华中科技大学流体力学课件Fm7

1、第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动7.17.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析7.27.2 速度环量与旋涡强度速度环量与旋涡强度7.37.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念7.47.4 不可压缩不可压缩势流的基本求解方法势流的基本求解方法7.57.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动7.67.6 平面势流的叠加平面势流的叠加7.77.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加第三部分第三部分 二元流动二元流动一、一、 速度分解速度分解7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析第七章第七章 理想不

2、可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动()()Gxyzyzuuxzyzy ()()Gyzxzxvvyxzxz ()()Gzxyxywwzyxyx 7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析流体微团的旋转和变形流体微团的旋转和变形线变形率线变形率角变形率角变形率旋转角速度旋转角速度 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x x从从xoy平面看速度分解平面看速度分解xxvvvxxuuuBB ，yyvvvyyuuuDD ，yyvxxvvvyyuxxuuuCC ，7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 y C D

3、 vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x x二、线变形率二、线变形率 ：单位长度在单位时间内的伸长量：单位长度在单位时间内的伸长量线变形率线变形率7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析流体的特征？流体的特征？7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析三、角变形率三、角变形率 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x xtyyutxxvtyutgtxvtg1. 角变形角变形 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x x角变形角变形率率)(2121

4、lim0yuxvttzOO2OAO2. 角变形率角变形率7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析tyutxv四、旋转角速度四、旋转角速度旋转角速度旋转角速度)(2121lim0yuxvttz线变形线变形率率zwyvxuzyx角变形角变形率率)(21)(21)(21yuxvxwzuzvywzyx旋转角速度旋转角速度只有旋转角只有旋转角速度是矢量速度是矢量7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析旋转角速度是矢量旋转角速度是矢量222|zyxV21 wv uzyx 2121 kjiV)(21yuxvz平面流动只有一个旋转角速度分量平面流动只有一个旋转角速度分量 7.1 流体微团的运动

5、分析流体微团的运动分析在流场中每一点在流场中每一点 无旋流动无旋流动有旋流动有旋流动五、有旋流动和无旋流动五、有旋流动和无旋流动流体微团是否绕通过其自身的轴旋转？流体微团是否绕通过其自身的轴旋转？0zyxyuxv xwzu ,zvyw,7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析例例. . 流体各个微团以流体各个微团以 u=ky，v=w=0 的速度平行于的速度平行于x 轴作平行直轴作平行直线流动线流动, , 试确定流动是有旋还是无旋。试确定流动是有旋还是无旋。流线和迹线是直线，但流场内处处有旋。流线和迹线是直线，但流场内处处有旋。解解. . 计算旋转角速度计算旋转角速度例例 题题速度环量：速度

6、矢量沿路径的积分速度环量：速度矢量沿路径的积分（反映运动的趋势）（反映运动的趋势） 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度例例. . 绕翼型表面的环量绕翼型表面的环量第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动右手定则右手定则 规定环量符号规定环量符号A一、速度环量定义一、速度环量定义二元流动二元流动: : 面积面积A A, , 边界边界L L二、旋涡强度定义二、旋涡强度定义三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理AnLdA2dsV斯托克斯定理的证明斯托克斯定理的证明?7.2 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度数学分析中的斯托克数学分析中的斯托克斯斯公

7、式在平面问题中的应用公式在平面问题中的应用ALdxdyyPxQQdyPdx)(令令 P=u，Q=v 即有即有AzLdxdyvdyudx2)(斯托克斯定理斯托克斯定理)(21yuxvz7.2 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度例例 不压缩流体平面流动的速度分布为不压缩流体平面流动的速度分布为u= 6 y，v=8x。求绕圆。求绕圆 x2+y2=1 的环量。的环量。积分路径在圆积分路径在圆r =1=1上，用极坐标上，用极坐标LLxdyydxvdyudx)86()(解解. . 由环量定义求由环量定义求sin ,cosyx2020)(sincos8)(cossin6dd cos8sin6202

8、202dd例例 题题14| )2sin412(2|620207)(21yuxvz14222rdAzAn代入斯托克斯代入斯托克斯公式得公式得解法二解法二: : 利用斯托克斯定理利用斯托克斯定理由由 u= 6y，v=8x 得得AnLdA2dsV例例 题题7.2 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度解解 由由 r= r0 处速度连续，速度分布写为处速度连续，速度分布写为涡核涡核 如刚体旋转如刚体旋转自由涡自由涡例例. . 已知龙卷风流场速度分布已知龙卷风流场速度分布 v = r， r r0，v = r02/r例例 题题自由涡是无旋流动自由涡是无旋流动7.2 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量

9、和旋涡强度自由涡区域绕圆心任意封闭曲线的环量相等自由涡区域绕圆心任意封闭曲线的环量相等圆心对于自由涡为奇点，速度无限大圆心对于自由涡为奇点，速度无限大例例 题题7.2 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度例例 设平面面积设平面面积A A 外是无旋流动区。试证明，包围外是无旋流动区。试证明，包围A A 的任一条封的任一条封闭线上的速度环量等于区域闭线上的速度环量等于区域A A 边界的速度环量。边界的速度环量。证证例例 题题无旋域边界的速度环量等于零无旋域边界的速度环量等于零其中任意封闭线为其中任意封闭线为bcb。积分。积分可分解为可分解为于是有于是有第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和

10、旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动旋涡产生的原因？旋涡诱发的速度场？理想流体中的旋涡运动7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念定义涡量旋涡 大尺度流体团的强烈旋转运动 从涡量场出发研究旋涡运动 有时比直接解运动方程更方便； 有旋运动不一定表现为旋涡运动；问题:一、一、涡线和涡管涡线和涡管二、开尔文定理二、开尔文定理三、三、旋涡运动的生成旋涡运动的生成2自然界和工程中的旋涡流动自然界和工程中的旋涡流动例：绕流圆柱体例：绕流圆柱体 Re 1005 Re40一对稳定的对称旋涡一对稳定的对称旋涡Re40交替脱落的旋涡交替脱落的旋涡周期性旋涡脱落（周期性旋涡脱落（卡门涡街）卡门涡街）

11、7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念自然界和工程中的旋涡流动自然界和工程中的旋涡流动7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念大攻角翼型绕流的分离涡大攻角翼型绕流的分离涡7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念绕有限翼展的三元流动绕有限翼展的三元流动7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念有攻角的三角翼前缘卷起一对旋涡使升力大大提高有攻角的三角翼前缘卷起一对旋涡使升力大大提高用旋涡控制流动的原理用旋涡控制流动的原理产生旋涡流动的原因之一是壁面粘性产生旋涡流动的原因之一是壁面粘性计算升力计算升力

12、用用 形涡丝代替有限翼型上的分布涡量形涡丝代替有限翼型上的分布涡量7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 ds 涡线上各流体质点的涡量方向与该曲线相切涡线上各流体质点的涡量方向与该曲线相切一、涡线和涡管一、涡线和涡管7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx涡管涡管 （截面上）的涡通量（截面上）的涡通量旋涡强度旋涡强度1. 涡线的微分方程涡线的微分方程AndA2I斯托克斯定理斯托克斯定理7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念2. 涡管强度守恒定理涡管强度守恒定理 (Helmholtz定理定理) 同

13、一涡管上各截面的旋涡强度相等。同一涡管上各截面的旋涡强度相等。12 d dA AAVAVn12 ddAAAA nn0 v 7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念封闭流体线的环量的时间变化率：封闭流体线的环量的时间变化率：AnLdA2dsV斯托克斯定理斯托克斯定理Lwdzvdyudxdtddtd)(封闭流体线的环量随时间变化的条件？封闭流体线的环量随时间变化的条件？分析理想流体中产生分析理想流体中产生涡量涡量的原因的原因涡管截面上的旋涡强度如何随时间变化涡管截面上的旋涡强度如何随时间变化?7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念二、开尔文定理二、开尔文定理对流体线的积分

14、求导可移入积分号内进行对流体线的积分求导可移入积分号内进行Lwdzvdyudxdtddtd)(Ldtdzwddtdyvddtdxuddzdtdwdydtdvdxdtdu)()()()(流体线的速度和线元长度随时间变化，方程右边为流体线的速度和线元长度随时间变化，方程右边为222111()()() ()222xyzLdpppfdxfdyfdzdtxyzuvwd引入理想流体运动方程引入理想流体运动方程7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念密度只是压强的函数密度只是压强的函数 不可压缩不可压缩 P=p/ 等熵等熵如果质量力有势（力势函数如果质量力有势（力势函数 ）如果是正压流体（存在压

15、力函数如果是正压流体（存在压力函数 P )dpdP10)(LPddtdzfyfxfzyx , , 若若 、P是单值函数，是单值函数，则有则有重力场重力场 = gz) 1( pP7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 理想、正压流体在有势质量力理想、正压流体在有势质量力的作用下运动时的作用下运动时，沿沿封闭流体线封闭流体线的速度环量在运动过程中不随时间变化。的速度环量在运动过程中不随时间变化。开尔文定理开尔文定理例例: : 初始无旋的不可压、理想流动在重力场永远无旋。初始无旋的不可压、理想流动在重力场永远无旋。旋涡旋涡生成生成原因原因1 1、粘性，特别是壁面的无滑移条件；、粘性，特

16、别是壁面的无滑移条件；2 2、非正压性流体，例如大气密度分层；、非正压性流体，例如大气密度分层；3 3、无势质量力场，例如地球自转引起的哥氏力；、无势质量力场，例如地球自转引起的哥氏力；4 4、流场中的强间断面（如激波）。、流场中的强间断面（如激波）。7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念三、三、旋涡运动的生成旋涡运动的生成二元流动二元流动( (以平面流动为例以平面流动为例) ),( ),(tyxvvtyxuu),(tyxpp y z x7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法平面流动的例子平面流动的例子 点涡点涡 直线涡丝直线涡丝龙卷风流场龙卷风流场7.4

17、不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动7.4 7.4 不可压缩不可压缩势流的基本求解方法势流的基本求解方法一、速度势函数及势流一、速度势函数及势流是以下命题的充分必要条件：存在某一函数是以下命题的充分必要条件：存在某一函数 ，使，使无旋流动又称有势流动无旋流动又称有势流动无旋流动无旋流动yuxv xwzu ,zvyw, uvwxyz，不可压缩流体的有势流动不可压缩流体的有势流动（ 势函数）势函数）0uvwxyz2222220 xyz+(1) (1) 不可压缩不可压缩无旋无旋流动势函数满足拉普拉斯方程流动

18、势函数满足拉普拉斯方程速度势函数的主要性质速度势函数的主要性质(2) (2) 任意曲线的速度环量等于其两端速度势函数值之差任意曲线的速度环量等于其两端速度势函数值之差02222yxBABAABvdyudx)(dsVABBAd7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法二、不可压缩流体的平面势流二、不可压缩流体的平面势流02222yx例例. 不可压缩流体平面流动的速度势为不可压缩流体平面流动的速度势为 = x2-y2，求点，求点（2，1.5）处速度）处速度V 的大小。的大小。解解 由速度势的定义求出由速度势的定义求出例例 题题三、三、不可压缩流体平面运动的不可压缩流体平面运动的流

19、函数流函数不可压缩流体的连续性条件不可压缩流体的连续性条件流线方程流线方程（流函数（流函数 ）等流函数线就是流线等流函数线就是流线7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法是以下命题的充分必要条件：存在某一函数是以下命题的充分必要条件：存在某一函数 ，使，使1. 不可压缩流体的平面有势流动不可压缩流体的平面有势流动2. 流函数的主要性质流函数的主要性质(2) (2) 平面流动中，两条流线间的体积流量等于两条流线平面流动中，两条流线间的体积流量等于两条流线 的流函数值之差。的流函数值之差。(1) (1) 不可压缩有势流动的流函数满足拉普拉斯方程不可压缩有势流动的流函数满足拉普拉

20、斯方程7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法流函数流函数平面平面势函数势函数不可压流动不可压流动无旋无旋流动流动7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法3. 解流函数方程的边界条件解流函数方程的边界条件固体边界固体边界CC等势线族等势线族=C 和流线族和流线族=C 互相正交互相正交壁面线是一条流线壁面线是一条流线7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法等势线和流线组成的正交流网等势线和流线组成的正交流网4. 4. 和和 的关系的关系等势线族等势线族 (x, y)=C 和流线族和流线族(x, y)=C 互相正交互相正交7.4 不可压缩

21、势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法例例 不可压缩平面流动不可压缩平面流动 u =x 4y，v = y 4x （1 1）证明流动满足连续性方程并求流函数；）证明流动满足连续性方程并求流函数； （2 2）若流动无旋，试求速度势的表达式。）若流动无旋，试求速度势的表达式。由速度积分求流函数：由速度积分求流函数：解解（1 1）用连续性方程）用连续性方程积分常数包含参数积分常数包含参数 x，用已知，用已知v 确定确定 f(x)令令 (0, 0)=0验证不可压缩流动验证不可压缩流动例例 题题（2）代入）代入由速度势定义由速度势定义令令 (0, 0)=0 得得分别对分别对x、y 积分积分验证为无旋

22、流动（有势）验证为无旋流动（有势）&例例 题题7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法u =x4yv = y 4x检验流动是否有势检验流动是否有势关于习题关于习题 7-47-47.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法2. 2. 复位势的性质复位势的性质四、不可压缩流体平面势流的复变函数四、不可压缩流体平面势流的复变函数如果满足柯西如果满足柯西- -黎曼条件黎曼条件1. 1. 复位势与流函数和速度势函数间的对应关系复位势与流函数和速度势函数间的对应关系则有复速度则有复速度（要求偏导数存在且连（要求偏导数存在且连续，这是复变函数可导续，这是复变函数可

23、导的充分必要条件）的充分必要条件）设复变函数设复变函数7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法321WWWW（1 1）复速度沿曲线积分）复速度沿曲线积分2. 复势函数的性质复势函数的性质（2 2）复势函数加任一复常数而不改变所代表的流动）复势函数加任一复常数而不改变所代表的流动（3 3）不可压缩平面无旋流满足叠加原理）不可压缩平面无旋流满足叠加原理iQidddWdzdzdWllll321321321VVVV如果如果则有则有7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法五、不可压缩流体轴对称势流五、不可压缩流体轴对称势流 轴对称流动轴对称流动 流场中存在对称轴流

24、场中存在对称轴 以轴为心的圆周切向速度为零以轴为心的圆周切向速度为零 各物理参数沿此圆周不变。各物理参数沿此圆周不变。平面流动和轴对称流动都是平面流动和轴对称流动都是二元流动二元流动用柱坐标系或者球坐标系（参考附录）用柱坐标系或者球坐标系（参考附录）7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法2222210rrrz222221D0rrrz7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法轴对称势流轴对称势流斯托克斯流函数斯托克斯流函数 轴对称流动的轴对称流动的柱坐标系表达柱坐标系表达( , , )rrvv r z t( , , )zzvv r z trvrzvz1rv

25、rz 1zvrr7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法3. 任意曲线的速度环量等于其两端速度势函数值之差任意曲线的速度环量等于其两端速度势函数值之差BABAABvdyudx)(dsVABBAd六、速度势函数和流函数的主要性质六、速度势函数和流函数的主要性质2. 平面流动中，两条流线间的体积流量等于两条流线平面流动中，两条流线间的体积流量等于两条流线 的流函数值之差。的流函数值之差。1. 等势线和流线正交，等流函数线与流线重合；等势线和流线正交，等流函数线与流线重合；2 ()ABBAQ lvdxudyQ轴对称流动中，两条流线（旋转面）间的体积流量轴对称流动中，两条流线（旋转

26、面）间的体积流量等于两条流线的流函数值之差的等于两条流线的流函数值之差的2 倍。倍。BAld7-5 7-5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动一、均匀直线流一、均匀直线流不计重力作用不计重力作用全流场为无旋流动全流场为无旋流动1. 均匀直线流动的复势均匀直线流动的复势二、平面点源流和点汇流二、平面点源流和点汇流三、点涡流三、点涡流四、平面偶极流四、平面偶极流第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动7.5 7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动一、均匀直线流一、均匀直线流不计重力作用不计重力作用全流场为无旋流动全流场为无旋流动二、平面点源流和点汇流二

27、、平面点源流和点汇流三、点涡流三、点涡流四、平面偶极流四、平面偶极流第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动1. 均匀直线流动的复势均匀直线流动的复势均匀直线流动的压强分布均匀直线流动的压强分布CVp22 pp 若为无旋流动，若为无旋流动， C 在全流场为常数在全流场为常数理想不可压缩定常流动的伯努利方程（不计重力）理想不可压缩定常流动的伯努利方程（不计重力）沿流线沿流线C 为常数为常数2. 均匀直线流动的压强分布均匀直线流动的压强分布22VpC7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动二、平面点源流和点汇流二、平面点源流和点汇流Q 称为点源强度称为点源

28、强度原点是奇点原点是奇点点源点源( (位于原点位于原点) )全流场除源点外为无旋全流场除源点外为无旋1. 1. 点源流的速度场点源流的速度场7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动rvrvr1速度速度()0rvrvr0)(rvrrvrvrvr1连续方程连续方程无旋无旋平面流动的极坐标表达平面流动的极坐标表达2. 点源流的点源流的流函数和速度势流函数和速度势速度势速度势:流函数流函数:流线是射线簇流线是射线簇等势线是圆簇等势线是圆簇位于位于z0 的点源的点源/汇汇zQirQiWln2)(ln2)ln(20zzQW复势复势: :7.5 基本的平面有势

29、流动基本的平面有势流动2200ln()()2Qxxyy 100tg2yyQxx 3. 点汇点汇(源源)流的压强分布流的压强分布2228rQpppQrp2200pvpr22伯努利方程伯努利方程绝对压强为零的点绝对压强为零的点0rppr7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动三、点涡流三、点涡流 0 ,2rvrv 称为点涡强度 逆时针为正原点为奇点全流场除涡点外为无旋全流场除涡点外为无旋 点涡点涡（位于原点）（位于原点）xy7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动 rr21复势复势点涡位于点涡位于z0ziWln2)ln(20zziW)(ln2)ln(2iririiW rr2由速度求速度势由

30、速度求速度势2 r ln27.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动例例 设设 x 轴是一块无限大平板，平板两侧都是静止大气，压轴是一块无限大平板，平板两侧都是静止大气，压强为强为p pa。如果在点。如果在点( (a，b)处放置一个强度为处放置一个强度为Q Q 的点源，试求的点源，试求平板由于上下两侧压差产生的合力。平板由于上下两侧压差产生的合力。（基本解的叠加）（基本解的叠加）)(ln(2ibazQW平板上有法向速度，平板上有法向速度，上式不是本问题的解！上式不是本问题的解！xyo例例 题题为消除壁面法向速度，叠加一为消除壁面法向速度，叠加一个位于个位于( (a, b)的的 等强度点源等强

31、度点源解解. . 试以位于点试以位于点( (a，b)，强度为强度为Q 的点源复势为解的点源复势为解Q(a,b)（镜像法）（镜像法）任何满足拉普拉斯方程的函数都可能是不可压缩无旋流的解，任何满足拉普拉斯方程的函数都可能是不可压缩无旋流的解，只有同时满足边界条件的解才是适合特定问题的解。只有同时满足边界条件的解才是适合特定问题的解。例例 设设 x 轴是一块无限大平板，平板两侧都是静止大气，压轴是一块无限大平板，平板两侧都是静止大气，压强为强为p pa。如果在点。如果在点( (a，b)处放置一个强度为处放置一个强度为Q Q 的点源，试求的点源，试求平板由于上下两侧压差产生的合力。平板由于上下两侧压差

32、产生的合力。 （基本解的叠加）（基本解的叠加）平板上有法向速度，平板上有法向速度，上式不是本问题的解！上式不是本问题的解！xyo例例 题题为消除壁面法向速度，叠加一为消除壁面法向速度，叠加一个位于个位于( (a, b)的的 等强度点源等强度点源解解. . 试以位于点试以位于点( (a，b)，强度为强度为Q 的点源复势为解的点源复势为解Q(a,b)（镜像法）（镜像法）22ln()()2Qxayb任何满足拉普拉斯方程的函数都可能是不可压缩无旋流的解，任何满足拉普拉斯方程的函数都可能是不可压缩无旋流的解，只有同时满足边界条件的解才是适合特定问题的解。只有同时满足边界条件的解才是适合特定问题的解。在在

33、（a, b）和和（a, b）等强度点源叠加等强度点源叠加速度分布速度分布)(ln(2)(ln(2ibazQibazQW)(1)(12ibazibazQivudzdW例例 题题平板上平板上( ( y=0) =0) 法向速度为零，法向速度为零，满足边界条件！满足边界条件！22)()(22bazazQ此复势解适用于上半平面此复势解适用于上半平面（a, b）+Q（a,b）+Q7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动由上、下侧压差引起的平板的合力为由上、下侧压差引起的平板的合力为0)(2dxppFabQF42222)()(2221baxaxQppa平板上侧的压强分布为平板上侧的压强分布为( p =

34、pa )例例 题题7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动222 22 0 02dd()4aQxaQFppxxxabb解解. 设设 r=r0 ，p=p0；r，p=p 例例. 龙卷风龙卷风涡核涡核半径半径 r0=20m，涡核边缘涡核边缘最大风速最大风速 v0 =50m/s。速度分布速度分布求涡核中心的最小压强求涡核中心的最小压强 pc 。空气密度。空气密度 =1.225Kg/m3 。mr smrrmr smrv20),/(20),/(20pvp22涡核外是涡核外是 点涡流点涡流（无旋流，适用（无旋流，适用伯努利方程伯努利方程）涡核内如涡核内如 刚体旋转刚体旋转（有旋，适用（有旋，适用相对静止

35、的压强分布）相对静止的压强分布）例例 题题例例 题题涡核边缘的压强涡核边缘的压强涡核内由涡核内由r=r0，p=p0、v =v0，得涡核压，得涡核压强强分布分布涡核中心压强最小涡核中心压强最小kPa vppc063. 3207.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动pvp22例例 题题7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动四、平面偶极流四、平面偶极流点源流和点汇流叠加的极限情况为偶极子流点源流和点汇流叠加的极限情况为偶极子流7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动ayaxyaxaQMaQQa2)ln()ln(42lim2222202)(222yxMx得得偶极子势函数偶极子势函数令令2

36、aQ =M 保持不变取极限保持不变取极限 y +Q -Q x -a a 点汇点汇点源点源M 偶极子强度偶极子强度方向方向 点汇到点源点汇到点源点源流和点汇流叠加的极限情况点源流和点汇流叠加的极限情况偶极子流偶极子流)ln(4)ln(42222yaxQyaxQ7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动（位于原点，与（位于原点，与x轴方向相反的偶极子）轴方向相反的偶极子）cos2 rMsin2 rM势函数和势函数和流函数流函数iezMzW2)(与与x正向成正向成 角的偶极子复势角的偶极子复势势函数和流函数的等值线势函数和流函数的等值线7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动7.6 平面势流的

37、叠加平面势流的叠加一、直线流与点源流的叠加一、直线流与点源流的叠加四、均匀流绕圆柱体的无环量流动四、均匀流绕圆柱体的无环量流动二、螺旋流二、螺旋流五、均匀流绕圆柱体五、均匀流绕圆柱体的的有环量流动有环量流动第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动（3）W4(z)=iln(z2i)、W5(z)= iln(z+2i) 点涡强度点涡强度 =2 顺时针，顺时针，在 y= 2m 复势可分解为复势可分解为 W(z)=2z+(1+i)(ln(z+2i)+ ln(z-2i)（1）W1 (z)= 2z 平行流平行流 （2）W2(z)=ln(z2i)、 W3(z)= ln(z

38、+2i) 点源强度点源强度 Q=2 在 y= 2m 解解. .例例 题题例例. 试分析复势试分析复势W(z)=2z+(1+i)ln(z2+4)由那些基本势流叠加而成由那些基本势流叠加而成?指出其指出其位置、方向和强度等特征。位置、方向和强度等特征。 例例 题题例例. 试分析势函数试分析势函数 由那些基本势流叠加而成由那些基本势流叠加而成?分解势函数分解势函数1(x, y)=2x 平行流平行流 u=2m/s, v=0 点源强度点源强度 Q=12 m2/s, 在 x=2m解解. .2222( , )23ln(2)3ln(2)x yxxyxyj=+-+-+222223( , )3ln(2), ( ,

39、 )3ln(2)x yxyx yxyjj=-+= -+2222( , )23ln(2)3ln(2)x yxxyxyj=+-+-+222223( , )3ln(2), ( , )3ln(2)x yxyx yxyjj=-+= -+2222(2)( , )23ln(2)xyx yxxyj-+=+例例 试分析复势试分析复势W(z)=z+lnz由那些基本势流叠加而成由那些基本势流叠加而成? ?复势复势 可分解为可分解为 （1）W1(z)= z ， 平行于平行于x轴的直线流，轴的直线流，V=1 （2）W2(z)=lnz，位于原点的点源流，点源强度，位于原点的点源流，点源强度 Q=2 解解W(z)=z+ln

40、z复势复势W(z)由由平行直线流和点源流平行直线流和点源流叠加而成叠加而成例例 题题一、直线流与点源流的叠加一、直线流与点源流的叠加驻点位置和过驻点的流线方程？驻点位置和过驻点的流线方程？求解：求解： 速度速度 驻点驻点 过驻点的流线过驻点的流线7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加2sinQrV流线的叠加流线的叠加 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加例例. 直线流与点源流的叠加直线流与点源流的叠加驻点驻点sin ),cos2(1VrvrVQrrvrcos2 ; , 0 VQr2sin2QrVQ过驻点的流线方程过驻点的流线方程VQr2 , )(2VQy速度速度7.6 平面势流的叠加平面势流的叠

41、加二、螺旋流二、螺旋流rQrQln222ln27.6 平面势流的叠加平面势流的叠加点涡与点汇的叠加点涡与点汇的叠加三、均匀流绕圆柱体的无环量流动三、均匀流绕圆柱体的无环量流动偶极子流和均匀来流的叠加偶极子流和均匀来流的叠加 绕绕圆柱流线圆柱流线速度分布速度分布压强分布压强分布绕圆柱环量绕圆柱环量升力、阻力升力、阻力7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加（2）位于原点，与）位于原点，与x轴反向的偶极子流的轴反向的偶极子流的 、（1）沿）沿x轴方向的均匀流的轴方向的均匀流的 、cos2 rMsincosrVrVsin2 rM1. 1. 势函数和势函数和流函数流函数叠加叠加zMzW2)(复势复势7.6

42、 平面势流的叠加平面势流的叠加偶极子流和均匀流叠加偶极子流和均匀流叠加sin)2(cos)2(rMrVrMrV通过壁面的流线通过壁面的流线: 直线直线 y=0 和圆和圆r = r0 VMr220)1 (220rryV流函数可写为流函数可写为 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加偶极子流和均匀流叠加偶极子流和均匀流叠加0v2. 绕流圆柱的绕流圆柱的速度分布速度分布cos)1 (220rrVrvr取取r r0 的流函数为绕流圆柱解的流函数为绕流圆柱解 ! !sin)1 (220rrVrv圆柱表面的速度分布圆柱表面的速度分布0 sin20drVsin2Vv3. 沿圆柱表面的速度环量沿圆柱表面的速度环

43、量0rvVv Vv27.6 平面势流的叠加平面势流的叠加sin)1 (220rrrV偶极子流和均匀流叠加偶极子流和均匀流叠加)(1 (2122VvVpp4. 沿圆柱表面的压强分布沿圆柱表面的压强分布22sin4121VppCp引入压强系数定义得引入压强系数定义得)sin41 (2122VppFDFL200 cosdrpFD5. 阻力阻力(平行于平行于V )、升力、升力(垂直于垂直于V )200 sindrpFL0DF0LF均匀流绕圆柱体无环量流动均匀流绕圆柱体无环量流动7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加zizrzVWln2)(20四、均匀流绕圆柱体有环量流动四、均匀流绕圆柱体有环量流动rrr

44、rVln2sin)(202cos)(20rrrVV 1. 1. 绕圆柱流的势函数和流函数绕圆柱流的势函数和流函数7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加rvrvr102sin20rVvvr2. 2. 绕流圆柱的绕流圆柱的速度分布速度分布圆柱表面的速度分布圆柱表面的速度分布rrrVvrrVvr2sin)1 (cos)1 (2202207.6 平面势流的叠加平面势流的叠加绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动3. 3. 驻点位置驻点位置00 ,4sinrrVr驻（2） =4 r0V ，一个驻点，一个驻点（3） 4 r0V 202)4(4 ,23rVVr（1）04 r0V ，两驻点，两驻点 =3/2， r=

45、r0rrrVvrrVvr2sin)1 (cos)1 (2202207.6 平面势流的叠加平面势流的叠加绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动库塔库塔- -儒柯夫斯基定律儒柯夫斯基定律2201(2sin)22ppVVr0DF200 sindrpFL4. 沿圆柱表面的压强分布沿圆柱表面的压强分布5. 阻力、升力阻力、升力|LFV7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动判断升力方向判断升力方向7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动将来流方向逆环量方向转将来流方向逆环量方向转9090度得到升力的方向度得到升力的方向7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加

46、绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动例例.半径半径 r0=1m的圆柱体在水中顺时针方向转动的圆柱体在水中顺时针方向转动 =15 rad/s，同，同时向右移动，速度时向右移动，速度V =15m/s。求圆柱体上驻点的位置、流体作。求圆柱体上驻点的位置、流体作用在圆柱体上力的大小和方向。用在圆柱体上力的大小和方向。 (相对速度相对速度V = 15m/s)(4sin0Vr驻015 ,30 , 5 . 0sin驻驻VFLNFL61041.194151000作用力的方向垂直向下作用力的方向垂直向下解解. 均匀流绕圆柱体有环量流动均匀流绕圆柱体有环量流动例例 题题sinrV例例. . 已知平面势流的流函数，问绕

47、流图案特征已知平面势流的流函数，问绕流图案特征。rrrln50sin40sin10rln2sin2 rM这是均匀流绕圆柱体的有环量流动，其中这是均匀流绕圆柱体的有环量流动，其中直线流直线流点涡流点涡流偶极子流偶极子流VMr220解解. 均匀流绕圆柱体有环量流动均匀流绕圆柱体有环量流动例例 题题V=10(m/s )正x向直线流=100 (m2/s) 逆时针环量r0=2 (m) 负x向偶极子马格努斯效应或气动升力马格努斯效应或气动升力风筒船风筒船会绕行的旋转球会绕行的旋转球7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩

48、流体的势流和旋涡运动7.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加 轴对称流动轴对称流动 流场中存在对称轴流场中存在对称轴 以轴为心的圆周切向速度为零以轴为心的圆周切向速度为零 各物理参数沿此圆周不变。各物理参数沿此圆周不变。平面流动和轴对称流动都是平面流动和轴对称流动都是二元流动二元流动用柱坐标系或者球坐标系（参考附录）用柱坐标系或者球坐标系（参考附录）2222210rrrz势函数势函数222221D0rrrz斯托克斯流函数斯托克斯流函数 用柱坐标系用柱坐标系( , , )rrvv r z t( , , )zzvv r z trvrzvz1rvrz 1zvrr7

49、.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加连续性方程连续性方程()()0rzrvrvrz0rzvvzr无旋条件无旋条件一、基本的轴对称势流一、基本的轴对称势流(1) 均匀直线流均匀直线流积分得速度势函数和流函数积分得速度势函数和流函数用柱坐标用柱坐标 ，z是轴对称轴，各物理参数不随是轴对称轴，各物理参数不随 变化变化( , , )rz0rvvzvVV z212V r7.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加用柱坐标系用柱坐标系rvrzvz1rvrz 1zvrr7.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及

50、其叠加(2) 空间点源空间点源(汇汇)流流224 ()RQv rz3/2222222sin4 ()4rRQrrQvvr rzrzrz3/2222222cos4 ()4zRQzzQvvz rzrzrz22014()Qrzz 2214Qrz 空间点源在空间点源在z0：空间点源的速度势函数空间点源的速度势函数柱坐标系柱坐标系 M(r,z)用柱坐标系用柱坐标系rvrzvz1rvrz 1zvrr7.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加02204()zzQrzz 比较平面点源和空间点源的速度势函数和流函数比较平面点源和空间点源的速度势函数和流函数224Qzrz 222

51、3/222 3/2, 4 ()4 ()zrrzQr Qrvrvr rzz rz 空间点源空间点源(汇汇)流的流函数流的流函数 空间点源在空间点源在z0 ：平面点源（汇）平面点源（汇）rQln22Q 2214Qrz 7.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加(3) 空间偶极子空间偶极子(沿沿z轴正方向，位于轴正方向，位于z=z0)223/2220sin44()MrMRrzz03/22220cos44(zzMMRrzz 柱坐标柱坐标与球坐标与球坐标的转换关系的转换关系00cos arctagzzzzRr位于原点正位于原点正x向向cos2Mr sin2Mr平面平面

52、和和7.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加二、均匀来流绕圆球体的流动二、均匀来流绕圆球体的流动z( , )r z( , )R柱坐标系柱坐标系与球坐标系与球坐标系之间的转换关系之间的转换关系sinrRcoszR均匀直线流与空间偶极子叠加均匀直线流与空间偶极子叠加2coscos4MV RR2221sinsin24MV RR302MRRV302cos2RVRR32201sin2RVRR沿沿z轴正方向均匀流和位于原点、沿轴正方向均匀流和位于原点、沿z轴负方向偶极子叠加轴负方向偶极子叠加速度势函数和流函数写为速度势函数和流函数写为7.7 不可压缩流体基本轴对称势流及

53、其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加球表面球表面R=R0为等流函数面为等流函数面 =02221sinsin24MV RR比较圆柱表面压强分布比较圆柱表面压强分布22sin4121VppCp2221sinsin24MV RR3031cosRRvVR3031sin2RvVR 0Rv 3sin2vV 2291sin24Vpp291sin4pC 速度分布7.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加31cos2RMvVR R311sin4MvVR R 圆球表面的速度分布、压强分布 的流量及沿此曲线的速度环量。（1）判断流动由哪几种基本流动组成；（2）如果流场中存在着奇

54、点，指出奇点的坐标位置；（3）计算通过封闭曲线22=9xy7-28 7-28 已知流函数2222(1)52(arctagarctagarctag)3ln11(1)yyyyxxxxxyx V xV y一、均匀直线流一、均匀直线流二、平面点源流和点汇流二、平面点源流和点汇流三、点涡流三、点涡流源、汇、点涡位于源、汇、点涡位于z0 ln22r ln 22QQr速度势和流函数速度势和流函数2222(1)52(arctagarctagarctag)3ln11(1)yyyyxxxxxyx4 管流流态实验管流流态实验5 局部水头损失实验局部水头损失实验6 孔口、管嘴实验孔口、管嘴实验1 静水压强量测实验静水

55、压强量测实验2 动量方程验证实验动量方程验证实验3 文丘里、孔板流量计率定实验文丘里、孔板流量计率定实验流体力学流体力学实验（三次）实验（三次）3选选22选选17 圆柱绕流表面压强分布测量实验圆柱绕流表面压强分布测量实验8 翼型表面压强分布翼型表面压强分布9 边界层速度分布测量实验 第第1次次第第2次次第第3次次3选选1流体力学流体力学实验安排实验安排实验内容实验内容任选二1静水压强量测实验静水压强量测实验2动量方程验证实验动量方程验证实验3文丘里、孔板流量计率定实验文丘里、孔板流量计率定实验时间时间地点地点班级周次星期节次水工楼一楼大厅（水电学院楼西头，能源学院楼南面）555热能工程热能工程

56、 级级流体力学流体力学第一次实验第一次实验请与实验室请与实验室安老师安老师联系具体联系具体时间、地点和实验指导书时间、地点和实验指导书 电话：电话：87543938实验内容实验内容任选二1静水压强量测实验静水压强量测实验2动量方程验证实验动量方程验证实验3文丘里、孔板流量计率定实验文丘里、孔板流量计率定实验时间时间地点地点班级周次星期节次水工楼一楼大厅（水电学院楼西头，能源学院楼南面）6666热能工程热能工程 级级流体力学流体力学第一次实验第一次实验请与实验室请与实验室安老师安老师联系具体联系具体时间、地点和实验指导书时间、地点和实验指导书 电话：电话：87543938hKQ理21hhh)()

57、(6543hhhhh对于文丘里流量计对于文丘里流量计 对于孔板流量计对于孔板流量计 文丘里（孔板）流量计实验仪文丘里（孔板）流量计实验仪 1212()()pphzzgg测压管液面高差测压管液面高差第一次实验第一次实验动量方程实验仪动量方程实验仪 =135=135时时 力矩平衡方程力矩平衡方程 )135cos1 (QVF1FLGL第一次实验第一次实验实验内容实验内容选二选二1管流流态实验管流流态实验2局部水头损失实验局部水头损失实验3孔口、管嘴实验孔口、管嘴实验 时间时间地点地点班级周次星期节次水工楼一楼大厅777环境工程环境工程 级级流体力学流体力学第二次实验第二次实验请与实验室请与实验室安老

58、师安老师联系具体联系具体时间、地点和实验指导书时间、地点和实验指导书 电话：电话：87543938实验内容实验内容选二选二1管流流态实验管流流态实验2局部水头损失实验局部水头损失实验3孔口、管嘴实验孔口、管嘴实验 时间时间地点地点班级周次星期节次水工楼一楼大厅7777热能工程热能工程 级级流体力学流体力学第二次实验第二次实验请与实验室请与实验室安老师安老师联系具体联系具体时间、地点和实验指导书时间、地点和实验指导书 电话：电话：87543938量测实验四：局部水头损失实验量测实验四：局部水头损失实验（可选）（可选） 实验目的实验目的 1、掌握测定管道局部水头损失系数的方法。掌握测定管道局部水头损失系数的方法。 2、将管道局部水头损失系数的实测值与理论将管道局部水头损失系数的实测值与理论 值进行比较。值进行比较。 3、观测管径突然扩大时旋涡区测压管水头线观测管径突然扩大时旋涡区测压管水头线 的变化情况和水流情况，以及其他各种边的变化情况和水流情况，以及其他各种边