第四章信号频域分析(1)

1、 17681768年生于法国年生于法国 18071807年年3939岁时提出岁时提出“任任何周期信号都可以用正何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示弦函数的级数来表示” 拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表 18221822年首次发表年首次发表“热的热的分析理论分析理论”，公之于世，公之于世 18291829年狄里赫利第一个年狄里赫利第一个给出收敛条件给出收敛条件傅里叶生平傅里叶生平17681830周期矩形波的分解与合成 ： 从信号分析的角度从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。 从系统分析角度从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响

2、应，利用迭加特性迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应,及每个正弦分量通过系统后的变化。傅立叶级数（傅立叶级数（Fourier Series）：）：1. . 周期信号展开为傅里叶级数周期信号展开为傅里叶级数条件条件周期信号 应满足Dirichlet条件，即：(1) 在一个周期内绝对可积，即满足 (2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点；(3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。ttxTTd )( 2/2/00)(tx几个不满足几个不满足Dirichlet条件的信号条件的信号该函数在一周

3、期内该函数在一周期内积分为无穷积分为无穷此函数在一个周期有此函数在一个周期有无限个极值无限个极值此函数在一个周期有此函数在一个周期有无限个间断点无限个间断点tnnnCtx0j=e )(ttxTCtTttnnde )(1 0000 j0连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为其中1n两项的基波频率基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量基波分量2n的频率频率为2f0，两项合起来称为信号的2次次谐波分量谐波分量Nn的频率频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次次谐波分量谐波分量物理含义：周期信号 可以分解为不同频率虚指数信号之和)(tx若 为实函数实函数，则Cn具有共轭偶对称性。即)(tx

4、nnCC利用此性质可将指数Fourier级数表示写为三角形式tnnntnnnCCCtx00j1j10ee)(tnntnnnCCC00jj10ee令2jnnnbaC由于C0是实的，所以 b0= 0，故200aC 2jnnnbaC则有将C0 Cn Cn代入上面指数Fourier级数中，即得三角形式三角形式000d)(200TttttxTa其中：)sincos(2)(1000nnntnbtnaatx000)1,2=( d)cos()(200TttnnttntxTa000)1,2=( d)sin()(200TttnnttntxTb100cos2)(nnntnAatx）（22nnnbaA nnnabar

5、ctg其中 a0/2称为信号的直流分量， An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。傅立叶级数的三种表示方法100cos2)(nnntnAatx）（)sincos(2)(1000nnntnbtnaatxtnnnCtx0j=e )(纯指数形式：纯指数形式：三角函数形式：三角函数形式：纯余弦形式：纯余弦形式：例1 试计算图示周期矩形脉冲信号 的傅里叶级数展开式。)2(Sa00nTAtATttxTCtnTTtnnde1de )(122j022j00000tj=000e )2(Sa nnnTAtnnnCtx0j=e )(002T)(tx解解: 该周期信号 显然满足狄里赫勒的三个条件，

6、必然存在傅里叶级数展开式。)(tx因此， 的指数形式傅里叶级数展开式为)(tx例1 试计算图示周期矩形脉冲信号 的傅里叶级数展开式。)(tx解解:tnnTATAtxn00010cos)2(Sa2)()5cos513cos31(cos22)(000tttAAtx若 =T0/2，则有002T由于 为实信号且满足偶对称，故其三角形式傅里叶级数展开式为)(tx例例2 2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。解解: 该周期信号显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在)dede(21de )(110j01j2/2/j000000ttttttxTCtntnTTtnn)deedee(j2110j10j0

7、1j01j00000ttttntntntntn) 1(cos)(12nn200T例例2 2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。tmmm0)12( j=2e) 1(22 21tnnnCtx0j=e )(0, 2/1,)/(2) 1(cos)(122nnnnnCn为奇数周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为200T例例2 2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为) e Re(2)(0j10tnnnCCtx由tnmtxm01=2cos) 1(24 21)(ttt0202025cos2543cos94cos421200T求 Cn

8、。)4cos(3)(0ttx)4( j)4( j00ee213tttt00j4jj4jee23ee234j14j1e23,e23CC1, 0nCn)4cos(3)(0ttx根据指数形式傅里叶级数的定义可得纵轴对称信号纵轴对称信号2/0002/2/00000d)cos()( 4d)cos()(2TTTnttntxTttntxTa0d)sin()(22/2/0000TTnttntxTb 纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。T0 / 2T0 / 2t0A)(txT0 T0 )()(txtx原点对称信号原点对称信号 原点对称周期信号其傅里叶级数展开式傅里叶级数展开

9、式中只含有正弦项。0d)cos()(22/2/0000TTnttntxTa2/0002/2/00000d)sin()( 4d)sin()(2TTTnttntxTttntxTb)()(txtxt0A-AT0 / 2T0 / 2)(tx半波重迭信号半波重迭信号 半波重叠周期信号半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次正弦与余弦的偶次谐波分量，谐波分量，而无奇次谐波分量。T0 / 2T0 / 2A0tT0T0)(tx)2/()(0Ttxtx半波镜像信号半波镜像信号 半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。谐波分量，而无直流分量与

10、偶次谐波分量。)2/()(0TtxtxT0/2T00tA-A)(tx ：某些信号某些信号波形经上下或左右平移后，波形经上下或左右平移后，才呈现出某种才呈现出某种)(tx0TT2T3TT2T3A)(tx0TT2T3TT2T32/A去掉直流分量后， 信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。 因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。 周期信号可以分解为不同频率虚指数信号之和tnnnCtx0j=e )(100cos2)(nnntnAatx）（)sincos(2)(1000nnntnbtnaatx 不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 Cn是频率的

11、函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。谱线，包络谱线，包络1 13 n|Cn|1|C2|C3|O|C0|1133频谱的概念频谱的概念tnnnCtx0j=e )(nnnCCje 直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。nnnCCje幅度频谱幅度频谱Amplitude Spectrum相位频谱相位频谱Phase Spectrum例1 周期矩形脉冲信号的频谱图周期矩形脉冲信号的频谱图)2(Sa00nTACn频谱图频谱图例例2 计算如下连续周期信号的频谱，并画出频谱图。计算如下连续周期信号的频谱，并画出频谱图。6nCn0336994331

12、12240C31C12C23CtnnnCtx0je)()ee (2)ee ()ee ( 34000000j3j3j2j2jjtttttt000( )46cos()2cos(2)4cos(3)x tttt周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成的。 信号周期 T0越大，0就越小，则谱线越密。反之， T0越小，0越大，谱线则越疏。 当周期信号的幅度频谱随着谐波n0增大时，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。 若信号若信号时域波形变化越平缓时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快幅度频谱衰减越快；若信号；若信号时域波形变化跳变越多时域波形变化跳变越多，高次谐波成

13、分就越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢幅度频谱衰减越慢。 02 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的,即 2B即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配匹配”。信号的有效带宽有多种定义方式。0 jntnnc e函数表示：波形表示：频谱图（幅度谱、相位谱）傅立叶级数的意义傅立叶级数的意义时域周期信号时域周期信号f(t)f(t)CTFSCTFS周期信号经过傅立叶级数展

14、开，将时域信号周期信号经过傅立叶级数展开，将时域信号f(t)转换转换到了频域表示到了频域表示t 。幅频不变，零相位幅频为常数，相位不变 nnCtxCtx2211)( , )( 若nnCaCatxatxa22112211)()( 则有| nnCC则nn若 为实信号)(tx幅度谱是偶函数，幅度谱是偶函数，相位谱是奇函数相位谱是奇函数 )( nCtx若ntnCttx 00j0e)( 则有MntMCtx0je )(则有 )( nCtx若nnCtxCtx2211)( , )(nnCCTtxtx21021)(*)( 则有 )( nCtx若nCntx 0j)( 则有若 均是周期为T0的周期信号，且)()(2

15、1txtx和求图示周期信号的傅里叶级数求图示周期信号的傅里叶级数)2cos()2(Sa5 . 0)(12tnntxn)2cos()2(Sa5 . 1)(1tnntxn)()()(21txtxtx 物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。 周期信号的功率频谱： |Cn|2 随n0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。帕什瓦尔帕什瓦尔( (Parseval) )功率守恒定理功率守恒定理22/2/2000d| )(|1nn=TTCttxTP例例2 2 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02 /)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比

16、。其中A=1，T0=1/4，=1/20。 解：解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为)2(Sa00nTACn将A=1，T0=1/4， = 1/20，0= 2/T0 = 8 代入上式)5/(Sa2 . 0)40/(Sa2 . 00nnCn例例2 2 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02 /)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T0=1/4，=1/20。 )5/(Sa2 . 0nCn信号的信号的平均功率平均功率为为2 . 0d)(12/2/2000TTttxTP)5(Sa25122nCn例例2 2 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02 /)内谐波分量所具有的平均功率占整

17、个信号平均功率的百分比。其中A=1，T0=1/4，=1/20。 2nC0n84040251周期信号的功率谱包含在有效带宽(0 2 / )内的各谐波平均功率为41=22044=21 |2 |nnnnCCCP%90200. 01806. 01PP1806. 0tttttx0000j2jjj2e2e34e3e2)(求其功率。22/2/2000d)(1nnTTCttxTP40C31C22C422343222222Ptttx002cos4cos64)(？ 用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，且 为跳变值的9% 。吉伯斯现象产生原因吉伯斯现象产生原因 时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.