高中全程复习方略配套任意角和弧度制及任意角的三角函数ppt课件

1、第一节 恣意角和弧度制及恣意角的三角函数三年三年3 3考考 高考指数高考指数: :1.1.了解恣意角的概念；了解弧度制的概念了解恣意角的概念；了解弧度制的概念. .2.2.能进展弧度与角度的互化能进展弧度与角度的互化. .3.3.了解恣意角的三角函数了解恣意角的三角函数( (正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切) )的定义的定义. .4.4.了解同角三角函数的根本关系式：了解同角三角函数的根本关系式：sin2x+cos2x=1sin2x+cos2x=1， =tanx. =tanx. sinxcosx1.1.三角函数的定义及运用是本节的调查重点，留意三角函数值三角函数的定义及运用是本节的调查重点，留

2、意三角函数值符号确实定符号确实定. .2.2.同角三角函数关系式常用来化简、求值同角三角函数关系式常用来化简、求值, ,是高考的热点是高考的热点. .3.3.主要以选择题、填空题的方式调查主要以选择题、填空题的方式调查. .1.1.角的有关概念角的有关概念(1)(1)定义定义角可以看成平面内的一条射线绕着它的角可以看成平面内的一条射线绕着它的_从一个位置从一个位置_另一个位置所成的图形另一个位置所成的图形. .(2)(2)分类分类_、_、_._.端点端点旋转到旋转到正角正角负角负角零角零角(3)(3)终边一样的角终边一样的角与角与角终边一样的角可构成集合终边一样的角可构成集合S=|=+_.S=

3、|=+_.k360k360，kZkZ【即时运用】【即时运用】(1)(1)思索：角思索：角为锐角是角为锐角是角为第一象限角的什么为第一象限角的什么条件？条件？提示：充分不用要条件提示：充分不用要条件. .由于锐角为大于由于锐角为大于0 0且小于且小于 的角，而第一的角，而第一象限角为象限角为(2k(2k，2k+ )(kZ).2k+ )(kZ).22(2)(2)假设假设是第二象限角，判别以下表述能否正确是第二象限角，判别以下表述能否正确.(.(在括号内在括号内填填“或或“) )|=k360|=k360+45+45，kZ ( )kZ ( )|90|90180180 ( ) ( )|k360|k360

4、+90+90k360k360+180+180，kZ ( )kZ ( )|=k180|=k180+ +,kZ ( ),kZ ( )【解析】不正确【解析】不正确; ;表述不全面；正确；不正确，表述不全面；正确；不正确，的的终边能够会落在第二象限或第四象限终边能够会落在第二象限或第四象限. .答案：答案： 2.2.弧度的概念和公式弧度的概念和公式(1)(1)定义定义长度等于长度等于_所对的圆心角叫做所对的圆心角叫做1 1弧度的角弧度的角. .弧度记作弧度记作rad. rad. 半径长的弧半径长的弧角角 的弧度数公式的弧度数公式=_弧长用l表示rl角度与弧度的换算角度与弧度的换算1 1=_rad=_r

5、ad180180弧长公式弧长公式弧长弧长l=_r 扇形面积公式扇形面积公式S=_S=_ =_=_1r2l21r21 rad=(_) 1 rad=(_) 2.(2.(公式公式) )【即时运用】【即时运用】(1)337(1)3373030的弧度数是的弧度数是_._.(2) (2) 的度数为的度数为_._.(3)(3)扇形半径为扇形半径为4545，圆心角为，圆心角为120120，那么弧长为，那么弧长为_._.答案：答案：(1) (2)75(1) (2)75 (3)30 (3)305121583.3.恣意角的三角函数恣意角的三角函数(1)(1)定义定义设角设角终边与单位圆交于终边与单位圆交于P(x,

6、y)P(x, y)，那么，那么sin=_sin=_，cos=_cos=_，tan=_.tan=_.(2)(2)几何表示几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. .正弦线的起点都正弦线的起点都在在_,_,余弦线的起点都是余弦线的起点都是_,_,正切线的起点都是正切线的起点都是_._.y yx xy(x0)xx x轴上轴上原点原点(1,0)(1,0)(3)(3)诱导公式诱导公式( (一一) )sin(+k2)=_;cos(+k2)=_;sin(+k2)=_;cos(+k2)=_;tan(+k2)=_.(kZ)tan(+k2)=_.(kZ)(4)(4)同

7、角三角函数的根本关系同角三角函数的根本关系平方关系平方关系:_,:_,商数关系商数关系:_.:_.sinsincoscostantansin2+cos2=1sin2+cos2=1sintancos【即时运用】【即时运用】(1)(1)知角知角终边上一点终边上一点A(2,2)A(2,2)，那么，那么tan=_.tan=_.(2)(2)假设假设tan=2tan=2，那么，那么 =_. =_.答案：答案：(1)1 (2)-(1)1 (2)-sin3cossincos13 弧度制的运用弧度制的运用 【方法点睛】【方法点睛】弧度制的运用弧度制的运用(1)(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧

8、度制下引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以运用弧长公式：可以运用弧长公式：l =r|l =r|，扇形面积公式：，扇形面积公式：S= lr= S= lr= r2|.r2|.计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便. .(2)(2)运用上述公式时运用上述公式时, ,要先把角一致为用弧度制表示要先把角一致为用弧度制表示. .【提示】弧度制和角度制不能混用，处理问题时要先一致【提示】弧度制和角度制不能混用，处理问题时要先一致. . 1212【例【例1 1】知扇形的圆心角是】知扇形的圆心角是，半径为，半径为R R，弧长为，弧

9、长为l.l.(1)(1)假设假设=60=60，R=10 cm,R=10 cm,求扇形的弧长求扇形的弧长l.l.(2)(2)假设扇形的周长为假设扇形的周长为20 cm20 cm，当扇形的圆心角，当扇形的圆心角为多少弧度时，为多少弧度时，这个扇形的面积最大？这个扇形的面积最大？(3)(3)假设假设= = ，R R2 cm2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积，求扇形的弧所在的弓形的面积. .【解题指南】【解题指南】(1)(1)可直接用弧长公式，但要留意用弧度制可直接用弧长公式，但要留意用弧度制. .(2)(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其

10、取最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角的半径和弧长，进而求出圆心角.(3)(3)可直接利用公式求解可直接利用公式求解. .3【规范解答】【规范解答】(1)l =10(1)l =10 = (cm). = (cm).(2)(2)由知得：由知得：l +2R=20,l +2R=20,所以所以S= l R= (20-2R)RS= l R= (20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25=10R-R2=-(R-5)2+25，所以所以R=5R=5时，时，S S获得最大值获得最大值2525，此时，此时l =10l =10，=2 rad.=2 rad.31031212(3)(3)设弓形面积为设弓形面积为S

11、 S弓弓. .由题知由题知l = cml = cmS S弓弓=S=S扇扇-S-S= = 2- 2- 2222sinsin= (cm2).= (cm2).2312231232(3)3【互动探求】将本例第【互动探求】将本例第(1)(1)小题中的小题中的R=10 cmR=10 cm改为扇形的改为扇形的弦弦AB=10 cm,AB=10 cm,再求弧长再求弧长l.l.【解析】由于圆心角【解析】由于圆心角=60=60，AB=10 cm,AB=10 cm,所以所以R=10 cmR=10 cm，l =10 l =10 = (cm). = (cm).2222310 23【反思【反思感悟】感悟】1.1.弧度制下的

12、弧长、扇形面积公式与角度制下弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下的弧长公式的弧长公式l = l = 、扇形面积公式、扇形面积公式S= S= 有着必然的内在联络有着必然的内在联络. .2.2.在处理弧长问题和扇形面积问题时要留意合理的利用圆心角在处理弧长问题和扇形面积问题时要留意合理的利用圆心角所在的三角形所在的三角形. . n r1802nr360【变式备选】扇形【变式备选】扇形OABOAB的面积是的面积是1 cm21 cm2，它的周长是，它的周长是4 cm4 cm，求圆，求圆心角的弧度数和弦心角的弧度数和弦ABAB的长的长【解析】设扇形的半径为【解析】设扇形的半径为r cmr cm，弧长为

13、，弧长为l cml cm，圆心角的弧度数，圆心角的弧度数为为，那么有，那么有 ，解得，解得 ，由由| 得得2 2，|AB|AB|2sin1 (cm).2sin1 (cm).2r41r12 llr12lrl 三角函数的定义三角函数的定义【方法点睛】【方法点睛】1.1.三角函数定义的了解三角函数定义的了解在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，设中，设P(x, y)P(x, y)是角是角终边上恣意一点，且终边上恣意一点，且|PO|PO|r r，那么，那么sinsin ；coscos ；tantan . .yrxryx2.2.定义法求三角函数值的两种情况定义法求三角函数值的两种情况(1)(1)知角知

14、角终边上一点终边上一点P P的坐标，那么可先求出点的坐标，那么可先求出点P P到原点的间到原点的间隔隔r r，然后利用三角函数的定义求解，然后利用三角函数的定义求解. .(2)(2)知角知角的终边所在的直线方程，那么可先设出终边上一点的终边所在的直线方程，那么可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的间隔，然后利用三角函数的定义求的坐标，求出此点到原点的间隔，然后利用三角函数的定义求解相关的问题解相关的问题. .假设直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角假设直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值的三角函数值. . 【例【例2 2】知角】知角的终边在直线的终边在直线3x+4y=03x+4

15、y=0上，求上，求sin,cos,tansin,cos,tan的值的值. .【解题指南】在直线上设出点，求出所设点到原点的间隔，求【解题指南】在直线上设出点，求出所设点到原点的间隔，求得三角函数值，由于所设点可在不同象限，所以需求讨论得三角函数值，由于所设点可在不同象限，所以需求讨论. .【规范解答】【规范解答】角角的终边在直线的终边在直线3x+4y=03x+4y=0上，上，在角在角的终边上任取一点的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),P(4t,-3t)(t0),那么那么x=4t,y=-3t,x=4t,y=-3t,r=|PO|= = =5|t|,r=|PO|= = =5|t|,当当t t

16、0 0时，时，r=5t,r=5t,sin= = =- ,cos= = = ,sin= = =- ,cos= = = ,tan= = =- ; tan= = =- ; 22xy224t3t yr3t5t35xr4t5t45yx3t4t34当当t t0 0时，时，r=-5t,r=-5t,sin= = = ,sin= = = ,cos= = =- cos= = =- ，tan= = =- .tan= = =- .综上可知，综上可知，sin=- sin=- ，cos= cos= ，tan=- tan=- ；或或sin= sin= ，cos=- cos=- ，tan=- .tan=- .yr3t5t35

17、xr4t5t45yx3t4t34354534354534【反思【反思感悟】感悟】1.1.利用三角函数定义解题时，方法比较灵敏，利用三角函数定义解题时，方法比较灵敏，假设是角假设是角的终边落到一条直线上，普通要分类讨论的终边落到一条直线上，普通要分类讨论. .2.2.恣意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联络与区恣意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联络与区别别: :锐角三角函数是恣意角的三角函数的一种特例，它们的根底是锐角三角函数是恣意角的三角函数的一种特例，它们的根底是建立于类似或直角三角形的性质，建立于类似或直角三角形的性质，“r r同为正值同为正值. . 所不同的所不同的是，

18、锐角三角函数是以边的比来定义的，恣意角的三角函数是是，锐角三角函数是以边的比来定义的，恣意角的三角函数是以坐标与间隔、坐标与坐标的比来定义的以坐标与间隔、坐标与坐标的比来定义的, ,它也适宜锐角三角它也适宜锐角三角函数的定义函数的定义. .本质上，由锐角三角函数的定义到恣意角的三角本质上，由锐角三角函数的定义到恣意角的三角函数的定义是由特殊到普通的认识和研讨过程函数的定义是由特殊到普通的认识和研讨过程. . 【变式训练】知角【变式训练】知角的终边经过点的终边经过点P(- P(- ，m)(m0)m)(m0)，且，且sin= m,sin= m,试判别角试判别角所在的象限，并求所在的象限，并求cos

19、cos和和tantan的的值值 324【解析】由题意，得【解析】由题意，得r= ,r= , = m = m，m0,m=m0,m= ， 故角故角是第二或第三象限角是第二或第三象限角当当m= m= 时，时，r=2 r=2 ，点，点P P的坐标为的坐标为(- (- ， ) )，cos= = =- cos= = =- ，tan= = =- tan= = =- ， 当当m=- m=- 时，时，r=2 r=2 ，点，点P P的坐标为的坐标为(- (- ，- )- )，cos= = =- cos= = =- ，tan= = = .tan= = = .23m2m3m2455235xr32 264yx53153

20、5235xr32 264yx53153【变式备选】知角【变式备选】知角的终边过点的终边过点(a,2a)(a0)(a,2a)(a0)，求，求的三角的三角函数值函数值. .【解析】由于角【解析】由于角的终边过点的终边过点(a(a，2a)(a0)2a)(a0)，所以所以r= |a|r= |a|，x=a,y=2a,x=a,y=2a,当当a a0 0时时,sin= = = = ,sin= = = = ；cos= = = cos= = = ；tan=2;tan=2;当当a a0 0时，时，sin= = = =- sin= = = =- ；cos= = =- cos= = =- ；tan=2.tan=2.5

21、yr2a5 |a |2a5a2 55xra5a55yr2a5 |a |2a5a2 55xra5a55 同角三角函数关系式的运用同角三角函数关系式的运用【方法点睛】【方法点睛】同角三角函数关系式的了解同角三角函数关系式的了解1.1.同角三角函数关系式的根本用途同角三角函数关系式的根本用途根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式2.2.留意公式的逆用和变形运用：留意公式的逆用和变形运用：sin2+cos2=1sin2+cos2=1，sin2=1-c

22、os2sin2=1-cos2，cos2=1-sin2cos2=1-sin2，sin=costan. sin=costan. 【例【例3 3】(2021(2021三明模拟三明模拟) )知知- - x x0 0，sinx+cosx= . sinx+cosx= . (1)(1)求求sinx-cosxsinx-cosx的值；的值； (2)(2)求求 的值的值. .【解题指南】先利用平方关系解第一问，然后利用商数关系的【解题指南】先利用平方关系解第一问，然后利用商数关系的值求解第值求解第(2)(2)问即可问即可. .21522xxxx3sin2sincoscos22221tanxtanx【规范解答】【规

23、范解答】(1)(1)由由sinx+cosx= ,sinx+cosx= ,平方得平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= sin2x+2sinxcosx+cos2x= ，即即2sinxcosx=- 2sinxcosx=- ，(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= .(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= .又又- - x x0 0，sinxsinx0 0，cosxcosx0 0，sinx-cosxsinx-cosx0 0，故故sinx-cosx=- .sinx-cosx=- .1512524254925275(2) (2) =sinxcosx(2-cosx-si

24、nx)=sinxcosx(2-cosx-sinx)=(- )=(- )(2- )=- .(2- )=- .22xxxx3sin2sincoscos22221tanxtanx2x2sinsinx12sinxcosxcosxsinx122515108125【反思【反思感悟】感悟】1.1.在利用同角三角函数关系式解题的时候，变在利用同角三角函数关系式解题的时候，变形非常关键，同时形非常关键，同时“1 1的代换也经常巧妙的用在里面，使问的代换也经常巧妙的用在里面，使问题得以处理题得以处理. .2.2.有些标题还用到方程思想，函数思想有些标题还用到方程思想，函数思想. .【变式训练】【变式训练】(202

25、1(2021福州模拟福州模拟) )假设假设tan=2,tan=2,那么那么 的值为的值为( )( )(A) (B)0 (C) (D)1(A) (B)0 (C) (D)1【解析】选【解析】选A. A. 2sincossin2cos34542sincos2tan12 2 13.sin2costan2224【易错误区】同角三角函数平方关系的运用误区【易错误区】同角三角函数平方关系的运用误区【典例】【典例】(2021(2021重庆高考重庆高考) )假设假设cos=- cos=- ，且且(， ) )，那么，那么tan=_.tan=_.【解题指南】根据角所在的范围，先求出【解题指南】根据角所在的范围，先求

26、出sinsin的值，再根据的值，再根据商数关系求出正切值商数关系求出正切值. . 3532【规范解答】由于【规范解答】由于(， ) )，cos=- cos=- ，所以所以sin= - =- sin= - =- ，所以，所以tan= = .tan= = .答案：答案：323521 cos 45sincos4343【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：失失分分警警示示求解本题时，常会出现以下两种失误：求解本题时，常会出现以下两种失误：(1)(1)易忽视题目中已知条件易忽视题

27、目中已知条件的范围，求得的范围，求得sinsin的两个值的两个值而致错而致错. .(2)(2)虽注意到虽注意到的范围，但判断错的范围，但判断错sinsin的符号而导致的符号而导致tantan的值错误的值错误. . 备备考考建建议议由同角三角函数的平方关系求由同角三角函数的平方关系求sinsin或或coscos时，要注意以时，要注意以下两点：下两点：(1)(1)题目中若没有限定角题目中若没有限定角的范围，则的范围，则sinsin或或coscos的符的符号应有两种情况，不可漏掉号应有两种情况，不可漏掉. .(2)(2)若已给出若已给出的范围，则要准确判断在给定范围内的范围，则要准确判断在给定范围内sinsin或或coscos的符号，不合题意的一定要舍去的符号，不合题