大学物理第2-3章

1、二-三、 质点动力学（质点动力学（Dynamics of Particles）引言引言：前一章对质点运动进行了描述，此章介绍：前一章对质点运动进行了描述，此章介绍 质点为什么会处在某种状态以及这种状态质点为什么会处在某种状态以及这种状态 为什么会改变。为什么会改变。 1687年牛顿提出了牛顿三定年牛顿提出了牛顿三定律解决了此问题。是否没有必律解决了此问题。是否没有必要再讲？要再讲？(一一)牛顿定律的表述及其意义牛顿定律的表述及其意义自由物体永远保持静止或匀速直线动状态。自由物体永远保持静止或匀速直线动状态。由于自然界的相互作用力有一共同特点：由于自然界的相互作用力有一共同特点：相距越远作用力越

2、小相距越远作用力越小，故当一个物体距其，故当一个物体距其它物体足够远时，或其它物体对该物体的它物体足够远时，或其它物体对该物体的相互作用力相互抵消时均可视为自由物体相互作用力相互抵消时均可视为自由物体-如远在天的边慧星。如远在天的边慧星。 a）自由物体自由物体-凡不受其它物体凡不受其它物体 作用的物体。作用的物体。 b）说明物体具有惯性）说明物体具有惯性-不受外力时物体都不受外力时物体都 有保持静止或匀速直线运动状态的性质。有保持静止或匀速直线运动状态的性质。1）牛顿第一定律）牛顿第一定律 c 说明力是引起物体运动状态改变的原因。说明力是引起物体运动状态改变的原因。任一时刻物体动量的变化率总是

3、等于物体任一时刻物体动量的变化率总是等于物体所受的合外力。所受的合外力。v当当C时：时：m=c o n s tamdtvdmF 或或mFai 2）牛顿第二定律牛顿第二定律 （牛顿当年发表形式）（牛顿当年发表形式）iFFdtpd说明说明：a ）定律定量地说明了力的效果）定律定量地说明了力的效果-改变物体的动量。物体动量的变化率一定等改变物体的动量。物体动量的变化率一定等于物体所受的合外力。于物体所受的合外力。dtvmd)( b） 定量地说明了物体质量是物体惯性大小的定量地说明了物体质量是物体惯性大小的量度。量度。F相同的条件下，质量大的物体加速度小，质相同的条件下，质量大的物体加速度小，质量小的

4、加速度大，说明质量越大的物体越难量小的加速度大，说明质量越大的物体越难改变运动状态。即质量是物体惯性大小的量改变运动状态。即质量是物体惯性大小的量度。度。1m2mF1221mmaa 若定义若定义m1为标准质量，为标准质量，便可测定其它物体的便可测定其它物体的质量。定量地给出了质量。定量地给出了其它物体的质量。其它物体的质量。F1a2a注意注意：a）要注意定律的瞬时性）要注意定律的瞬时性-力的作用力的作用与加速度是瞬时对应的。与加速度是瞬时对应的。 Fb ）要注意定律的矢量性）要注意定律的矢量性-定律中定律中的力和加速度都有是矢量。的力和加速度都有是矢量。今天今天a明天明天写出其分量式为：写出其

5、分量式为：直角坐标系 i)222222dtzdmdtdvmmaFdtydmdtdvmmaFdtxdmdtdvmmaFzzzyyyxxx自然坐标系 ii)2vmmaFdtdvmmaFnn222zyxFFFF22nFFF力的独立性原理：什么方向的力只产生什么方力的独立性原理：什么方向的力只产生什么方向的加速度而与其它方向的受力及运动无关。向的加速度而与其它方向的受力及运动无关。XYOA水平方向不受力作匀速直线运动，水平方向不受力作匀速直线运动，竖直方向受重力只产生竖直方向的竖直方向受重力只产生竖直方向的加速度而不影响水平方向的运动，加速度而不影响水平方向的运动，水平方向不受力的情况也不影响到水平方

6、向不受力的情况也不影响到竖直方的运动。因此平抛运动可以竖直方的运动。因此平抛运动可以看看作水平方向的匀速直线运动和竖作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的叠加直方向的自由落体运动的叠加。这。这就是就是运动的叠加原理运动的叠加原理。 c ）使用时应注意单位制）使用时应注意单位制 S I 制中：制中：F牛顿牛顿 m千克千克a-2米 秒V0g3)牛顿第三定律牛顿第三定律物体物体A以力以力 作用在物体作用在物体B上上,物体物体B必定同时必定同时以力以力 作用在作用在A上上, 作用在同一直线上作用在同一直线上且大小相等且大小相等.方向相反方向相反,无主从之分。无主从之分。2F1F21.FF或

7、；一对作用力反作用力总是大小相等、或；一对作用力反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一直线上不同物体上。方向相反、作用在同一直线上不同物体上。2112FF -mg地心地心mgFFNN注意：注意： 、 作用力反作用力无主从之分、先作用力反作用力无主从之分、先 后之分、同时产生、同时消失。后之分、同时产生、同时消失。2、作用力、反作用力总是作用在不作用力、反作用力总是作用在不同的物体上，不会抵消。同的物体上，不会抵消。3、作用力、反作用力是同性质的力作用力、反作用力是同性质的力4）牛顿定律适用的参照系）牛顿定律适用的参照系-惯性系惯性系1、牛顿定律不是适用一切参照系、牛顿定律不是适用一切参照系

8、意义：意义：说明了力的起源是物体的相互作用。说明了力的起源是物体的相互作用。即：作用力、反作用力要满足：即：作用力、反作用力要满足： 等大、反向、共线、同时、同等大、反向、共线、同时、同性、作用在不同物体上。性、作用在不同物体上。 BA静止时静止时a)牛顿定律不是适用一切参照系牛顿定律不是适用一切参照系火车加速时：地面上的人看来火车加速时：地面上的人看来A物体不受力由于惯物体不受力由于惯性而相对地球不动，性而相对地球不动，B物体由于受力而作加速运动，物体由于受力而作加速运动，符合牛顿定律。而火车上的人以火车作参照系看来符合牛顿定律。而火车上的人以火车作参照系看来A物体不受力，而作加速运动，物体

9、不受力，而作加速运动，B物体受力，而相对物体受力，而相对火车静止，不符合牛顿定律。火车静止，不符合牛顿定律。物体没有不受力而保物体没有不受力而保持静止或匀速直线运动的性质持静止或匀速直线运动的性质，当然无惯性可言。，当然无惯性可言。对火车这个参照系而言，牛顿定律不成立！对火车这个参照系而言，牛顿定律不成立！BAaFab）牛顿定律适用的参照系）牛顿定律适用的参照系-惯性系惯性系自由物体可以作为惯性系，但实际上并不存在绝对自由物体可以作为惯性系，但实际上并不存在绝对不受力的物体，因此这个不受力的物体，因此这个 问题成为一个实践性的问问题成为一个实践性的问题。实验表明：题。实验表明： a、地球、太阳

10、可以看作近似的惯性系（恒星）、地球、太阳可以看作近似的惯性系（恒星）b、相对惯性系作匀速直线运动的参照系也、相对惯性系作匀速直线运动的参照系也 是惯性系是惯性系地球地球日日al a11!2lMa例：如图，有一条长为 质量为的均匀分布的链条成直线状放在光滑的水平桌面上。链子的一端有极小的一段（长为 ）被推出桌子边缘，在重力作用下从静止开始下降，试求：（）链条刚离开桌面时的速度。（要求用牛顿第二定律做 ）（ ）若链条与桌面有摩擦并设摩擦系数为 ，问链条必需垂下多长时才能开始下滑。，如图段的拉力向仅受段在水平方。、加速度分别为段。两部分的质量和长，为段，已下垂为条为时刻，留在桌面上的链）设在解：（)

11、(12121aTBCABaammBCxABtABT1aN)(a图段有：由牛顿第二定律，对AB) 1 (1111dtdvmamTgm1。如图与重力段的拉力段在竖直方向受)(,2bgmTABBCBC2aTgm2段有：据牛顿第二定律对BC)2(22222dtdvmamTgm)3(21dtdvdtdvdtdv因绳不可伸长，有：)4(TTglxgmmmdtdv212联立上四式有：dx两边乘以gdxlxdxdtdvgdxlxdxdtdvvdtdxxdxlgvdv 故有：lavxdxlgvdv0)(22allgv速度为：则链条刚离开桌面时的）中四个方程改为：，则（的摩擦力为到桌面时链条开始下滑，考虑设当下垂

12、长度为1)2(fd)4()3()2() 1 (21222221111TTdtdvdtdvdtdvdtdvmamTgmdtdvmamfT）（联立解得：fgmmmdtdv2211）（gmgmmm12211，求链条要开始下滑，则要0dtdv12mm即dldmm12因为)(dld所以ld1由此可得*例例2、如图所示，一根均质柔绳，单位长度的质、如图所示，一根均质柔绳，单位长度的质 量为量为 ，盘绕在一张光滑的水平桌子上。，盘绕在一张光滑的水平桌子上。 、设在、设在t=0时时 y=0, 今以恒定的加速度今以恒定的加速度a 竖直向上提绳。当提起的高度为竖直向上提绳。当提起的高度为y时时,作用作用 在绳端的

13、力为多少？在绳端的力为多少？0vv、以一恒定的速、以一恒定的速 率率 竖竖 直向上提绳子时，当提直向上提绳子时，当提 起高度为起高度为y时作用在绳端时作用在绳端 的力又是多少？的力又是多少？FF 、以恒力、以恒力F竖直向上提，竖直向上提， 当提起高度为当提起高度为y时绳端时绳端 的速度又是多少？的速度又是多少？ YOFFYO已知：已知：t=0时，时，y=00vconsta constv 求求h= y时时,?F求高度求高度y时时,?FconstF 求高度求高度y时时,?v解：以链条整体作为研究解：以链条整体作为研究 对象。以地面为参照对象。以地面为参照 系建立坐标系建立坐标OYym1 gm2 g

14、) 1 ()(2ygFdtvmd)2()(ygFdtyvdN分析：因力等于动量的变化分析：因力等于动量的变化链条动量的变化只是被拉起来的的部分，在桌面链条动量的变化只是被拉起来的的部分，在桌面上的部分动量总是为零。故有：上的部分动量总是为零。故有：(N与与m1g 抵消抵消)FFYO已知：已知：t=0时，时，y=00vconsta 求求y=h时时,?Fhm1 gm2 gygFdtdvydtdyv)2()(ygFdtyvdNygFyav2)3()(2yavygF讨论：讨论：consta ayv22yagF)3(FFYOhm1 gm2 gN)3()(2yavygF讨论：讨论：是变化的vaconstF

15、 )(2vygFoa constv dtdydydvdtdvadydvv)(212vdyd)4()(2122ygFdyvdyvFFYOhm1 gm2 gN同同/2y222222)(2gyyFdyvdyyv)32()(3222gyyFdydyvdyd) 4()(2122ygFdyvdyvFYOhm1 gN)32()(3222gyyFdydyvdyd323222gyyFdyvdCgyyFyv322232两边积分：两边积分：代入初始条件：代入初始条件：t=0时，时，y=00v得得C=032321gyyFyvgyFv32aFbsdsFfsAcos):(的夹角正向小于或等于与SF:ba到质点由,dsF取

16、力元位移作功dAF ds元 功作功总和为整个过程FbaAdAF ds作功恒力对沿直线运动物体).1 (作功变力对沿曲线运动物体).2(合力的功).3(sdFAba总sdFFFban).(21sdFsdFsdFbanbaba.21nAAA.21分力的功的代数和合力的功等于各功率表示作功的快慢).4(a、平均功率tAPb、瞬时功率dtdAP 力的瞬时功率：c、dtdAP dtdsFcosdtdsFcosvFcosvF、动能和动能定理2FFabnFavbv等于质点动能的增量合外力对质点所作的功初末kkabEEAdsFdsFAbabaabcosdsdtdvmdsmababa221221abvvmvmv

17、mvdvbakakbEE、保守力和非保守力1万有引力的功) 1 (与路径无关Maarbbrmsddr2rmMGf dsfdAcoscos)180cos(fdsdsffdrfbarrbarrGmMdrrmMGA)11(2)()(barmMGrmMG初末重力的功与路径无关. 2重力的功)2(与路径无关abxyzoahbh)()(bahhababhhmghhmgmgdzAba初末abxo0l弹簧弹性力作的功)3(与路径无关点弹性力作的功点到小球由babaxxabxdFAbaxxkxdx22222121)(21baabkxkxxxk初末称之为保守力。而与所经路径无关，则体的始末位置，如果力作功仅与运动

18、物力等。还有，静电场力、分子有引力都是保守力重力、弹簧弹性力、万摩擦力的功)4(与路径有关abmm1S2Sff1L2LmgfmgdsdA摩擦力所作元功：运动，摩擦力所作的功沿路径1L11LLmgdsA1mgS：运动，摩擦力所作的功沿路径2L222mgSmgdsALL称为非保守力作功与路径有关的力是磁力、火药爆炸力等亦摩擦力是非保守力，、势能2功。负值等于保守力所作的作用下，势能的增量的定义：质点在保守力的)(abPPEEA保能零点选取有关）在某点的势能：（与势势能零点保保aPsdFAEa功势能零点的保守力所作从该点经任意路径到选取无关势能之差却与势能零点选取有关某点的势能与势能零点2211kx

19、ErGMmEmghEPPP弹性势能：引力势能：重力势能：常见势能函数：弹引重0kikiiEEA0knknnEEA2022kkEEA1011kkEEA动能定理：对质点组中每个质点用 质点组力）内力（质点间相互作用质点组受到外力和0kkiEEAAA内外00ikikikkAEEEEPPEEAAAA0保内非保内保内内00)(kkPPEEAEEA非保内外0)()(00EEEEEEAAPkPk非保内外即：保守内力的功的代数和于它所受一切外力和非点组机械能的增量，等质点组的功能原理：质功的计算求力作的功应用）已知：（sdFAFFxFF),(),(1dhh1h0h331 10/kg m 解：已知水的密度。gh

20、dmdAdm元功：质量的水抽到地面需作将SdhdmSghdhdA23:50,1.55.0mmm例一地下蓄水池，面积为贮水深度为。假定水平面低于地面的高度是。问要将这池水全部吸到地面，需作功多少？100hhhdAA地面需作功：将蓄水池中水全部吸到100hhhSghdh)2(211021hhhSg)(1023. 4)5 . 10 . 525 . 1 (8 . 95010121623JABORNvddsfmgsinmgcosmg解：以物体为研究对象析任取一位置进行受力分的过程中，到在物体由BAdtdvmfmgcos向有：根据牛顿第二定律沿切dtdvmmgfcos是变力f4mABBvRAB例 ：质量为

21、 的物体从静止开始，在竖直平面内沿着四分之一的圆周从 滑到（如图）。在 处速度的大小是 ，已知圆的半径为 ，用作功定义求物体从 到 摩擦力所作的功。摩擦力所作元功：物体经过位移元dsfdsdAdsdtdvmmg)cos(过程摩擦力所作的功：到由BAdAAdsdtdvmdsmg)()cos(dvdtdsmdRmgv020cosdvmvmgRv0221mvmgR作的功。力到求从应用动能定理已知：FttmvmvAtrrtFF2121222121),(),()2(,3vs末的速度为解：设物体在maF 根据牛顿第二定律：dtdva mF10242t2510042 ()3mkgxtFtNsF例 ：质量为的

22、物体沿 轴无摩擦地运动，时，速度为零。设物体在的作用下运动，经历了 ，求力 对质点作的功。dttdv10242分离变量3020)1024(dttdvv两边积分)/(3smv 得：222121mvvmA由动能定理得)(450310212JdyFAdxFAFAAAjFiFFyyxxyxyx作的功，其中求力应用）合力的功。已知：（,3taxcos解：由题设知：22dtxdax则tacos2x2xmmaFxx26cossin,02mratibtj abtt例 ：已知一质量为 的质点作平面曲线运动，其运动方程为、 、 均为正常量，试求在到时间内质点所受合外力的功。02cos20cos0axtaaxt时，

23、时，02axxdxmA2221matbysin同理：22dtydayytb22sinymmaFyy2bbytbyt2sin200sin0时，时，dyFAyy220221mbydymb)(21222bamAAAyx故合外力作功：dxFAxxxdxm2ABORv）用功能原理计算功。（4用功能原理求点处为重力势能零点。以统，解：取物体与地球为系BmgRE 1mgREEAPk11, 0点，初态：在0,21222PkEmvEB点，末态：在2221mvE mgRmvAEEA21221得：用功能原理7mABBvRAB例 ：质量为 的物体从静止开始，在竖直平面内沿着四分之一的圆周从 滑到（如图）。在 处速度的

24、大小是 ，已知圆的半径为 ，用作功定义求物体从 到 摩擦力所作的功。*例例8:一条均匀链条，质量为一条均匀链条，质量为m， 总长总长 成直线成直线 状放在桌上，设桌面与链条之间的摩擦系数为状放在桌上，设桌面与链条之间的摩擦系数为 。现已知链条下垂长度为。现已知链条下垂长度为a时，链条开始下滑时，链条开始下滑 ，试计算链条刚巧全部离开桌面时的速率。，试计算链条刚巧全部离开桌面时的速率。laal,已知：已知：v求：求：解：方法解：方法1：利用动：利用动能定理能定理v以链条为研究对象以链条为研究对象0212mvAAfWNxYygfavfmgxY求重力的功：求重力的功：ygdydAW)/(lmNlaW

25、gydyA)(2122alg)(222allmg求摩擦力的功：求摩擦力的功：0lafAfdxalfdx0alxgdx02)(2alg2)(2allmgavfmgxY)/(lmN)(222allmgAW2)(2allmgAf0212mvAAfW代入动能定理：代入动能定理：)(222allmg2)(2allmg221mv)()(222alallgvavfmgxYlm/2)(2allmgAf12EEAf方法方法2：以链条和地球为：以链条和地球为研究对象，由功能原理：研究对象，由功能原理：)2()(1alagglalE22212mvlmgE以链条以链条刚巧全部离开桌面时刚巧全部离开桌面时链条底端为势能

26、零点链条底端为势能零点)(al lavfmgxY)(lmN2)(2allmgAf12EEAflalgE)(122212mvlmgE)()(222alallgv2)(2allmg)212(2mvlmg()()2ag la lga l)2(algal角动量动量、冲量1的积累效应）冲量（力在一段时间内) 1 ()(12ttFI)(tF若变力?dtFId内冲量：在变力dttF )(内冲量：在变力12)(tttF21ttdtFI：对恒力F合力的冲量：21ttdtFI 21)(ttidtF 21)(ttidtFiI冲量的矢量和合力的冲量等于各分力动量)2(vmP角动量)3(mLroP角动量定义：vmrPr

27、Lsin rmvL 大小：右手螺旋方向： 特例OLrP2sinrPPrLrmv角动量定理、动量定理、2动量定理) 1 (质点动量定理a、a1v2vbm)(tFvdtvdmamFdt两边乘)( vmdvmddtF动量定理微分形式两边积分122121)(vmvmvmddtFvmvmtt积分形式12PPI用冲量表示：直角坐标）：动量定理的分量形式（121212212121zzttzzyyttyyxxttxxPPdtFIPPdtFIPPdtFI质点组动量定理b、PddtF外122121PPPddtFPPtt外微分形式积分形式角动量定理)2(点所受的合外力决定的量的时间变化率是由质由动量定理知：质点动d

28、tPdF外率？质点角动量的时间变化两边求导对vmrLdtvmrddtLd)(vmdtrddtvmdr)(0vmvvmdtr d)()(dtdmvdtvdmrdtvmdrdtLddtvmdF)(FrdtLd得：FrMdtLdM注：的位矢）的作用点对参考点是力（其中，的力矩对参考点称为力OFrOFFrM) 1 (方向：右手螺旋力矩的大小：sinFrM 。的惯性系是固定不动的而且这参考点对于所选而言，必须是相对同一参考点与中LMdtLdM)3(性系中才成立。角动量定理也只有在惯顿第二定律导出，所以由于角动量定理是由牛)2(0EEAA非保内外功能原理：0非保内外AA常量0EE条件机械能守恒定律12PPI动量定理