同济大学线性代数课件

1、第第一一章章 行行列列式式 1 1 二二阶阶与与三三阶阶行行列列式式 一一、二二阶阶行行列列式式的的定定义义 设二元线性方程组 11 1122121 12222a xa xba xa xb 用消元法解得 12221211 221 1121122122111221221,bab aa ba bxxa aa aa aa a 令 1112112212212122aaa aa aaa 称为二二阶阶行行列列式式 二、三阶行列式的定义二、三阶行列式的定义 设三元线性方程组 11 1122133121 1222233231 13223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 用消元

2、法解得 122331223 313 23212332122331322 3111223312233113213211233212213313223111 233123311321 31123 31213313 231211223312233113213,ba aa a ba b aba aa b aa a bxa a aa a aa a aa a aa a aa a aa b aba aa a ba a bba aa b axa a aa a aa a a21123321221331322311122 3122311213211 2321221 312231311223312233113213

3、2112332122133132231,a a aa a aa a aa a ba b aba aa b aa a bba axa a aa a aa a aa a aa a aa a a 令 111213212223112233122331132132112332122133132231313233aaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a aaaa 称为三阶行列式三阶行列式 2 2 全全排排列列及及其其逆逆序序数数 一一、全全排排列列 全全排排列列： n个不同元素排成一列。 可将n个不同元素按 1n进行编号，则n个不同元素的全排列可看成这n个自然数的全排列。 n个

4、不同元素的全排列共有!n种。 逆逆序序： 取一个排列为标准排列，其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时，则称这两个元素构成一个逆序。 通常取从小到大的排列为标准排列，即 1n的全排列中取 1231nn为标准排列。 二、逆序及逆序数二、逆序及逆序数 逆序数逆序数： 一个排列的逆序数的总数称为逆序数。 逆序数为偶数称为偶排列偶排列，逆序数为奇数称为奇排列奇排列，标准排列规定为偶排列。 例：讨论 1，2，3 的全排列。 全排列 123 231 312 132 213 321 逆序数 0 2 2 1 1 3 奇偶性 偶 奇 逆序数的计算：设12np pp为1,2,n的一个全排列，

5、则其逆序数为 121nniittttt 其中it为排在ip前，且比ip大的数的个数。 3 3 n阶行列式的定义阶行列式的定义 下面可用全排列的方式改写二阶，三阶行列式。 二阶行列式 121112112212211221221tppaaa aa aaaaa 其中12p p是1,2的全排列， t是12p p的逆序数，是对所有1,2的全排列求和。 三阶行列式 111213212223112233122331132132112332122133132231313233aaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a aaaa 1231231tpppaaa 其中123p p p是1,

6、2,3的全排列，t是123p p p的逆序数，是对所有1,2,3的全排列求和。 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 12112111222212121nntnppnpnnnnaaaaaaaaaaaa 其中 12np pp是1,2,n的全排列， t是12np pp的逆序数， 是对所有1,2,n的全排列求和。 4 4 对换对换* * 对换对换：一个排列中某两个元素的位置互换成为对换。 定理定理 1 对换一次改变排列的奇偶性。 定理定理 2 n阶行列式为 12112111222212121nntnppp nnnnnaaaaaaaaaaaa 其中t为12np pp的逆序数。 5 5 行行列列式式的的性性

7、质质 定义：设112111222212nnnnnnaaaaaaDaaa，称1121121222T12nnnnnnaaaaaaDaaa为D的转转置置矩矩阵阵。 性性质质 1 行列式与它的转置行列式相等。 性性质质 2 行列式互换两行（列） ，行列式变号。 推推论论 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零。 性性质质 3 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数k，等于用数k乘以该行列式。 推推论论 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外。 性性质质 4 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零。 性质性质 5 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个

8、行列式之和。 即若11111212221iiniinnnininnaabaaabaDaaba，则 111111112122212211ininininnninnnninnaaaabaaaaabaDaaaaba 性质性质 6 把行列式某一行（列）的元素乘以数k再加到另一行（列）上，则该行列式不变。 例 计算1201135001561234D 解 322141120112011201015101510151015601560007123400330033rrrrrrD 34120101512100330007rr 。 例 计算3111131111311113D 解 1123411632,3,461

9、111111111163111311020066 248613111310020611311130002icccccrriD。 6 6 行行列列式式按按行行（列列）展展开开 定义 在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1n阶行列式，称为ija的余余子子式式，记为ijM；而1ijijijAM 称为ija的代代数数余余子子式式。 引引 理理 如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即 1111100jnijnnjnnaaaaDaaa 则ijijDa A。 证 先证简单情形： 1122212222111111111121200nnnnnnnnnaaa

10、aaaDaa MaAaaaaa； 再证一般情形： 121111111121100,1,ijiiijjnjjnjnnnarrrraaaDccccaaa 1ijijijijija Ma A 定理定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即 1122,1,2,iiiiininDa Aa Aa Ain 1122,1,2,jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn （此定理称为行列式按行（列）展开定理） 证：111211212000000niiinnnnnaaaDaaaaaa 11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaa

11、aaaaaaaaaaaaaaaaaa 1122,1,2,iiiiinina Aa Aa Ain 例 21122112D 解 121001122112nnrrrD 111211211211112112121nnn 按第一行展开 11nD 从而解得1nDn。 定理的推论定理的推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即 11220,ijijinjna Aa Aa Aij 11220,ijijninja Aa Aa Aij 结合定理及推论，得 1122,0,ijijinjnDija Aa Aa Aij 1122,0,ijijninjDija Aa Aa Aij 或 1nikjkijka AD，1nkikjijka AD，其中1,0,ijijij 7 7 克拉默法则克拉默法则 定理（克拉默法则）定理（克拉默法则） 设线性方程组 11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 的系数行列式 1121112222120nnnnnnaaaaaaDaaa 则上述线性方程组有唯一解： 1212,nnDDDxxxDDD， 其中 111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnn jnn jnnaabaaaabaaDaabaa 当12,nb bb全