微分中值定理与导数应用ppt课件

1、 微分中值定理微分中值定理则至少存在一点则至少存在一点 0)( f),(ba 一、罗尔定理一、罗尔定理（iiif (a)= f (b).设函数设函数 f (x)满足：满足：证证:f (x)在在a, b上必取得最大值上必取得最大值M和最小值和最小值m .则则f (x)在在a, b上恒为常数，上恒为常数，因而因而 f (x) 0，定理定理1罗尔定理）罗尔定理） （i在闭区间在闭区间a, b上连续；上连续；（ii在开区间在开区间(a, b)内可导；内可导；所以对于任一点所以对于任一点 (a, b)，微分学的理论基础导数与应用的桥梁Rolle,16521719 (1) 若若M = m，使使由由(i )

2、知知:都有都有f () = 0；否则否则 f (x)必恒为常数。必恒为常数。那么那么 M 和和 m 之中至少有一个不等于之中至少有一个不等于 f (a)， 设在点设在点(a, b)处，处，函数函数f (x)取得最大值取得最大值f () = M，都有都有f (x) f ()，即即f ( x) f ( ) 0.由条件由条件(ii)，f (x)在点在点可导，可导，于是，当于是，当x 0时，时，,0)()(xfxf 从而，从而，.0)()()(lim0 fxfxfx (2) 若若M m，不妨设不妨设M f (a)，即最大值即最大值M不是端点处的函数值。不是端点处的函数值。则对一切则对一切x(a, b)

3、，同理, 当x0时,有0)(xf因导数存在,)()()(xfxff所以.0)(fOABCabxy)(xfy 一条连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等.若定理条件不满足，则结论不一定成立.罗尔定理的几何解释:则在曲线上至少有一点C,在该点处切线水平.)(af0 x)(bfyba区间内有不可导的点y)(bfab)(afx0 x0)(xfy两端点的函数值不相等y)(bfab)(afx0 x0)(xfy区间内有不连续的点并指出它们所在的区间。分别在区间 (1, 1), (1, 2), (2, 3) 内。 证：显然, f (x)分别在闭区间1, 1, 1, 2, 2, 3上连

4、续， 例例1 1 设函数设函数f (x) = (x +1) (xf (x) = (x +1) (x1) (x1) (x2) (x2) (x3)3)，证明方程f (x)=0有三个实根，且 f (1) = f (1) = f (2) = f (3) . 由罗尔定理，在(1, 1), (1, 2), (2, 3)内分别存在点1 , 2, 3 ，使得 f (1) = f ( 2) = f ( 3) = 0即方程f (x) = 0有三个实根，在开区间 (1, 1), (1, 2), (2, 3) 内可导，令证xnnaxaxaxfn) 12sin(123sin3sin)(21内可导，且上连续，在在显然)2

5、, 0(2, 0)(xf, 012) 1(3)2(, 0)0(121naaaffnn，即，使在一点故由罗尔定理，至少存0)()2, 0(f0)12cos(3coscos21naaan内至少有一个实根。在)2,0(0) 12cos(3coscos21xnaxaxan证明方程，设例012)1(32121naaann二、拉格朗日定理abafbff)()()(（分析要证,)()()(abafbff即.0)()()(abafbff只需证：.0)()()(xxabafbfxf以下作辅助函数，利用罗尔定理给出证明. 定理定理2 (2 (拉格朗日定理拉格朗日定理) )设函数f (x)满足： （i在闭区间a,

6、b上连续；Lagrange, 17361813则至少存在一点(a, b)，使（ii在开区间(a, b)内可导，令,)()()()(baxxabafbfxfxF那么 F(x) 满足罗尔定理中的条件(i)(ii)，)()()()(aFabbafabfbF由罗尔定理知，至少存在一点),(ba使得, 0)(F即.)()()(abafbff该公式对 ab均成立。证明且abafbff)()()(拉格朗日中值公式或)()()(abfafbfOabxyABC公式可写成下列形式:)()()(ababafafbfxxxfxfxxf)()()() 1 , 0 ( 若令f (a) = f (b)，则结论成为f ()

7、= 0。拉格朗日定理的几何解释 连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等.则在曲线上至少有一点C,在该点处切线平行于弦AB.注:或有限增量公式可见, 罗尔定理是拉格朗日定理的特例。比较xxxfxfxxf)()()()()()()(xoxxfxfxxf罗尔定理与拉格朗日定理一样只肯定了 存在性但并没有给出求 的方法. 但通过中值定理定理，不用求出 我们也可得到一些有意义的结论，如推论 推论推论1 1 设函数设函数f (x)f (x)在区间在区间I I上可导，且上可导，且f f (x) (x) 0 0，则f (x)在I上为常数。 证 在I内任取两点x1和x2，在(x1 ,x

8、2)内可导，由拉格朗日定理知，不妨设x1 0，（ii如果在如果在(a, b)内内f (x) 0，则则f (x)在在a, b上单调增加；上单调增加；则则f (x)在在a, b上单调减少。上单调减少。（ii的证明类似。的证明类似。由拉格朗日定理由拉格朗日定理, 得得)()()(1212xxfxfxf 即即f (x1) 0，时时，当当)0,(x解解),()(的的定定义义域域xf因此因此f (x)在在a, b上单调增加。上单调增加。于是于是f (x2) f (x1)0，不妨设不妨设x1 0时，时，则则f (x)在在0, +)上连续，在上连续，在(0, +)内内因为仅在孤立点因为仅在孤立点x = 2n（

9、n为正整数处为正整数处xxsin令令xxxfsin)(0cos1)(xxf 证证: f (x) = 0，故故f (x)在在0, +)上单调增加。上单调增加。f (x) f (0) = 0， 极大值与极小值统称为极值。极大值与极小值统称为极值。设函数设函数f (x)在点在点x0的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于对于该邻域内异于x0的点的点x , 二、函数的极值二、函数的极值称称x0为为f (x)的极大小值点；的极大小值点；或或f (x) f (x0)），），则称则称f (x0)为为f (x)的极大值的极大值(或极小值）或极小值）如果恒有如果恒有f (x) sinx .即即xs

10、inx 0，从而当从而当x 0时，时， 定义定义 1x2x3x4x5x6x7x8x9xbaxy0函数的极值是一个局部概念，因而，一个定义在a，b上函数的在a，b上可以有许多极值，且极大值有可能小于极小值。但驻点和导数不存在的点不一定是极值点。但驻点和导数不存在的点不一定是极值点。但但f (x)在点在点x = 0不取得极值。不取得极值。Oy3xy通常称为函数通常称为函数f (x)的驻点的驻点因而，极值点只可能是驻点或导数不存在的点。因而，极值点只可能是驻点或导数不存在的点。 例如，对函数例如，对函数y = x 3, y = 3x 2,x = 0是驻是驻点点使导数使导数f (x)等于零的点等于零的

11、点x0从图中可以看出，极值点一定是单增区间和单减区间从图中可以看出，极值点一定是单增区间和单减区间的分界点，的分界点，不存在的点。不存在的点。可以证明：若函数可以证明：若函数f(x)在在x 0 处可导，且在处可导，且在x 0 处取得处取得极值，则这个函数在极值，则这个函数在x 0 处的导数为零。即处的导数为零。即0)(0 xf0)( xf)(xf 因此极值点只能是因此极值点只能是 和和不存在的点。不存在的点。 (iii) 若在若在x0的两侧，的两侧，f (x)不变号，不变号， 定理定理2 2极值第一判别法）极值第一判别法）设设f (x)在在x0的某邻域内连续，的某邻域内连续，在该邻域在该邻域x

12、0可除外可导，可除外可导，x0为为f (x)的驻点或使的驻点或使f (x) (i) 若当若当x 0；那么那么 f (x0) 是是f (x)的极大值；的极大值； (ii) 若当若当x x0 时，时，f (x) x0 时，时，f (x) 0，当当x x0 时，时，f (x) 0时，时，f (x0)是是f (x)的极小值。的极小值。例例8 8 54334xxxf)(求求的极值的极值.),1(121212)(223xxxxxf解解 定理定理3 3极值第二判别法）极值第二判别法）设函数设函数f (x)在点在点x0处具有二阶导数，处具有二阶导数， （i当当f (x0) 0时，时，f (x0)是是f (x)

13、的极大值；的极大值；令令0)( xf得驻点得驻点:. 1, 0 x. 012) 1 (, 0) 0( ff 由极值第二判别法由极值第二判别法, x=1时时, f (x)有极小值有极小值: f (1)=4.) 23(122436)(2 xxxxxf由于由于00 )(f所以所以,需用极值第一判别法判定需用极值第一判别法判定:;)(,00 xfx时时当当从而从而0 x时时,)(xf无极值无极值.010)(,)(xfxx时时当当例例9 讨论讨论xnenxxxy)!(212解：解：xnenxxxy)!(!(12112nxxnxenenxxx!1)!21(2令令0 y得驻点得驻点0 x极值极值n为自然数）

14、为自然数）n（1） 假设假设 为偶数，那么为偶数，那么 在在 两侧不变两侧不变号，号， y0 x所以所以 不是极值点。不是极值点。0 x0 x当当 时，时，;0y;0y（2假设假设 为奇数，则当为奇数，则当 时，时， 0 xn0 x所以所以 时，函数取得极大值时，函数取得极大值1) 0 (y极值第二判别法可以推广到下面的一般形式：极值第二判别法可以推广到下面的一般形式：)(xf0 x定理定理4 设函数设函数 在在 处有处有 阶导数，且阶导数，且n那么那么1当当 为偶数时：为偶数时：n)(0 xf )(0 xf )(0 xf0)(0) 1(xfn0)(0)(xfn)(0 xf假设假设 ， 那么那

15、么 是是 的极的极大值；大值；00)()(xfn)(xf假设假设 ， 那么那么 是是 的极的极小值。小值。)(0 xf0)(0)(xfn)(xf当当 为奇数时，为奇数时， 不是极值。不是极值。)(0 xfn（2）利用带有皮亚诺余项的泰劳公式可以证明此定理利用带有皮亚诺余项的泰劳公式可以证明此定理三、最大值、最小值问题三、最大值、最小值问题（2计算区间端点处的函数值；计算区间端点处的函数值； 例例8 求函数求函数312321)()(xxxf上的最大值与最小值。上的最大值与最小值。在区间在区间,22 求连续函数求连续函数f (x)在在a, b上的最大值与最小值：上的最大值与最小值：（1计算函数驻点

16、与不可导点处的函数值；计算函数驻点与不可导点处的函数值；（3对以上两类函数值进行比较即得。对以上两类函数值进行比较即得。32231)1(3232)(xxxxf令令0)( xf函数的不可导点为函数的不可导点为x = 0, 1 .322343221132)()(xxxx解解得驻点得驻点22x函数函数f (x)在区间端点、驻点以及不可导点处的函数值为：在区间端点、驻点以及不可导点处的函数值为：,)(,)(333422342ff比较之，得最大值：比较之，得最大值：34最小值：最小值：33341110)(,)(ff注注1：一般地说，若函数：一般地说，若函数f (x)的最大的最大(小小)值是在区间值是在区

17、间(a, b)内取得，则该最大小值必为极大小值，内取得，则该最大小值必为极大小值， 注注2：在实际问题中，往往根据问题的性质，就可：在实际问题中，往往根据问题的性质，就可 断定断定此时，如果确定此时，如果确定f (x)在这个区间内部只有一个驻点在这个区间内部只有一个驻点x0（或导数不存在的点），（或导数不存在的点），可导函数可导函数f (x)在其区间内部确有最大值或最小值），在其区间内部确有最大值或最小值），那么，这个点就是函数的最值点那么，这个点就是函数的最值点问底面半径如何选取，问底面半径如何选取， 例例9 9 做一个圆柱形罐头，其容积做一个圆柱形罐头，其容积 是一个常量是一个常量V。 S

18、=2r2 +2rh 解解 设罐头的底面半径为设罐头的底面半径为r，由题设由题设 r2h=V，即，即0,22)(2rrVrrSS 2322424)(rVrrVrrS 2rVh代入上式得，代入上式得，才能使用料最省即表面积最小）？才能使用料最省即表面积最小）？令令, 0)( rs得唯一驻点得唯一驻点302Vr 因此因此S(r)的最小值必在的最小值必在r=r0处取得。此时处取得。此时032024rVrVh 即当罐头的高与底面直径相等时，用料最省。即当罐头的高与底面直径相等时，用料最省。 例例10 10 甲船位于乙船以东的甲船位于乙船以东的7575海里处，海里处，以每小时以每小时12海里的速度向西行驶

19、，海里的速度向西行驶，乙船以每小时乙船以每小时6海里的速度向北行驶，海里的速度向北行驶，问经过几小时两船相距最近？问经过几小时两船相距最近？解解 在时刻在时刻t 时，两船相距时，两船相距22)6()1275()(tttS求求S (t) 的最小值，的最小值，令令), 0(,)6()1275()()(222ttttStf)5(3606)6(2)12)(1275(2)(ttttf两船相距最近。两船相距最近。 75北北东东6S12t = 5为为(0, +)内的唯一驻点。所以，经过内的唯一驻点。所以，经过5小时，小时，也就是求也就是求S 2 (t)的最小值，如图的最小值，如图 函数的作图函数的作图利用初

20、等描点作图可以绘出函数的大体形状，一般来说，描点越多，作出的图形越准确，但也存在缺陷。1) 选点带有一定的盲目性,往往漏掉某些关键点.下面我们借助微分学的知识,来深入研究函数整体形态,一. 曲线的凹凸性与拐点但仅是这些还不能比较准确的描绘出函数的研究图形。2) 选点少了,不能准确的确定函数的弯曲方向,选多了,计算较复杂从而比较准确作出函数图形.函数的单调性与极值,对于了解函数的图形,是有很大的帮助,例如 在a，b上虽然都是单调增加，但图形却有显著不同。212xyxy2xy 是上凹的曲线弧)2(21xxf1x2xyOx21xy 是下凹的曲线弧)2(2)()(2121xxfxfxf)2(2)()(

21、2121xxfxfxf2)()(21xfxf1x2xyOx则称该曲线段是凸弧或向上凸的），如图yOx凹：0)( xfyOx凸：0)( xf给出判定曲线凹凸性的判别法。定义定义1 设曲线设曲线y=f (x) 上各点处都有不垂直于上各点处都有不垂直于x轴的切线，轴的切线，若这段曲线总位于曲线上每一点切线的上方，则称该曲线段是凹弧或向上凹的）；若这段曲线总位于曲线上每一点切线的下方，下面借助于二阶导函数的符号，设函数在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数。 此时称区间a, b为曲线的凸区间。例例1 1 讨论曲线讨论曲线3xy 的凹凸性。解.0|,6,302 xyxyxy当x 0时，y 0时，

22、y 0, 所以曲线在0, +)上是凹弧。（ii如果在(a, b)内f (x) 0，于是，曲线的凹区间为 (, 0，凸区间为0, + ) 。 定义定义2 2注意：拐点是曲线上的点)(,(00 xfx当x 0, 所以曲线在(, 0上是凹弧；当x 0时，y 0, 所以曲线在0, + )上是凸弧。解. )0(,92,313232 xxxyxy例2 求曲线的凹凸区间。3xy连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。符号相同，则点(x0 , f (x0)不是拐点。 例1中，点0，0是曲线y = x3上凹弧与凸弧的分界点，因此是曲线的拐点，在该点处，y=0；例2中，（0，0点是曲线的拐点，在该点处y不存在

23、。 因而，曲线y = f (x)的拐点的横坐标只能是使f (x) = 0的点或f (x)不存在的点。求连续曲线的拐点的方法如下：（i求出所有使函数f (x) 的二阶导数f (x) = 0的点和f (x)不存 在的点；（ii对于i中所求出x0，若f (x)在x0两侧符号相反，则点(x0 , f (x0)是曲线的拐点；若f (x)在x0的两侧例3 讨论曲线32)1(xxy的凹凸性及拐点。解 函数的定义域为（ ）。,31323235xxy令y = 0，得51x当x = 0时，y 不存在。列表讨论如下：xy y)51,(51)0 ,51(0), 0( 0+不有拐点无拐点于是，曲线在51,(上是凸弧，在

24、),51是凹弧；拐点为)25156,51(3.343192910 xxy二、渐近线为曲线的渐近线。 渐近线有以下三种：假如Axfx)(lim或Axfx)(lim（A为常数），则称直线 y =A为曲线)(xfy水平的渐近线。（ii垂直渐近线则称直线x = x0为曲线（iii斜渐近线：斜渐近线)(limaxxfbx若曲线上一动点M无限远离原点时，某一固定直线L的距离趋近于零，（i水平渐近线：)(lim00 xfxx或)(lim00 xfxx假如,)(limxxfax称该渐近线为曲线y = f (x)的斜渐近线。a 0 时，设直线Y = ax +b是曲线y = f (x)的渐近线。y = f (x)

25、的垂直渐近线。则称该直线L定义定义3 3动点M到例例4 4 求曲线求曲线的渐近线。)2() 1(3xxxy解 由于,)2()1(lim30 xxxx所以x=0,x =2是曲线的两条垂直渐近线。) 2() 1(lim3xxxxbx于是，y = x 1是曲线的斜渐近线又,11)2()1(lim3xxxxax)2() 1(lim32xxxx1) 2() 2() 1(lim23xxxxxx(2) 确定函数的连续区间及间断点；三、函数作图三、函数作图函数作图的一般步骤：(1) 确定函数f (x)的初等性质：定义域、奇偶性、周期性等；必要时，可根据函数表达式补充一些点。(3) 求出f (x)，讨论曲线的增

26、减性与极值；(4)求出f (x)，讨论曲线的凹凸性与拐点；(5) 考察曲线的渐近线；(6) 确定曲线的某些特殊点 （比如，曲线与坐标轴的交点等）. (7) 绘出函数图形。例例5 5 作出函数作出函数2xey的图形。在此区间上函数连续且为偶函数，图形关于y轴对称。.22,0 xy得令(3) 列表讨论由对称性，仅讨论x0, +）的情形）：解 （1函数的定义域为（ ），（2）. ,22xxey；得令0, 0 xy拐点00)22, 0(22),22(极大值),22(21e1xyy y0+)12(222 xeyx（4） 因为因为0lim2xxe，所以，所以y=0是水平渐近线。是水平渐近线。正态分布曲正态

27、分布曲 线或高斯曲线。线或高斯曲线。（5作图作图 由以上讨论可作出曲由以上讨论可作出曲 线在线在0，+）内的图形，）内的图形，再由对称性可得全图再由对称性可得全图. 该曲线在概率论中也称为该曲线在概率论中也称为),22(21e是拐点是拐点Oyx2222例例6 绘绘 的图形的图形2)1 (xxy解：解： 定义域定义域),1()1 ,(42)1 ()1(2)1 (xxxxy33)1(1)1(21xxxxx1x0 y令令623)1 ()1)(1 ( 3)1 (xxxxy 2x令令0 y)2,(1), 1 ( ) 1, 2(2) 1 , 1(1)(xf )(xf )(xf211)1(lim)(limx

28、xxfxx44)1 (24)1 (33)1 (xxxxx0)(limxfx1x垂直渐近线垂直渐近线0y水平渐近线水平渐近线10yx21例例 作函数作函数 的图形的图形xxy12解：定义域解：定义域), 1()1,(3422)1 (2)1 ()1 (2)2()1)(22(xxxxxxxy 2222)1 (2)1 ()1 (2xxxxxxxy0 y令令2x0 x1x当当y y不存在不存在)2,(0), 0() 1, 2(2)0 , 1(1)(xf )(xf )(xf极大极小渐近线渐近线xxx1lim211x垂直渐近线垂直渐近线xxx1lim2无水平渐近线无水平渐近线1)1(lim)(lim21ax

29、xxaxxfbxx11lim)(lim2xxxxfaxx斜渐近线斜渐近线 1xy402第四节第四节 未定式的极限未定式的极限)(xf)(xg如果在同一极限过程中如果在同一极限过程中,两个函数两个函数 , 都是无都是无穷小量或都是无穷大量穷小量或都是无穷大量,那么那么 可能存在也可能存在也可能不存在可能不存在.通常称这种类型的极限为未定式的极限通常称这种类型的极限为未定式的极限. )()(limxgxf一一. 未定式未定式 型的极限型的极限00定义定义,且满足且满足0)(lim0 xgxx10 0)(lim0 xfxx0 x定理定理 设函数设函数 和和 在点在点 的某一去心邻域内有的某一去心邻域

30、内有)(xg)(xf在在 的某一去心邻域内存在的某一去心邻域内存在,且且0 x0)( xg)()()(lim300或或Axgxfxx)(xg)(.20 xf和和则有则有）或或 ()()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxx0 x)(xf)(xg可以补充或改变可以补充或改变 及及 在在处的函数值处的函数值,使使f(x0)=g(x0)=0 0 x)(xg)(xf的极限的极限 与与 及及 在在 )()(xgxf设设x 为为x0 的邻域内异于的邻域内异于x0 的任一点的任一点,利用柯西定理利用柯西定理,在以在以x0 为端点构成的闭区间上为端点构成的闭区间上,处的函数值无关处的函数值无关,

31、所以所以,0 xx证明证明 由于当由于当 时时,则则f(x)和和 g(x) 就在点就在点x0处连续处连续)()()()()()()()(00 gfxgxgxfxfxgxf ( 介于介于 与与 之间之间) 0 xx)()(lim0 xgxfxx则得则得)()(lim)()(lim00 xgxfgfxxx 0 x 对上式取极限并注意到当对上式取极限并注意到当 时时0 xx得得0 xx令令 ,2coslim0 xeexxx例例1 )00(sinlim0型型xeexxxxxx2)1(lim10例例220)1ln(limxxx)00(型型)00(型型616sinlim0 xxx例例3 xxeexxx2s

32、in0sinlimxxeexxxx2sinsin0sin1lim30sinlimxxxx203cos1limxxx洛比达法则可以连续使用洛比达法则可以连续使用例例5)00(123lim2331型型xxxxxx23266lim12333lim1221xxxxxxx11lim111lim2222xxxxxx例例4型型）00(1arctan2limxxx mnxnxmnmx1111111lim例例6型型）00(11lim1nmxxx二二 未定式未定式 型的极限型的极限定义定义,且满足且满足)(lim0 xgxx10 )(lim0 xfxx20 和和 在在 的某一去心邻域内存在的某一去心邻域内存在,且

33、且)(xf)(xg0 x0)( xg)()(lim0 xgxfxx30 存在存在(或或为为 )则有则有）或或 ()()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxxx对于对于 时的未定式时的未定式 同样适用同样适用0 x定理定理 设函数设函数 和和 在点在点 的某一去心邻域内有的某一去心邻域内有)(xg)(xf例例82coslim2)2( xxx型型）(tan)2ln(lim)2(xxx xxx2)2(sec21lim 01lim1lim1nxnxnxnxx例例9) 0(lnlimnxxnx例例100!limlim1xnxxnxenenx xnxex lim01sincos2lim)2(

34、xxx )0( xnexx ln当当 x 充分大时，有充分大时，有例11)1ln()1ln(lim102xxxxx注意注意 ：1认真审查计算的极限是否是未定式，若不是未定认真审查计算的极限是否是未定式，若不是未定式则不能用洛比达法则，否则将得出错误的结论。式则不能用洛比达法则，否则将得出错误的结论。1222coslim2sinlim00 xexxexxxx20coslimxxexx事实上事实上xxexxexxxx2sinlimcoslim02051)1(110)1(12lim1092xxxxxxx2解题过程中注意及时化简函数式如约去零因子，提出能确定极限值非零的部分，且注意与其它求极限的方法结

35、合起来。3洛比达法则的条件是充分条件，而不是必要条件即当 不存在时，不能断定 不存在)()(limxgxf)()(limxgxf例1cos1limsinlimxxxxxx不存在但11sin1limsinlimxxxxxxx再如 用洛比达法则不存在xxxxsin1sinlim20事实上01sinsinlimsin1sinlim020 xxxxxxxxx4反复应用洛比达法则，若出现循环，要停止使用。例xxxxxeeeelim三. 其它未定式的极限0010010)()(0)(0 xxxxgxf或或)00()(1)()()(型型xgxfxgxf2020)()()(0 xxxxgxf或或)()(1)(1

36、)(1)(11)(11)()(xfxgxfxgxgxfxgxf型型）00(301000)(ln)(ln)(1)(0)()(0)(0)()()(xfxgyxgxfxgxfxgxfxgxfy)(1)(lnlim)(ln)(limlnlimxgxfxfxgy0lim1limlnlim0100 xxxxxxxx例例1xxxlnlim0 例例2)ln11(lim1xxxxxxxxxxln) 1(1lnlim10 xxxxx1)1(lnlnlim1例例3)cossin1(lim2xxx )()tan(seclim2xxx 例例4xxx0limxxylnln令令xxy 011lim1lnlimlnlim20

37、00 xxxxxxxxx10lim0exxx21111lim21xxxx0)sincos(lim2xxx )cossincos1(lim2xxxx 例例11sincoslim) 1ln(sin1lim00 xxxxxxxxx1) 1ln(sinlim0例例xxexxxnnxnlnlimlimlim而而1lim0lnlnlimeeexxxxxx1limnnn5 泰勒定理)()()()(0000 xxoxxxfxfxf一、泰勒B.Taylor, 16851731,英国数学家定理微分部分：)()()(000 xxxfxfxf，误差较大，精确度不高。猜测：)()()(0nnxxoxpxf 定理定理1

38、1泰勒定理设函数泰勒定理设函数f (x)f (x)在含有点在含有点x0 x0的某个开区间的某个开区间(a, b)(a, b)内具有直到内具有直到(n+1)(n+1)阶的导数，则当阶的导数，则当x x(a, b)(a, b)时，有时，有)()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR这里 是介于x0与x之间的一个实数。（1）（2）称公式1为f (x)按(xx0)的幂展开到n阶的泰勒公式，也称为f (x)在点x0展开的n阶泰勒展开式或泰勒公式。 其中Rn(x)称为泰勒公式的余项，公式2所

39、表示的余项称为拉格朗日余项。nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 多项式称为f (x)在x0点的n次泰勒多项式。注1：在泰勒公式1中，若取n=0，则公式变为拉格朗日公式， 即)(,)()()(000之间与介于xxxxfxfxf因而，泰勒定理是拉格朗日定理的推广。注2：用泰勒多项式近似表示函数f (x)时，产生的误差为 |Rn (x)|。 如果对于某个固定的n，有| f (n+1) (x)| MM为正常数），那么 有估计式1010)1(|)!1()()!1()(| )(|nnnnxxnMxxnfxR定理定理5 5 设函数在点设函数在点x

40、 0 x 0处有直到处有直到n n阶的导数，则有阶的导数，则有)()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中)(, )()(00 xxxxoxRnn（3）（4） 公式3称为具有皮亚诺G.Peano,18581932，意大利数学家、逻辑学家型余项的n阶泰勒公式，也称为f (x)在x0处的n阶局部泰勒公式，（4式表示的余项称为皮亚诺余项。二、麦克劳林二、麦克劳林(C.Maclaurin,16981746,(C.Maclaurin,16981746,苏格兰数学家苏格兰数学家) )展开式展开式在泰勒公式1及3中，若令x0 = 0，则得)

41、(!)0(! 2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn （5）其中1)1()!1()()(nnnxnfxR1)1()!1()(nnxnxf（6）介于0与x之间，. 10或)()(nnxoxR（7） 公式5称为f (x)的n阶麦克劳林展开式或n阶麦克劳林公式。公式5中，R n (x)若用6式表示，则称5为具有拉格朗日型余项的麦克劳林公式；R n (x)若用7式表示，则称5）为具有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，或称为局部麦克劳林公式。nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 由5式得近似公式：相应地，误差估计式变为：1|)!1(| )(|nnxnMxR由

42、公式5），容易得出几个常用的初等函数的麦克劳林公式：. 10,) 1(! 21)(12nxnxxnenxxxei. 10),212sin()!12()!12() 1(! 5! 3sin)(1212153kxkxkxxxxxiikkk. ) 10(),222cos()!22()!2() 1(! 4! 21cos)(22242kxkxkxxxxiiikkk.0,)!1()1)() 1(!) 1() 1(! 2) 1(1)1 ()(112之间、介于为任意实数，xxnnxnnxxxivnnn.10,)1 (11) 1() 1(32)1ln()(11132nnnnnxnxnxxxxxv以下推证公式i），其余公式类似：令xexf)(，那么,)()()()(xnexfxfxf 从而，1)0()0()0(, 1)0()( nffff代入公式5得：例1 求xxfsin)(在4x处的三阶泰勒公式。解4)4(32)4(! 4)()4(! 3)4()4(! 2)4()4)(4()4()( xfxfxfxffxfxxfxxfxxfxxfsin)(,cos)(,sin)(,cos)()4( .