欧拉平衡微分方程

1、2021/3/91一、欧拉平衡微分方程的推导一、欧拉平衡微分方程的推导 如图如图2.5，在平衡液体中，在平衡液体中，取一微小六面体，为研取一微小六面体，为研究的方便，使其各边分究的方便，使其各边分别平行于坐标轴，边长别平行于坐标轴，边长分别为：分别为：dx, dy, dz,其形其形心点为心点为M(x, y, z)，点点M的压强为的压强为p(x, y, z)2021/3/92 由于六面体各面的形心到点由于六面体各面的形心到点M的距离很的距离很小小,压强在压强在M点附近的变化可点附近的变化可用泰勒级数用泰勒级数表示表示,且可忽略二阶以上的微量且可忽略二阶以上的微量,于是：于是：分析作用于六面体表面

2、的力：分析作用于六面体表面的力：（为简化，只讨论（为简化，只讨论X方向，方向，Y，Z方向同理可得）方向同理可得） 1.表面力：表面力：只有静水压力只有静水压力2021/3/93labdc面上的中心点面上的中心点M1（x-dx/2，y，z），其压强为：），其压强为：labdc面上的中心点面上的中心点M2（x+dx/2，y，z），），其压强为：其压强为：2dxxpp2dxxppM1M22021/3/94 单位质量力在各坐标轴方向的分量为：单位质量力在各坐标轴方向的分量为：X，Y，Z，六面体的质量为：，六面体的质量为：dxdydzvmdxdydzXFxdxdydzYFydxdydzZFz2.质量力质

3、量力F：2021/3/95根据平衡条件根据平衡条件Fx=0，则有：，则有： 0)2()2(dxdydzXdydzdxxppdydzdxxpp除以除以dxdydz，得：，得：0 xpX同理可得：同理可得：0ypY0zpZXxpYypZzp(2.2)(2.3)2021/3/96表明，在静表明，在静止液体中止液体中,静水压强沿某方向的变静水压强沿某方向的变化率与该方向单位体积上的质量化率与该方向单位体积上的质量力相等。力相等。XxpYypZzp(2.3)2021/3/97二、欧拉平衡微分方程的综合形式二、欧拉平衡微分方程的综合形式 将欧拉平衡微分方程分别乘以将欧拉平衡微分方程分别乘以dx，dy，dz

4、，后相加得：后相加得：)(ZdzYdyXdxdzzpdyypdxxp)(ZdzYdyXdxdp （2.4）综合形式综合形式 （压强差公式）（压强差公式）2021/3/98 （2.4）式左边是）式左边是p(x, y, z)的全微分，右边括号的全微分，右边括号内各项之和也应是某一函数的全微分，这个内各项之和也应是某一函数的全微分，这个函数是函数是U (x, y, z) ，称为称为质量力的势函数质量力的势函数, 简称简称力势函数。力势函数。 有力势函数存在的力场，叫势场。有力势函数存在的力场，叫势场。)(ZdzYdyXdxdp三、质量力的势函数、有势力、等压面三、质量力的势函数、有势力、等压面202

5、1/3/99当力势函数存在时，有：当力势函数存在时，有：zUZyUYxUX,dzzUdyyUdxxUdUdUdp（2.5）)(ZdzYdyXdxdp2021/3/910dUdp（2.5）（2.5）表明压强在空间的变化是由质量力引起的表明压强在空间的变化是由质量力引起的.等压面：等压面：在同一种连续液体中，由压强相等的各在同一种连续液体中，由压强相等的各点所组成的面。点所组成的面。在等压面上，压强在等压面上，压强p=常数常数(const)，于是：于是：0dUdp0dUU=常数常数(const)，所以，所以等压面也是等势面等压面也是等势面2021/3/911等压面的微分方程：等压面的微分方程：0dp即：即：0ZdzYdyXdx（2.6）等压面的微分方程等压面的微分方程 dx，dy，dz是单位质量力的微小位移在各坐是单位质量力的微小位移在各坐标轴方向的投影。（标轴方向的投影。（2.6）表明：）表明： 单位质量力所做的微功等于零单位质量力所做的微功等于零. 由于质量力和位移都不为零，由于质量力和位移都不为零，所以在静止液所以在静止液体中质量力与等压面正交。体中质量力与等压面正交。2021/3/912 因此，在质量力只有重力时，等压面为一水因此，在质量力只有重力时，等压面为一水平面。平面。 常见的等压面：常