波器太多的混叠图图7.13数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science32失真。失真。对照模型对照模型(7.100)，将模拟极点，将模拟极点sk和采样周期和采样周期T=1/fs代入公式代入公式(7.88)，就可以得到数字滤波器的系统，就可以得到数字滤波器的系统函数函数这是两个二阶节的并联结构。其

33、幅频特性如图，这是两个二阶节的并联结构。其幅频特性如图，211211234. 0924. 01085. 0726. 0548. 0108. 11255. 0726. 0)(zzzzzzzH(7.102)图图7.14数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science33它的最大值为它的最大值为1，这是变换公式，这是变换公式(7.86)乘上乘上T的效果。的效果。按照按照=T的关系，自然频率的关系，自然频率f=500Hz对应数字角频率对应数字角频率=0.25，这点的数字频谱有，这点的数字频谱有-20log10(0.707)3dB的衰的衰减。减。还有，在横坐标还有，在横坐标=

34、的地方，对应频率的地方，对应频率f=fs/2=2000Hz，看不出来混叠失真。看不出来混叠失真。脉冲响应不变法的优点是，数字系统的脉冲响应和模脉冲响应不变法的优点是，数字系统的脉冲响应和模拟系统的脉冲响应是线性关系，数字角频率和模拟角拟系统的脉冲响应是线性关系，数字角频率和模拟角频率也是线性关系；缺点是，对模拟滤波器的采样频频率也是线性关系；缺点是，对模拟滤波器的采样频率必须满足采样定理。率必须满足采样定理。数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science347.2.2 双线性变换法双线性变换法双线性变换法是利用双线性变换法是利用s平面到平面到z平面的映射关系，平面

35、的映射关系，将模拟系统函数将模拟系统函数Ha(s)转变为数字系统函数转变为数字系统函数H(z)，也就，也就是是)( 111111程分子和分母都是线性方zzzzs)( | )()(a11a11是模拟滤波器sHsHzHzzs(7.104)(7.105)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science35获得双线性变换法的技巧是变量代换。获得双线性变换法的技巧是变量代换。令令s的角频率的角频率 为了获得为了获得s与与z的直接映射关系，让我们用三角函数转的直接映射关系，让我们用三角函数转化频率映射公式化频率映射公式(7.107)，然后令然后令s=j和和z=ej，并将它们代入

36、上式，就并将它们代入上式，就可以得到可以得到)( )2/tan(是比例常数cc)( 112/1112/12/12/12/1zzzczzzzcs分子分母同乘)(3.5( 2/ )()2/()()2/cos()2/sin(2/2/2/2/利用欧拉公式jjjjeejeecc(7.107)(7.108)(7.109)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science36虽然公式虽然公式(7.109)是利用是利用s=j和和z=ej得到的，但是，对得到的，但是，对于于s=+j的情况，公式的情况，公式(7.109)仍然是仍然是s点对点对z点的映射。点的映射。这个结论是这么来的，公式

37、这个结论是这么来的，公式(7.109)的逆变换是的逆变换是为了方便观察为了方便观察z和和s的映射关系，将的映射关系，将z=rej和和s=+j代代入公式入公式(7.110)，得到，得到上式的上式的、r与与呈一对一的关系。这个特点可以防止呈一对一的关系。这个特点可以防止混叠失真。混叠失真。)( 是正的常数cscscz)( zsjcjcrej映射到复变量复变量(7.110)(7.111)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science37顺便说一下，任何模拟信号，它的无穷大频率成分是顺便说一下，任何模拟信号，它的无穷大频率成分是不可能转变为数字信号的，映射公式的复变量不可

38、能转变为数字信号的，映射公式的复变量s只是个只是个虚构的数学变量。虚构的数学变量。应用双线性变换法来设计数字滤波器，其应用双线性变换法来设计数字滤波器，其步骤大体上步骤大体上分三步：分三步：第一，将数字滤波器的通带截止频率和阻带截止频率第一，将数字滤波器的通带截止频率和阻带截止频率代入角频率映射公式，算出虚构的模拟通带截止频率代入角频率映射公式，算出虚构的模拟通带截止频率和阻带截止频率；和阻带截止频率；第二，根据模拟滤波器的指标设计模拟滤波器；第二，根据模拟滤波器的指标设计模拟滤波器；第三，对虚构的模拟系统函数应用双线性变换函数，第三，对虚构的模拟系统函数应用双线性变换函数，获取数字滤波器。获

39、取数字滤波器。数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science38例题例题7.6 有一种模拟信号的有用成分分布在频率有一种模拟信号的有用成分分布在频率f=1kHz以下。如果信号的采样频率以下。如果信号的采样频率fs=8kHz，要求幅，要求幅度失真小于度失真小于3dB，请你利用频率映射公式，请你利用频率映射公式(7.107)和双和双线性变换公式线性变换公式(7.109)，设计一个，设计一个1阶的巴特沃斯数字阶的巴特沃斯数字滤波器，让它完成选择低频信号的滤波任务。滤波器，让它完成选择低频信号的滤波任务。解解 首先从题目的信号指标获取数字低通滤波器的首先从题目的信号指标获

40、取数字低通滤波器的3dB截止频率截止频率c=21000/8000=0.25，然后开始设计数字，然后开始设计数字滤波器。滤波器。（1）计算模型滤波器的边界频率）计算模型滤波器的边界频率)rad/s( 414. 0)2/25. 0tan()2/tan(ccccc(7.115)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science39（2）设计模型滤波器）设计模型滤波器根据巴特沃斯滤波器的极点公式根据巴特沃斯滤波器的极点公式(7.14)，计算模拟系，计算模拟系统统Ha(s)的的1阶极点阶极点再根据模拟系统函数公式再根据模拟系统函数公式(7.18)，写出，写出1阶巴特沃斯滤阶巴特

41、沃斯滤波器的系统函数波器的系统函数（3）设计数字滤波器）设计数字滤波器对模型的系统函数对模型的系统函数Ha(s)应用双线性变换公式应用双线性变换公式(7.109)，获取数字低通滤波器的系统函数获取数字低通滤波器的系统函数)( )(ccca的值暂时不要代入ssHc22c1jes(7.116)(7.117)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science40左图是令左图是令c=1的模拟滤波器的幅频特性，的模拟滤波器的幅频特性，当当时，时，|Ha()|0；右图是数字滤波器的幅频特性右图是数字滤波器的幅频特性，当，当时，时，|H()|0，无折叠失真。，无折叠失真。11111

42、1a414. 01293. 0293. 0)c( 414. 011414. 0| )()(11zzczzccsHzHzzcs自动被抵消比例常数(7.118)图图7.17数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science417.3 直接设计数字滤波器直接设计数字滤波器它的做法是：在数字域里设计数字滤波器它的做法是：在数字域里设计数字滤波器H(z)，设计，设计的依据可以是系统的零极点，也可以是系统的频谱误的依据可以是系统的零极点，也可以是系统的频谱误差，还可以是单位脉冲响应的误差。差，还可以是单位脉冲响应的误差。7.3.1 零极点设计法零极点设计法通过设置系统函数的零极点

43、位置，达到设计数字滤波通过设置系统函数的零极点位置，达到设计数字滤波器的目的。器的目的。不过，设置的零极点必须经过检验，确定不过，设置的零极点必须经过检验，确定它们是否达到技术指标。它们是否达到技术指标。数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science42例题例题7.7 请根据零极点的特点设计一个数字滤波器，请根据零极点的特点设计一个数字滤波器，用它来完成对模拟信号的选频。要求这个数字滤波器用它来完成对模拟信号的选频。要求这个数字滤波器能完成以下的模拟信号处理指标：能完成以下的模拟信号处理指标：（1）完全滤除模拟信号的直流成分和）完全滤除模拟信号的直流成分和250H

44、z成分，成分，（2）有用信号的中心频率是）有用信号的中心频率是20Hz，（3）滤波器的）滤波器的3dB带宽是带宽是10Hz。解解 计算出几个关键的模拟信号频率及其对应的数字角计算出几个关键的模拟信号频率及其对应的数字角频率，频率，表表7.2数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science43为了实现本题的指标（为了实现本题的指标（1），我们在，我们在z单位圆的单位圆的=0和和的地方各设置一个零点，的地方各设置一个零点，为了实现本题的指标（为了实现本题的指标（2），在），在z单位圆的单位圆的=0.08的的地方设置一个极点。地方设置一个极点。零极点必须是共轭对称的。零极

45、点必须是共轭对称的。极点的半径极点的半径r需要经过计算和分析才能确定。需要经过计算和分析才能确定。将这些将这些零极点代入因式的系统函数零极点代入因式的系统函数11201jjezez和08. 0208. 01jjreprep和2121)()()(nnmmpzzzzH(7.122)(7.123)(7.120)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science44经过尝试，得到经过尝试，得到r=0.94，其归一化幅频特性为，其归一化幅频特性为这样设置零极点的系统函数是这样设置零极点的系统函数是21208. 008. 0884. 0821. 111)94. 0)(94. 0(

46、) 1)(1()(zzzezezzzzHjj图图7.18(7.124)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science457.3.2 最小误差设计法最小误差设计法这里的设计误差是，希望的滤波器性能和设计的滤波这里的设计误差是，希望的滤波器性能和设计的滤波器性能之间的差别。器性能之间的差别。最小误差法可在时域中进行，也可在频域中进行设计。最小误差法可在时域中进行，也可在频域中进行设计。（1）时域的最小误差法）时域的最小误差法设计一个可以实现的因果滤波器设计一个可以实现的因果滤波器h(n)，并尽量使，并尽量使h(n)的性能逼近理想滤波器的性能逼近理想滤波器hd(n)的性

47、能。这个的性能。这个“尽量尽量”就是就是工程上常说的工程上常说的“误差最小误差最小”。但是，误差最小的标准是。但是，误差最小的标准是不同的，比如误差平均值最小、误差最大值最小等。不同的，比如误差平均值最小、误差最大值最小等。 数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science46 误差的标准是误差的标准是h(n)-hd(n)=0这种设计方法叫做帕德算法，它要求在时序范围这种设计方法叫做帕德算法，它要求在时序范围0, I+J里，设计的因果系统里，设计的因果系统h(n)等于希望的系统等于希望的系统hd(n)。帕德逼近法的设计原理是这样的。假设等待设计的系帕德逼近法的设计原

48、理是这样的。假设等待设计的系统统h(n)的系统函数是的系统函数是将这个公式右边的分母移到左边，得到将这个公式右边的分母移到左边，得到)( 1)()(010是待定系数和jinJjjjIiiinabzazbznhzH)1( )()(01个待定系数共JIzbzazHzHIiiiJjjj(7.130)(7.131)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science47根据根据z变换的定义变换的定义(4.31)和延时性质（表和延时性质（表4.4），上面公），上面公式的反式的反z变换是变换是帕德方法令帕德方法令n=0I+J时的时的h(n)=hd(n)，并将它们并将它们代入上代入上

49、式式，整理后得到，整理后得到这就是帕德算法，它在时序这就是帕德算法，它在时序n=0I+J的范围内成立，的范围内成立，总共有总共有I+J+1个线性方程，可以求解得到系统函数个线性方程，可以求解得到系统函数(7.130)或差分方程或差分方程(7.132)的系数的系数bi和和aj。)( )()()(01是因果序列nhinbjnhanhIiiJjj)( )()()(dd1d0是已知的其中nhnhajnhbinJjjIii(7.132)(7.133)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science48帕德逼近法能够在时序帕德逼近法能够在时序n=0I+J的范围内做到的范围内做到

50、h(n)=hd(n)，但是，它不能保证时序但是，它不能保证时序nI+J的的h(n)逼近逼近我们希望的我们希望的hd(n)。例题例题7.9 假设磁悬浮列车掠过桥墩的地基震动脉冲响假设磁悬浮列车掠过桥墩的地基震动脉冲响应应hd(n)=5, 2, 1, 0.5。请你用帕德逼近法设计两种无。请你用帕德逼近法设计两种无限脉冲响应系统函数限脉冲响应系统函数H(z)：一种是二阶全极点的，另：一种是二阶全极点的，另一种是单零点和单极点的。要求设计的系统一种是单零点和单极点的。要求设计的系统h(n)在在n=02时等于地基震动脉冲响应时等于地基震动脉冲响应hd(n)。解解 （1）二阶全极点的系统函数）二阶全极点的

51、系统函数观察系统函数观察系统函数(7.130)，对于二阶全极点的系统函数来，对于二阶全极点的系统函数来说，待定系数是说，待定系数是b0、a1和和a2，它们的帕德逼近方程是，它们的帕德逼近方程是数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science49将测量值将测量值hd(n)代入公式代入公式(7.134)，解方程组得到，解方程组得到它们对应二阶全极点的系统函数是它们对应二阶全极点的系统函数是（2）单零点和单极点的系统函数）单零点和单极点的系统函数观察公式观察公式(7.130)，对于单零点和单极点的系统函数来，对于单零点和单极点的系统函数来)20)33(7.1( )2()0

52、() 1 () 1 ()0()0(d2d1dd1dd0JIhahahhahhb，根据帕德算法04. 04 . 05210aab，21104. 04 . 015)(zzzH(7.134)(7.135)(7.136)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science50说，待定系数是说，待定系数是b0、b1和和a1，它们的帕德逼近方程是，它们的帕德逼近方程是将测量值将测量值hd(n)代入公式代入公式(7.137)，解方程组得到，解方程组得到它们的系统函数是它们的系统函数是经过验算，经过验算，h1(n)和和h2(n)在在n=02范围都等于范围都等于hd(n)；在；在n=02

53、以外，以外，h1(3)=0.48，h2(3)=0.5。) 11)133. 7( )2() 1 () 1 ()0()0(d1dd1d1d0JIhahhahbhb，根据帕德算法5 . 05 . 05110abb，1125 . 015 . 05)(zzzH(7.137)(7.138)(7.139)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science517.4 低通滤波器的变换低通滤波器的变换实际应用中，不仅需要低通滤波器，而且还需要高通、实际应用中，不仅需要低通滤波器，而且还需要高通、带通、带阻等滤波器。能不能利用前面介绍的低通滤带通、带阻等滤波器。能不能利用前面介绍的低通滤

54、波器的设计方法，设计其它的选频滤波器呢？波器的设计方法，设计其它的选频滤波器呢？假若有类似频率变换公式假若有类似频率变换公式(7.106)的方法，我们就能在的方法，我们就能在低通滤波器的基础上设计其它选频滤波器。低通滤波器的基础上设计其它选频滤波器。7.4.1 模拟频率域的频率变换模拟频率域的频率变换在模拟频率域中，模拟低通滤波器和其它模拟选频滤在模拟频率域中，模拟低通滤波器和其它模拟选频滤波器的频率变换关系如表波器的频率变换关系如表7.3所示，所示，其箭头符号其箭头符号 表表示频率映射。示频率映射。数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science52使用表使用表7

55、.37.3的映射公式的方法是：将模型低通滤波器的映射公式的方法是：将模型低通滤波器中的复频率中的复频率s s用箭头右边的表达式替换，就可得到我用箭头右边的表达式替换，就可得到我们所需要的选频滤波器。们所需要的选频滤波器。表表7.3数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science53例题例题7.11 有一个有一个3dB截止角频率截止角频率c=1的一阶巴特沃斯的一阶巴特沃斯模拟低通滤波器模拟低通滤波器H(s)。请以。请以H(s)为模型，设计另一个为模型，设计另一个3dB截止频率截止频率fc=100Hz的一阶模拟低通滤波器。的一阶模拟低通滤波器。解解 已知模型的边界频率已

56、知模型的边界频率model=1rad/s，新型滤波器的，新型滤波器的边界频率边界频率new=2100rad/s。根据模拟巴特沃斯滤波器根据模拟巴特沃斯滤波器的极点公式的极点公式(7.18)，作，作为模型的一阶巴特沃斯滤波器为模型的一阶巴特沃斯滤波器的极点是的极点是) 1( 1)11(2model1Nesj阶(7.152)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science54它对应的一阶系统函数是它对应的一阶系统函数是是最简单的低通滤波器。图是最简单的低通滤波器。图7.24的左图是的左图是Hmodel(s)的幅的幅频特性，它的幅值在频特性，它的幅值在3dB截止角频率截止

57、角频率c=1rad/s的地方的地方符合题目要求。符合题目要求。)1( 11)(cmodel波器的滤波器叫做归一化滤ssH(7.153)图图7.24数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science55现在，利用表现在，利用表7.3的低通滤波器映射关系，将归一化滤的低通滤波器映射关系，将归一化滤波器波器(7.153)的复频率的复频率s替换为箭头右边的表达式，就可替换为箭头右边的表达式，就可以得到新型滤波器以得到新型滤波器它就是我们需要的它就是我们需要的fc=100Hz的低通滤波器。的低通滤波器。图图7.24的的右图是右图是Hnew(s)的幅频特性，它的幅值在的幅频特性，

58、它的幅值在3dB截止频率截止频率fc=100Hz的地方满足本题要求。的地方满足本题要求。6286281)1002/(1)(newsssH(7.154)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science56例题例题7.13 鸟类研究者需要一种模拟带通滤波器，它的鸟类研究者需要一种模拟带通滤波器，它的通带截止频率是通带截止频率是5kHz和和8kHz，通带最大衰减是，通带最大衰减是2dB，阻带截止频率是阻带截止频率是3kHz和和12kHz，阻带最小衰减是，阻带最小衰减是20dB。请设计一个切比雪夫请设计一个切比雪夫1型的模拟带通滤波器。型的模拟带通滤波器。解解 参考表参考表

59、7.3的低通滤波器映射到带通滤波器的复频的低通滤波器映射到带通滤波器的复频率映射公式，率映射公式，该公式的边界频率并没有区别通带频率和阻带频率，该公式的边界频率并没有区别通带频率和阻带频率，现在选择通带频率作为上式的边界频率，现在选择通带频率作为上式的边界频率，则则L=pL和和H=pH。令。令model=model, p=1，这样一来，上式的复，这样一来，上式的复频率转换公式就变为频率转换公式就变为 )( )(HLmodelLHHL2model和对应边界频率sss(7.160)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science57它们的频率映射关系是它们的频率映射关系

60、是其中其中0叫做通带的中心频率。它的计算方法是：叫做通带的中心频率。它的计算方法是：首先，要观察中心频率首先，要观察中心频率f f0 0是否满足几何要求。由于，是否满足几何要求。由于，通带的通带的fpLfpH=40k2，阻带的，阻带的fsLfsH=36k2，两者不相，两者不相等，需要调节某个边界频率，以满足中心频率的几何等，需要调节某个边界频率，以满足中心频率的几何要求。比如，调节要求。比如，调节fsL=40k2/(12k)3.333 (kHz)，经过，经过调整，中心频率调整，中心频率f06.324kHz。然后，运用公式。然后，运用公式(7.162)求解模型的阻带边界，求解模型的阻带边界，)(