线性代数第7章线性代数在经济学中的应用

1、1第七章 线性代数在经济学中的应用1 莱斯利人口模型2 列昂季耶夫投入产出分析 最后两次课的内容是复习内容.21 莱斯利人口模型一、莱斯利人口模型的建立 设妇女最大年龄为N,把年龄等分为n个年龄段，第i个年龄段为(1)/ ,/ ,1,2, .iN n iN n in时间以一个年龄段为单位，从而时间离散化为 设在时段t, 第i个年龄段的人口数为 第i个年龄段的生育率和存活率分别为 和 0,1,t ( ),1,ix t in,0,0,1, .iiis bsin ib3 3 3 3 3, ,(0)(1,2, ).iiib s xin均可以由统计资料获得 T12111( )( ),( ),( ) ,.

2、, ,( )(1)( ),(1)( ),1,2,1.,1,(),niiiniiiiiX tx t x tx tts bx tx tb x txtx t intt定义向量这是在第 个时间段各年龄组的人口分布数根据的意义有等式第一个等式表示 在第个时间段 第一个年龄组的人口等于前一个时间段生育婴儿的总和 其中已经扣除了存活不到下一个时间段的那些婴儿 第二个等式表示时间段存活1i 到下一时间段的第年龄组的人口数.(I)si4 4 4 4 4 121121000000 ,000I(1)( ).( )(0),1,2,.,(0).nnntbbbbsLssX tLX tX tL XtXL 记非负矩阵则等式写

3、作递推得此式称为莱斯利人口模型为初始人口分布矩阵 称为莱斯利矩阵 L:=matrix(b1,b2,b3,b4,s1,0,0,0,0,s2,0,0,0,0,s3,0);det(lambda*diag(1,1,1,1)-L); := Lb1b2b3b4s10000s20000s3043b1s1 b2 2s1 s2 b3 s1 s2 b4 s35 5 5 5 5 00T*1 2111 22100000 (1)0,1,2,1;(2)0,0,1, 1,;20,;( )(3)0,limiiinniittsinbbLs ssss sbLX tbc如果并且至少有一个则矩阵 有唯一单重正特征值属于的正特征向量是

4、如果至少两个顺次的则 的其他特征值的绝对值小于如果至少两个顺次的则定定理理*, (0).cX其中常数 是与初始人口向量有关的常数二、莱斯利矩阵的特征值和特征向量6证明中用到的知识：1.重根 如果多项式 在 有重根,则01000( )()( ),1.( )()( )()( ),()0.ssspqspsqqp( )p000()0,()0.pp证证 2. 棣莫弗(De Moivre, A.)公式(cossin )cossin.ninin 3. 三角不等式 如果1212| |,zzzz120,0,zz等号成立的充分必要条件是存在 使得0,a 12.zazrcossin7部分证明121121000000

5、000nnnbbbbsss1211211211 21211111100|00000.nnnnnnnnnnnnnn iiiibbbbsDELssbs bssbssbss bn=1时等式成立.设对于n等式成立.按最后一列展开得到递推公式111nnnnDb ssD 7(1)811111111111111.nnnnnnn inniiinnniiiiDss bDss bss bss b 即等式对于n+1也成立,根据数学归纳法,等式对于任意自然数成立.111111( )(1)(1( ).nnnn iniiniiiiinss bDss bf9111( )niiiiss bf令 ,根据条件,求和号中至少有一项

6、非零 , f(x)是单调严格下降连续函数,并且( )(0 ), ( )0().fxfx 根据连续函数的中间值定理,存在唯一 ,使得 即 是唯一正特征值.000()1,f0()0.nD0111110000( )(1( ),( )(1( )( ),( ),1()0,()0()0.nnnnnniiiinDfDnffiss bfffD是单根.1010 plot(x3-x2-x-1,x=-3.3,thickness=3); := fx1x1x211现在求属于 的特征向量. 代数重数为一，故几何重数也为一,故矩阵00121102100000000nnnbbbbsss的行向量组线性相关,但后n-1个行向量线

7、性无关,第一个行向量必定是后n-1个行向量线性组合01221101000202010100000000000000000000000000000000nnnnnnnbbbbbssssss0联邦克立安 联邦克立安价格 联邦克立安批发 13取自由未知量 xn=1,得10020101011220122102220121120110111000000000000000000/,1,/,/,/,/,/.nnnnnnnnnnnnnnnnsssxsxxssxsxssxssxssxss 110/.n141101211221020221231 201011110/,1,/,/,/,/,1./.nnnnnnnnn

8、nnnxsssxxsxsssxs sxsxxss (2)设相邻两个bi不等于零时，我们证明莱斯利矩阵的其他特征值的绝对值都小于 . 0141515设10,0.kkbb111111111011110111111110( )(1)(1( ).1.1.|,|1,1 |nnniiniinniiiiiiiinniiiiiiiinniiiiiiiiss bDfss bss bss bss bss bss b如果则与矛盾 .设 是和 不同的特征值.01616如果 设00|,. 0(cossin ),02 .i11111101111100111,101111110| |(cossin )|(cossin)(c

9、os(1)sin(1) )1,1 nniiiiiiiikkkkkkniiii n i k knniiiiiii niss bss bissbss bkikkikss bss bss b 与矛盾 .017010,11101101110101010,diag(,),|,1,1.( )(0)(0)diag(,)(0)diag(1,/,/)(0)( )/diag(1,0,0)(0)().diag(1,0,0nnittttntttttntLP PinX tL XPP XPP XPP XX tPP XtP 1*T2*)(0)(,0,0)( ,).nP Xc cccP的第一列是*.17(3)设L可以对角化,

10、即存在可逆矩阵P,使得11818181818*1*00000110201 2110*,( ),(1),(1)( ).1( )( )( ),.tttmmmtX tcX tcX tX tx tsx tcxts sst 根据这个定理当 充分大时各年龄组人口按公比为的等比数列变化称为稳定人口增长率当 充分大时决定了各年龄组的人口比例称为稳定年龄分布向量19莱斯利矩阵及其应用莱斯利矩阵及其应用佛坪大熊猫种群发展的预测研究郭瑞海郭瑞海(西南民族学院数学系)袁晓凤袁晓凤(中国科学院成都计算所数理室)第22 卷第2 期Journal of Southwest Nationalities CollegeNatu

11、ral Science EditionMay 1996三、莱斯利矩阵对于大熊猫种群发展的预测20yearsec, 0 2, 3 5, 6 8, 9 11,12 14,15 17,18 20,21 23,24 26sumratio1990331312117432186a199332.511.8812.4811.289.465.112.401.590.5087.201.014199636.2711.7011.4011.739.7016.9063.0661.2720.397592.44251.060199938.4713.0611.2310.7210.097.0824.1441.6250.31809

12、6.73901.047200238.6513.8512.5410.569.2197.3664.2492.1960.406299.03621.024200538.9013.9113.3011.799.0826.7304.4202.2520.5490100.93301.019200840.0014.0013.3512.5010.146.6304.0382.3430.5630103.56401.027201141.4414.4013.4412.5510.757.4023.9782.1400.5858106.68581.030201442.9014.9213.8212.6310.797.8484.44

13、12.1080.5350109.99201.031201744.0515.4414.3212.9910.867.8774.7092.3540.5270113.12701.028202045.0515.8614.8213.4611.177.9284.7262.4960.5885116.09851.027202346.2416.2215.2313.9311.588.1544.7572.5050.6240119.24001.027 := N, , , , ,33 13 12 11 7 4 3 2 1000.71110.7000.360000000000.960000000000.9400000000

14、00.860000000000.730000000000.600000000000.530000000000.25021几个特殊矩阵的特征值(1)莱斯利矩阵的主特征值和特征向量.(2) 是n维列向量， 的特征值为 (n-1)重.(3), T( ,),0 bbbbbbbbbbAb EbbbbbBb E11(1)1(1). B 有特征值nb,0(n-1)重，A有特征值1+(n-1)b，1-b (n-1)重.22 重要矩阵对称 对应不同特征值的特征向量正交.正交矩阵 保持向量长度和正交性方阵的多项式A有特征值 ,则f(A)有特征值 f( ).可逆矩阵A有特征值 ,则f(A)有特征值 f( ).例 三

15、阶实对称矩阵有特征值 1,2,3,求 的行列式.T,2 ,3 ,2,4,2?AA AA T1,( ,)0,2,4,(2 )?AAA 1/(,)( ,).AAA 123AAE23232323232 列昂季耶夫投入产出分析简介国民经济各部门间存在某种连锁关系.一个经济部门倚赖其他部门的产品或半成品,同时也为其他部门提供条件.如何在特定的经济形势下确定各个经济部门的产出水平以满足整个社会的经济需要是一个十分重要的问题.投入产出模型就是利用数学方法综合地描述各经济部门间产品的生产和消耗关系的一种经济数学模型.2424242424这种数学模型是由美国经济学家列昂季耶夫首先提出,多年来被各国广泛使用,在编

16、制经济计划、经济预测以及研究污染、人口等社会问题中发挥了很大的作用.列昂季耶夫因此获得了1973年诺贝尔经济学奖. 列昂季耶夫提出以下假设:一 国民经济划分为几个生产部门,每个部门生产一种产品;二 每个部门将其他部门产品加工为本部门产品,在这一过程中,消耗的其他部门产品为“投入”,本部门产品为“产出”.25252525投入产出模型创始人 瓦西里瓦西里瓦西里耶维奇瓦西里耶维奇列昂季耶夫列昂季耶夫（俄语俄语： ；英语英语：Wassily Leontief，1905年8月5日1999年2月5日）是一位俄裔美国经济学家经济学家，后移居美国美国任教于哈佛大学哈佛大学.他以“投入产出理论投入产出理论”对于

17、经济学的贡献获得了1973年诺贝尔经诺贝尔经济学奖济学奖.1928年他以国民政府铁道部国民政府铁道部的顾问身份访问中国一年，往后他不时地利用在中国时的经验解释“投入产出理论投入产出理论”.2626262626他出生于德国慕尼黑，在俄罗斯的圣彼得堡成长，他的父亲老列昂季耶夫（Wassily W. Leontief）是一位经济学教授。他15岁就进入了父亲执教的列宁格勒大学攻读哲学，也选修了一些经济学的课程。19岁（1925年）时便获学士学位，同年移居德国进入柏林大学专攻经济学，22岁时（1928年）获经济学博士学位。他离开俄国的原因跟他公开反对共产主义有关，他甚至为此数度被逮捕和监禁。272727

18、2727一、投入产出表 设有n个生产部门，分别用1,2, ，n表示，第i个部门只生产产品i，根据报告期的统计数据列表如下111111111111jniijiniinnjnnnnjnjnjnxxxyxixxxyxnxxxyxNNNxxx中间产品中间投入最初投入总投入最终产品总产出投入部门间流量产出2828282828xi 表示表示第i个部门总产出,xij表示第i个部门分配给第 j个部门的产品数量， yi是第i个部门的最终产品数量，Nj是j部门的最初投入. 根据每个部门总产出等于总投入的假设得平衡方程 11,1, (1),1. (2)niijijnjijjixxyinxxNjn 292929292

19、9二、投入产出数学模型二、投入产出数学模型 ,1 (3)ijijjxajnx表示j部门生产单位产品所消耗的的i部门产品数量，称为j部门对于i部门的直接消耗系数.矩阵()ijn nAa称为直接消耗系数矩阵,显然A是非负矩阵,并且有111101,1,1. 0,1,2, .1,1,2, .ijjnijnnijiijniijijjiai jNjnxxajnxxN1.直接消耗系数矩阵如果30303030302.投入产出方程由(1)和(3)得1,1.niijjijxa xyin 写成矩阵形式TT1212,(,) ,(,) . ().nnXAXY Xx xxYy yyEA XY这个方程称为投入产出方程.31

20、3131313111,1. nnjijjijjjiixa xaxNjn由(2),(3)得写成矩阵形式1112211,(),.niiniinniniXMXNEM XNaNaNMNNa32323232323.投入产出方程解的存在唯一性和非负性定理定理1 如果A为非负矩阵,并且11,1,(*)nijiajn则方程组 对于任意Y有唯一解.()EA XY11112122111,1,1jnjnnnjnnnnjnnaaaaaaAaaaaaa33证明证明 我们要证E-A 可逆.用反证法.若E-A 不可逆,则E-AT不可逆.于是存在非零列向量XTTT111111( ,),(),.|,1, ,0,0|,nikkn

21、kikiinnkikiikiiinnikkkikkiiXxxo EAXo XA Xxx in xxa xxa xaxa xxax设矛盾.34343434定理定理2 (霍金斯-西蒙)如果A为非负矩阵, 并且11,1,(*)nijiajn假设Y0,则方程组 的解 X0.()EA XY证明证明 根据上一个定理,EA可逆,设其逆矩阵为我们证明B的每个元素非负.用反证法.设第k行有负元素,此行的最小元素记为 由 B(E A)=E 得(),ijn nBb,0.klklbb (1)()klklllkiili lbaba注意到 我们得,0,1, ,kiklilbbain ()()kiilklili li lb

22、aba1(1)()(1)0.nklklllklilklili libababa矛盾.35定理定理3 (霍金斯-西蒙)设A为直接消耗系数矩阵.当Y0时投入产出方程(EA)X=Y有非负解的充分必要条件是EA的顺序主子式为正,即111211122122111212122212110,0,1110,1| 0. iiiiiiinaaDaDaaaaaaaaDaaaDEA11111221221 12222:(1),:(1).Laxa xcLa xaxcL1 的x1轴上的截距 对于x1轴的斜率为111,1ca111121.akaL2的x2 轴上的截距 对于x1轴的斜率为222,1ca21222.1aka111,1ca222,1caL1和L2在第一象限相交，需要112112122211221221111221221,1(1)(1),10.1aakkaaaaa aaaaan=2时的几何解释.证明充分性(用初等变换法)对于n阶方程组的矩阵为1121111212221221,11,211111211111nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaa