第三章 数字PID控制算法

1、第三章第三章 数字数字PID控制算法控制算法 第一节第一节 标准数字标准数字PID控制算法控制算法 第二节第二节 改进的数字改进的数字PID控制算法控制算法 第三节第三节 数字数字PID控制算法的参数整定控制算法的参数整定第一节第一节 标准数字标准数字PID控制算法控制算法 一、一、PID控制算法及其作用控制算法及其作用 PID控制器是一种线性控制器，它将给定值与实际输出值的偏差 的比例、积分和微分进行线性组合，形成控制量 输出，如图3-1所示。 图3-1 PID控制器方框图)(te)(tu 因此，连续系统中PID控制器的传递函数为 (3-1) PID控制规律为 (3-2) 其中， 为比例系数

2、， 为积分时间常数， 为微分时间常数， 为PID控制器的输入， 为PID控制器的输出。 由式（3-1）和式（3-2）可知，PID控制器的输出是由比例控制、积分控制和微分控制三项组成，三项在控制器中所起的控制作用相互独立。因此，在实际应用中，根据被控对象的特性和控制要求，可以选择其结构，形成不同形式的控制器，如比例（P）控制器，比例积分（PI）控制器，比例微分（PD）控制器等。)11 ()()()(sTsTKsEsUsDdipd)(dd)(1)()(0tteTtteTteKtudtippKiTdT)(te)(tu1比例控制器 比例控制器是最简单的一种控制器，其控制规律为 (3-3) 式中u0，为

3、控制量的基准值，即偏差时的控制作用（如阀门原始开度、基准电压等）。 0)()(uteKtup图3-2 比例控制器的阶跃响应00d)(1)()(utteTteKtutipiT2比例积分调节器（PI） 为了消除在比例控制中残存的静差，可在比例控制器的基础上加入积分控制，构成比例积分控制器，其控制规律为(3-4)式中， 为积分时间常数，表示积分速度的快慢，越大积分速度越慢，积分作用也就越弱。图3-3为比例积分控制器的阶跃响应曲线。图3-3 比例积分控制器的阶跃响应曲线 3比例积分微分调节器（PID） 虽然积分作用可以消除静差，但它会降低系统的响应速度。为了加快控制过程，可以通过检测误差的变化率来预报

4、误差，根据误差变化趋势，产生强烈的调节作用，使偏差尽快地消除在萌芽状态。为此，在比例积分控制器的基础上再引入微分控制，形成比例积分微分（PID）控制器，其控制规律为 (3-5) 式中， 为微分时间常数，代表微分作用的强弱， 越大微分作用越强。图3-4为比例积分微分控制器的阶跃响应曲线。00d)(dd)(1)()(utteTtteTteKtudtipdTdT 图3-4 PID阶跃响应曲线综上所述，对PID控制器中三个环节的作用总结如下： （1）比例环节的作用：能迅速反映偏差，从而减小偏差，但不能消除静差， 的加大，会引起系统的不稳定。 （2）积分环节的作用：只要系统存在偏差，积分环节就会产生控制

5、作用减小偏差，直到最终消除偏差，但积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡。 （3）微分环节的作用：有助于系统减小超调，克服振荡，加快系统的响应速度，减小调节时间，从而改善了系统的动态性能。但 过大，会使系统出现不稳定。pKdT有关有关PID 参数对系统特性影响的说明参数对系统特性影响的说明000( )( )( )( )( )( )( )( )(1)( )(1)kktjju tu ke te ke t dte jtTe jdee ke ke ke kdttT Tkkjk, 2 , 1 , 000)1()()()()(ukekeTTjeTTkeKkukjdip二、模拟二、模拟PID控制器

6、的离散化控制器的离散化 按照前面介绍的计算机控制系统模拟化设计方法，要用计算机实现连续系统中的模拟PID控制规律，就要对其进行离散化处理，变成数字PID控制器。在采样周期远小于信号变化周期时，可作如下近似：(3-6)式中， 为采样周 期； 为采样序号， 。 将式（3-6）代入式（3-5）中，有：(3-7) 为了便于计算机编写程序，将式（3-7）变为： (3-8) 式中， 是数字PID控制器的输入，为第 个采样时刻的偏差值； 是 第个采样时刻数字PID控制器的输出； 为积分系数。 为微分系数。 由式（3-7）得出的控制量为全量值输出，也就是每次的输出值都与执行机构的位置(如控制阀门的开度)一一对

7、应，所以把它称之为位置式数字PID控制算法。 00)1()()()()(ukekeKjeKkeKkukjdip)(kek)(kukipiTTKK TTKKdpd 当控制系统中的执行器为步进电机、电动调节阀、多圈电位器等具有保持历史位置功能的装置时，需要的不是控制量的绝对数值，而是其增量值。因此，需要由数字PID位置式导出数字PID控制算法的增量式。 对数字PID位置式取增量，即数字控制器输出的是相邻两次采样时刻所计算的位置值之差： (3-9) 由于式（3-9）得出的是数字PID控制器输出控制量的增量值，因此，称之为增量式数字PID控制算法。它只需要保持三个采样时刻的偏差值。)2() 1(2)(

8、)()1()() 1()()(kekekeKkeKkekeKkukukudip 为了便于计算机编程，简化计算，提高计算速度，将式（3-9）整理为： (3-10) 式中， 在编写程序时，可以根据事先确定的比例系数、积分系数和微分系数，计算出 、 ，存入内存单元。 利用增量式数字PID控制算法，可以得到位置式数字PID控制算法的递推算式，即 (3-11)2() 1()()(210keqkeqkeqku)1 (0TTTTKKKKqdipdip)21 (21TTKKKqdpdpTTKKqdpd20q1q2q)() 1()(kukuku （1）位置式每次输出与整个过去状态有关，计算式中要用到过去偏差的累

9、加值，容易产生较大的累积计算误差。而在增量式中由于消去了积分项，从而可减少控制器的积分饱和，在精度不足时，计算误差对控制量的影响较小，容易取得较好的控制效果（只存三个偏差值即可）。 （2）为实现手动自动无扰切换，在切换瞬时，必须首先将计算机的输出值设置为阀门原始开度 。由于增量式计算只与本次的偏差值有关，与阀门原来的位置无关，其输出对应于阀门位置的变化部分，因此，易于实现从手动到自动的无扰动切换。 （3）采用增量式算法时所用的执行器本身都具有保持功能，即使计算机发生故障，执行器仍能保持在原位，不会对生产造成恶劣影响。 与位置式数字PID控制算法相比，增量式数字PID控制算法有如下优点： 第二节

10、第二节 改进的数字改进的数字PID控制算法控制算法 鉴于计算机控制系统的灵活性，除了按位置式和增量式进行标准的数字PID控制计算外，也可根据系统的实际要求，对PID控制算法进行改进，以提高系统的控制品质。 在实际过程控制系统中，执行元件(如电机或阀门)自身的机械物理特性决定了其受控范围是有限的，同时D/A转换器所能表示的数值范围也是有限的，因此要求计算输出的控制量及其变化率应满足 (3-14) 式中， 和 分别为控制器允许输出的最小值和最大值。 (3-15)maxminuuumaxuu 式中， 为控制器允许输出变化率的最大值。minumaxumaxu 若计算机输出的控制量在式（3-14）和（3

11、-15）规定的范围之内，控制是有效的；一旦超出这个范围，则达不到期望的控制效果。 在PID控制算法的增量式中，当给定值发生阶跃变化时，由比例项和微分项计算出的控制增量将会增大，如果超过了执行机构所允许的最大限度，同样会引起饱和现象，使系统出现过大的超调和持续振荡，动态品质变差。 为了避免出现饱和现象，必须对PID控制算法计算出的控制量进行约束，也就是对积分项和微分项进行改进，形成各种改进的数字PID控制算法。一、抑制积分饱和一、抑制积分饱和PID1、积分分离、积分分离PID控制算法控制算法 通过前面的例题分析，我们知道在一般的PID控制系统中，如果积分作用太强，会使系统产生过大的超调和剧烈的振

12、荡，而且调节时间也会变长。这对某些实际系统是不允许的。因此，可以采用积分分离的方法来克服它。 积分分离PID控制算法的基本思想是在系统偏差 较大时，取消积分作用；而在 小于某个阈值时才引入积分作用，即)(ke)(ke抑制饱和的方法抑制饱和的方法 (3-16) 式中的逻辑系数为 (3-17) 为根据系统的实际情况设置的分离阈值。 可见，当 时，即偏差值 比较小时，采用PID控制，可以保证系统的稳态误差为零，从而保证系统的控制精度。当 时，即偏差 比较大时，采用PD控制，可大大地降低超调量，改善系统动态特性。积分分离PID控制算法的控制效果示意图如图3-10所示。)1()()()()(0kekeT

13、TjeTTKkeKkukjdifp)( 0)( 1kekeKf)(ke)(ke)(ke)(ke 图3-10 积分分离PID控制效果yrt )1()()()()()()(d10ip kekeKTkekefieKkeKkuki TkekefieKkuki 10ii)()()()( BAkeBAkeBBkeABkeAkef )()()( 0)(1)(系数与偏差当前值的关系可以是线性的或非线性的，可系数与偏差当前值的关系可以是线性的或非线性的，可设为设为 变速积分的变速积分的PID积分项表达式为积分项表达式为值在值在 区间内变化区间内变化 。f 10，2 2、变速积分、变速积分PIDPID控制控制算法

14、算法1、不完全微分、不完全微分PID控制算法控制算法 对于具有高频扰动的生产过程，由于标准PID控制算式中的微分作用过于灵敏，导致系统控制过程振荡，降低了调节品质。特别是，对每个控制回路计算机的输出是快速的，而执行机构的动作需要一定的时间。如果输出值较大，在一个采样时间内执行机构不能到达应到的位置，会使输出失真。 为此，在标准PID控制算法中加入一个低通滤波器，加在整个PID控制器之后，形成不完全微分PID控制算法，改善系统的性能，结构如图3-11所示。图3-11 不完全微分PID控制器框图二、抑制微分饱和二、抑制微分饱和PID 图中 为低通滤波器传递函数，即 (3-18) 由传递函数的定义

15、(3-19) 则有 (3-20) 对等式两边同时进行拉氏反变换 (3-21) 用后向差分法近似微分项，可以求出式（3-21）的差分方 程为 (3-22) )(sGf11)(sTsGff11)()()(sTsUsUsGff)()()(sUssUTsUf)(d)(d)(tuttuTtuf)() 1()()(kuTkukuTkuf 对式（3-22）进行整理得 (3-23) 式中， ， 为标准PID位置算式的输出。 同理，也可以得到不完全微分PID的增量算式 (3-24) 式中， 为标准PID增量算式的输出。 不完全微分数字PID不但能抑制高频干扰，而且还能使数字控制器的微分作用在每个采样周期内均匀地

16、输出，避免出现饱和现象，改善系统性能。)()1 () 1()(kukukuffTTT)(ku)()1 () 1()(kukuku)(ku 根据式（3-7），标准数字PID中的微分作用为 (3-25) 对应的 变换为 (3-26) 当偏差为阶跃变化，即 为单位阶跃函数时，由 变换有 (3-27) 代入式（3-26）可得 (3-28) )1()()(kekeTTkuddZ)1)()(1zzETTzUdd)(kez111)(zzETTzUdd)( 标准数字PID控制器的微分环节的输出序列为 可见，标准数字PID控制器中的微分作用只在第一个采样周期内有输出，不能按照偏差的变化趋势在整个控制过程中起作用

17、，如图3-12的图（a）所示。如果这个作用很强，还会造成饱和效应，系统产生溢出现象。 不完全微分数字PID控制器的微分作用为 (3-29) 相应的微分方程是 (3-30)(0), (1)(2)0ddddTuuuT)(11)(sEsTsTsUfddtteTttuTtuddfdd)(dd)(d)( 将其离散化，有 (3-31) 同样，当偏差为阶跃变化，即 为单位阶跃函数时，有)1()() 1()(kekeTTTkuTTTkufddfd)(ke )() 1 () 2 ()()0 () 1 () 0 () 1 () 0 () 0 (322fdfdffdfdffddffdfdfddTTTTuTTTuTT

18、TTeeTTTuTTTuTTTeTTTu 显然， ，且 可见，不完全微分数字PID控制器的微分作用输出逐渐减弱，作用时间长，微分项能在各个采样周期内起到作用，如图3-12的图（b）所示。此外，在第一个采样周期内输出的幅度要比标准数字PID控制器的小得多。这样，不易引起振荡，改善了控制效果。, 3 , 2 , 1, 0)(kkuTTTTTudfdd)0(a) 标准PID控制器 (b) 不完全微分PID控制器 微分作用 微分作用图3-12 数字PID控制器的控制作用TT2T3T4)(kuTTdt)(kubTTTfdTT2T3T4T5tTT2T3T4T5 三、带死区的三、带死区的PID控制算法控制算

19、法 在计算机控制系统中，控制器的频繁动作会引起系统振荡，这是许多系统所不允许的。通常，我们希望在满足系统控制要求的前提下，控制器的输出越平稳越好。因此，为了避免控制作用过于频繁，在标准数字PID控制器的前面增加一个非线性环节，形成带死区的PID控制算法，其框图如图3-13所示。 0k0.5 1 kk25. 0k)(ke)(ke)(ky)(kr)(ku)(ty)(kp)(kP图3-13 带死区的PID控制框图 非线性环节输出为： (3-32) 式中， 为死区增益，可为0，0.25，0.5，1等。 是一个可调参数，影响系统的控制效果。 值太小，会使调节动作过于频繁，达不到稳定被控对象的目的； 值过

20、大，又会使系统产生较大的滞后。通常， 值根据实际被控对象由实验确定。 带死区PID控制器的输出为 (3-33)( ) ( )( )( ) ( )e ke kp kKe ke kK00)1()()()()(ukpkpTTjpTTkpKkudkjip 四、消除积分不灵敏区的四、消除积分不灵敏区的PID控制算法控制算法 在数字PID控制算法增量式中的积分项输出为 (3-34) 当计算机的运算字长较短时，如果采样周期 比较小，而积分时间 又比较长，则会使 的值小于计算机字长精度，此时 就会被看成“零”而丢掉，积分控制作用就会消失，把这种情况称为积分不灵敏区，将影响积分消除静差的作用。)()()(keT

21、TKkeKkuipiiTiT)(kui)(kui如何解决？第三节第三节 数字数字PID控制算法的参数整定控制算法的参数整定 PID控制器的设计一般分为两个步骤：首先是确定PID控制器的结构，在保证闭环系统稳定的前提下，尽量消除稳态误差。通常，对于具有自平衡性的被控对象，应采用含有积分环节的控制器，如PI、PID。对于无自平衡性的被控对象，则应采用不包含积分环节的控制器，如P、PD。对具有滞后性质的被控对象，往往应加入微分环节。此外，还可以根据被控对象的特性和控制性能指标的要求，采用一些改进的PID算法。 确定好PID控制器的结构以后，就要选择控制器的参数，也就是进行PID控制器的参数整定。PI

22、D控制器参数整定是指在控制器的形式已经确定的情况下，通过调整控制器参数，达到要求的控制目标。模拟PID控制器的参数整定是按照控制性能指标要求，决定调节器的参数 、 、 ；而数字PID调节器参数的整定，除了需要确定 、 、 外，还需要确定系统的采样周期 。 PID参数整定方法可以分为理论计算法和工程整定法两种。理论计算法要求必须知道各个环节的传递函数，计算比较复杂，实际系统很难满足要求，工程上一般不采用此方法。工程整定法是基于实验和经验的方法，简单易行，是工程实际经常采用的方法。pKiTdTpKiTdTT一、采样周期的选择一、采样周期的选择 （1）采样周期应比对象的时间常数小得多；）采样周期应比

23、对象的时间常数小得多； （2）采样周期应远小于对象扰动信号的周期，一般使）采样周期应远小于对象扰动信号的周期，一般使扰动信号周期与采样周期成整数倍关系；扰动信号周期与采样周期成整数倍关系； （3）当系统纯滞后占主导地位时，应尽可能使纯滞后）当系统纯滞后占主导地位时，应尽可能使纯滞后时间接近或等于采样周期的整数倍。时间接近或等于采样周期的整数倍。 （4）如果执行器的响应速度比较慢，那么采样周期过）如果执行器的响应速度比较慢，那么采样周期过小将失去意义。小将失去意义。 （5）采样周期的下限是使计算机完成采样、运算和输）采样周期的下限是使计算机完成采样、运算和输出三件工作所需要的时间（对单回路而言）

24、。出三件工作所需要的时间（对单回路而言）。 一般应考虑如下因素：一般应考虑如下因素： 1、扩充临界比例度法、扩充临界比例度法 扩充临界比例度法是以模拟PID控制器中使用的临界比例度为基础的一种数字PID控制器参数整定方法，它适用于具有自平衡性的被控对象，不需要被控对象的数学模型。 应用扩充临界比例度法时，首先要确定控制度 控制度 (3-36)0202d)(d)(模拟数字ttette用扩充临界比例度法整定PID参数的步骤为： （1）选择一个足够短的采样周期，例如被控过程有纯滞后时，采样周期取滞后时间的1/10以下，控制器作纯比例控制。二、二、PIDPID参数参数的整定方法的整定方法 （2）在阶跃

25、信号输入下，逐渐加大比例系数 ，使控制系统出现临界振荡状态，一般系统的阶跃响应持续45次振荡，就认为系统已经到临界振荡状态。记下此时比例系数 为临界比例系数 ，得到临界比例度为 。 从第一个振荡顶点到第二个振荡顶点时间为振荡周期 ，如图3-14所示。TpKpKrKrrK1rTrTrTt图3-14 扩充临界比例度法（3）选择控制度。（4）根据控制度，按表3-1选取 、 、 和 的值。（5）按照求得的整定参数，投入系统运行，观察控制效 果，再适当调整参数，直到获得满意的控制效果为止。TpKiTdT表3-1 扩充临界比例度法整定参数表控制度控制规律1.05PI0.03 0.53 0.88PID0.0

26、14 0.63 0.49 0.141.20PI0.05 0.49 0.91PID0.043 0.47 0.47 0.161.50PI0.14 0.42 0.99PID0.09 0.34 0.43 0.202.00PI0.22 0.36 1.05PID0.16 0.27 0.40 0.22TpKiTdTrTrTrTrTrTrTrTrTrrrrrrrrrTrTrTrTrTrTrTrTrTrTrTrT2、扩充响应曲线法、扩充响应曲线法 在模拟控制系统中可用响应曲线法代替临界比例度法，同 样在计算机控制系统中也可以用扩充响应曲线法代替扩充临界比例度法。一般情况下，扩充响应曲线法适用于多容自平衡系统，其

27、整定步骤如下： （1）断开数字控制器，让系统处于手动操作状态，并使之稳定，然后突然改变给定值，给被控对象一个阶跃输入信号。 （2）记录被控参数在阶跃输入下的整个变化过程曲线，如图3-15所示。(3) 在曲线最大斜率处作切线，求出等效的滞后时间 和等效的时间常数 ，以及它们的比值 。图3-15 扩充响应曲线法（4）按照表3-2，由 、 、 值的求出数字控制器的 、 、 和 。pTpTTpKiTdTcTpT控制度控制规律1.05PI0.10.84 3.4PID0.050.15 2.0 0.451.20PI0.20.78 3.6PID0.161.0 1.9 0.551.50PI0.50.68 3.9PID0.340.85 1.62 0.652.00PI0.80.57 4.2PID0.60.6 1.5 0.82表3-2 扩充响应曲线法整定参数表TiTdTpKpTpTpTpTpTpTpTpTpT 三、归一参数整定法三、归一参数整定法 数字PID控制器的归一参数整定法是在扩充临界比例度法的基础上，进行简化而来的。根据齐格勒尼柯尔斯经验公式，令 ， ， ， 为纯比例控制作用下的临界振荡周期。将其代入标准数字PID控制算法的增量式（3-9）中，可得 (3-