p05测量误差的基本知识

1、5.1 5.1 测量误差概念测量误差概念 测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值： 三角形 +180 闭合水准 h0一、一、 同精度观测：观测条件相同的各次观测。 不同精度观测：观测条件不相同的各次观测。1. 仪器误差2. 观测误差3. 外界条件的影响观测条件观测条件粗差：因读错、记错、测错造成的错误。二、二、 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性： 误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化； 误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化； 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。 1、系统误差 误差

2、的大小、符号相同或按一定的规律变化。 钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角 经纬仪 c角、i角 注意注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。 1）校正仪器； （2）观测值加改正数； （3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。 在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向， 即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。 2、偶然误差 偶然误差的偶然误差的特性特性iilX 真误差: 理论值与观测值之差理论值与观测值之差例例 对一个角度观测如下对一个角度观测如下: : 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等， 可相互抵消； 同一量的同精度

3、观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零， 即： 0limnn在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性、区间性）（抵偿性）1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵 消和削弱。3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响。返回精度：精度： 又称精密度，指在对某量进行多次观测中，各观测值之间的离散程度。评定精度的标准 中 误 差 容许误差 相对误差一、一、 中误差中误差 定义 在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l

4、1， l2，ln，偶然误差（真误差）1，2，n，则中误差m的定义为：nm2222123.,niiXl 式中式中式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差： ，说明第一组的精度高于第二组的精度。，说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越说明：中误差越小，观测精度越高高5 . 210) 4(2) 1() 2(34) 3(12022222222221 m2 . 310) 1() 3(017) 1(0) 6(2) 1(22222222222 m21mm 定义 由偶然误差的特性

5、可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。 二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差） 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差； 即容=2m 或容=3m 。极限误差的作用：极限误差的作用：区别误差和错误的界限。区别误差和错误的界限。 相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即:mDDmK1三、三、 相对误差相对误差例例 已知：D1=100m, m1=0.01m,D2=200m, m2=0.01m，求： K1, K2解：20000120001. 0100001

6、10001. 0222111DmKDmK精度评定的标准 中 误 差 容许误差 相对误差一、算术平均值（最或然值）一、算术平均值（最或然值） 是指对某未知量进行n次同精度观测，其观测值分别为 ，将这些观测值取平均值 作为该未知量的最可靠的数值最可靠的数值。nlll、 21xnlnlllxn21 二、观测值中误差计算二、观测值中误差计算1.1.按观测值的改正值计算中误差按观测值的改正值计算中误差nnlxvlxvlxv2211a.a.观测值的改正值的计算观测值的改正值的计算观测值的改正值：即算术平均值与观测值之差观测值的改正值：即算术平均值与观测值之差 b b. .按观测值的改正值计算中误差按观测值

7、的改正值计算中误差1nvvmc c. .按观测算术平均值的中误差计算按观测算术平均值的中误差计算（白塞尔公式白塞尔公式）nmnnvvmx) 1(例例 对某一段水平距离观测了6次，试求：例 设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于中。试 求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值中误差是：1 . 1) 16( 634) 1( nnVVnmmx返回 概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。 函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数设非线性函数的一般式为：式中： 为独立观测值； 为独立观测值的中误差。 求函数的全微分，并用“”替代“d”，得),(321nxxxxfz

8、ixnxnxxZxfxfxf )()()(2121nmmmm,321 )()(22)(11)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (kxnnkxkxkZxnnxxZxnnxxZfffffffff 式中： 是函数F对 的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数。ixixf), 2 , 1(ni iiffx其中，ix 22222221122,1()nZxxnxnijxixji jijffff f 22222221212,1()nxixjxxxnZniji jijffff fkkkkk 22222221212nnZmfmfmfm 2222222121nn

9、zmfmfmfm 误差传播定律的一般形式误差传播定律的一般形式例 已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D中误差mD。解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差 (cos )( sin )ddDdDD cosDD22222(cos)(sin)30(cos15 ) 0.05(50 (sin 15 )DDmmmD)(048.0mmD函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数nxxxz21nnxkxkxkz2211),(21nxxxfZ kxz xzkmm22221nzmmmm222222

10、2121nnzmkmkmkm2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 返回&5.6 &5.6 误差传播定律的应用误差传播定律的应用 1.列出观测值函数的表达式： 2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式： 式中， 是用观测值代入求得的值。 ),(21nxxxfZ nxnxxZdxfdxfdxfd)()()(2121 )(ixf 求观测值函数中误差的步骤：三、运用误差传播定律的步骤三、运用误差传播定律的步骤 3、根据误差传播率计算观测值函数中误差： 注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测 值必须是独立观测值。 22222221212)(

11、)()(nnZmxfmxfmxfm 5.7 5.7 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差(1)iix (2)xxLnn (3)Lxxnn)(n真值算术平均值观测值xL （3 3）式是由偶然误差第四特性知道，当观测次）式是由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，数无限增多时， 即 （算术平均值） 说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。 0limnn Lnlxn,如果是如果是同精度观测同精度观测,每个观测值的中误差都是一样的每个观测值的中误差都是一样的,根根据误差传播定律可得算术平均值的中误差据误差传播定律可得算术平均值的中误差M.2222222222121111nmMmmmnmnn

12、nnnmMn说明算术平均值中误差比观测值中误差提高了说明算术平均值中误差比观测值中误差提高了倍。倍。n1一般来说，当一般来说，当n大于大于20后后,提高不明显。提高不明显。算例改正值平均值（1）权的意义）权的意义同精度观测同精度观测 算术平均值作为算术平均值作为最或然值最或然值不同精度观测不同精度观测 ？（2）权的定义）权的定义2iiCPCm为任意常数（1）对未知量进行了）对未知量进行了n次的同精度观测，次的同精度观测， 得到得到l1,l2,ln1, ln1+1, ln1+2,. Ln1+n2（ n=n1+n2 ）, （2）现将）现将n个观测值分为两组，第一组有个观测值分为两组，第一组有n1个

13、观测个观测值，第二组有值，第二组有n2个观测值。个观测值。 （3）分别求两组的算术平均值，并以）分别求两组的算术平均值，并以L1,L2表示为表示为1121112111111111212211.11.nniinnnnnnjj nLllllnnLllllnn 以观测值的中误差为以观测值的中误差为m，则这两组算，则这两组算术平均值的中误差分别为：术平均值的中误差分别为：1212LLmmnmmn 从上式可以看出，当从上式可以看出，当n1 n2时，时，L1,L2的精度是不同的的精度是不同的根据全部同精度观测值求根据全部同精度观测值求该未知量的最或该未知量的最或然值然值11211112 nnnijij n

14、llLxnnn112212n Ln Lxnn顾及两组的算术平均值公式，得顾及两组的算术平均值公式，得由上式可知，如将L1,L2看成两个不同精度的观看成两个不同精度的观测值，则为求被观测值的最或然值时，在本测值，则为求被观测值的最或然值时，在本例的情况下，只要考虑求得它们的观测次数例的情况下，只要考虑求得它们的观测次数n1和和n2，代入下式即可代入下式即可112212n Ln Lxnn 为得到不同精度观测值求被观测量的最或为得到不同精度观测值求被观测量的最或然值的然值的一般公式一般公式时，可将时，可将 代入112212n Ln Lxnn1212LLmmnmmn得12122212222222LLL

15、LmmLLmmxmmmm22iiCPm从上式可见，如果将上式的m2换成另一常数C，并不影响x的值。因此，在测量工作中，令112212PLP LxPP由权的定义式及上式可以看出，由权的定义式及上式可以看出， L Li i的精度越高，即的精度越高，即mi越小越小，而，而Pi越大越大，相应的，相应的L Li i在在x中中的比重就越大；的比重就越大； 反之，反之， L Li i的精度越低，即的精度越低，即m mi i越大越大，而，而P Pi i越小越小，相应的，相应的L Li i在在x x中中的比重就越小的比重就越小也就是说，也就是说， P Pi i值的大小，权衡了观测值值的大小，权衡了观测值L Li

16、 i在在x x中所占比中所占比重的大小，故称重的大小，故称P Pi i为为L Li i的权。的权。得到得到例例 已知已知 L1的中误差的中误差m1= 3mm， L2的中误差的中误差m2= 4mm， L3的中误差的中误差m3= 5mm， 求各观测值的权。求各观测值的权。解：解： （1）设）设C= m1= 3mm，则，则 221221222222222223313491 63492 55CPmCPmCPm（2 2）单位权中误差单位权中误差单位权观测值单位权观测值中误差计算举例：中误差计算举例：1、已知真值的情况计算中误差、已知真值的情况计算中误差如：对一个三角形内角重复观测如：对一个三角形内角重复

17、观测5次，观测次，观测结果如下：结果如下： 1800030 ， 179 59 36，1800036， 1795918， 180 00 48 求观测值中误差。求观测值中误差。观测值观测值真误差真误差 1800012 12 144 179 59 3624 576 1800030 30900 1795948 12144 180 00 06 0636理论值理论值:180 19 ()mn 观测值中误差1800 2、不知道真值、不知道真值, 求观测值中误差的计算求观测值中误差的计算如对一角度进行如对一角度进行4次观测次观测,观测数据如下观测数据如下:观测值观测值 V VV 50 29 30 30 900

18、50 30 00 00 00 50 30 12 12 144 50 30 18 18 324平均值为平均值为: 50 30 00 0 1368 21.41vvmn 距离测量计算举例距离测量计算举例1：1 1往返丈量一段距离，往量得往返丈量一段距离，往量得250.015m,250.015m,返返量得量得250.005m.250.005m.求这段距离丈量的相对误差求这段距离丈量的相对误差? ?解解: : D D平平=250.010m,=250.010m, 往返较差往返较差m=0.01m,m=0.01m,则相对误差则相对误差 K=1/(250.01/0.01)=1/25000 K=1/(250.01

19、/0.01)=1/25000mDDmK/1 距离测量例距离测量例2: 对一段距离观测了对一段距离观测了5次次,得得150.005m、150.008m、150.000m、150.003m、150.006m.试计算这段距离试计算这段距离的最或然值、最或然值的中误差、相对中误差、测的最或然值、最或然值的中误差、相对中误差、测量一次的中误差？量一次的中误差？解：解： (1)5次结果的平均值（即最或然值）：次结果的平均值（即最或然值）：150.0044;(2)改正值改正值v:0.6, 3.6, -4.4, -1.4, 1.6 (5)K=1/(150/0.00186)=1/80645(相对中误差相对中误差

20、)37.2vv（ 3）37.21.86(1)5(51)vvmn n （4） 中误差误差传播定律应用实例误差传播定律应用实例 1.倍数函数倍数函数例：在例：在1 2000地形图上，量得一段距离为地形图上，量得一段距离为23.2cm，其测量中误差，其测量中误差0.1cm，求该段，求该段距离的实地长度及中误差。距离的实地长度及中误差。【解】 （1）图上量得的距离对应的实地长度： 23.22000=464m（2）实地长度的中误差 20000.1=200cm=2m（3）实地长度： 464m 2m观测值与常数观测值与常数乘积的中误乘积的中误差差= =观测值的中误差观测值的中误差常熟常熟 2.和差函数和差函

21、数 例：在一个直角三角形中，独立丈量了两条例：在一个直角三角形中，独立丈量了两条直角边直角边a，b，其中误差均为，其中误差均为m，试推导由，试推导由a，b边计算所得斜边边计算所得斜边c的中误差的公式？的中误差的公式？【解解】（1）斜边的计算公式为斜边的计算公式为 ，22bac （2）全微分得）全微分得 ： 1122222211()2()222dcabadaabbdb（3）应用误差传播定律得：应用误差传播定律得： 222222222222mmcbamcbmcamc观测值代数和的观测值代数和的中误中误差平方差平方= =各观测值中误差的平方各观测值中误差的平方之和之和当当z是一组观测值是一组观测值x

22、1， x2， xn代数和或差的中误差代数和或差的中误差时，即时，即 z= x1 x2 xn，则可得到函数则可得到函数z的中误差平方为：的中误差平方为：122222.nzxxxmmmm若这些观测值都为同精度观测值时（中误差都若这些观测值都为同精度观测值时（中误差都为为m），则上式将为：），则上式将为：zmm n总结和回顾:误差传播定律（线性函数）设t个独立观测值的线性函数则有假若对该组观测值进行n次观测，有将上列n个式子平方后求和，得 其中有误差传播定律（线性函数） 两种特殊情况（1）设Z是一组同精度独立观测值的代数和，该组观测值的中误差均为m，即 则（2）对某量同精度观测n次，算术平均值为 设

23、一次观测的中误差为m, 则误差传播定律（非线性函数） 设t个独立观测值的非线性函数 对该式求全微分，并用真误差代替微分量，有 再利用线性函数的误差传播定律公式，可得 误差传播定律在测量上应用举例误差传播定律在测量上应用举例（1 1）水准测量的精度）水准测量的精度 设设A A、B B两水准点间的高差两水准点间的高差h h施测了施测了n n个测站，个测站，则则 若各测站观测的精度相同，其中误差均为若各测站观测的精度相同，其中误差均为 ， 则则 。 设各测站的设各测站的S S大致相等，大致相等，A A、B B间的距离为间的距离为L L，则测站数则测站数 如果如果L L、S S均以千米为单位，则均以千米为单位，则 为一为一千米观测高差的中误差，令千米观测高差的中误差，令 则有则有误差传播定律在测量上应用举例误差传播定律在测量上应用举例（2 2）距离丈量的精度）距离丈量的精度 若用长度为若用长度为l l的钢尺量距，连续丈量的