行列式的性质与计算

1、1机动 目录 上页 下页 返回 结束 111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa性质性质1 行列互换行列互换, 行列式不变行列式不变. 即即(称为称为D的转置行列式的转置行列式) D记记TD记记 性质性质1表明表明, 在行列式中行与列的地位是对称的在行列式中行与列的地位是对称的, 因之因之凡是有关行的性质凡是有关行的性质, 对列也同样成立对列也同样成立. 一、行列式的性质一、行列式的性质 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 11122212000nnnnaaaaaa 在上一节中在上一节中, 我们从行列式的定义得到我们从行列式的

2、定义得到, 下三角行列下三角行列式等于对角线元素的乘积式等于对角线元素的乘积. 由性质由性质1, 对于上三角行列式对于上三角行列式也有同样的结论也有同样的结论.11121222000Tnnnnaaaaaa1122nna aa1niiia11121222000nnnnaaaaaa3机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质2. 行列式的两行行列式的两行(列列)互换互换, 行列式反号行列式反号. 1112111121121212121212nniiinjjjnjjjniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1111111111212222122211klnlkn

3、klnlknnnknlnnnnlnknnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 即即4机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,571571 266853.825825 3615675673612668530 cbacba再如再如,cbacba cbacba 5机动 目录 上页 下页 返回 结束 Cor1. 如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)相同相同, 则行列式为零则行列式为零. 性质性质3 111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakakaaaaaaaaa111111112122212211jnjnjnjnnnjnnnnj

4、nnakaaaaaakaaaaakakaaaaa 一个数乘以行列式某一行一个数乘以行列式某一行(列列), 等于用这个等于用这个数乘以这个行列式数乘以这个行列式. 即即6机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)有公因子有公因子k, 则可将这则可将这个公因子提到行列式外个公因子提到行列式外. Cor1. Cor2. 如果行列式的有两行如果行列式的有两行(列列)成比例成比例, 则行列式为零则行列式为零.Cor3. 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)全为零全为零,则行列式为零则行列式为零.例如例如123331182122 1282 2 3113 ,11

5、4 1263642841 126332184120963321 7机动 目录 上页 下页 返回 结束 应用应用44434241343332312423222114131211kakakakakakakakakakakakakakakaka44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaak4(1)44434241343332313433323114131211aaaaaaaakakakakaaaaa44434241343332313433323114131211aaaaaaaaaaaaaaaak=0(2)8机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果行

6、列式某一行如果行列式某一行(列列)是两组数的和是两组数的和, 则此行则此行列式等于两个行列式的和列式等于两个行列式的和, 这两个行列式的这一行这两个行列式的这一行(列列)分别是第一组数和第二组数分别是第一组数和第二组数, 而其余各行而其余各行(列列)与原来行与原来行列式的相应各行列式的相应各行(列列)相同相同. 性质性质4. 11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabababaaabbbaaaaaaaaa即即11111111111112122221222122111jjnjnjnjjnjnjnn

7、njnjnnnnjnnnnjnnaabaaaaabaaabaaaaabaaabaaaaaba9机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如600300301395200199204100103600300130039520012002041003100 600300300395200200204100100 60030013952001204100310机动 目录 上页 下页 返回 结束 行列式的某一行行列式的某一行(列列)乘以一个数加到另一行乘以一个数加到另一行(列列), 行列式不变行列式不变. 性质性质5. 即即111211112112121211221212nniiiniiinjjjni

8、jijinjnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaaa111111111112122221222211klnkklnklnkklnnnknlnnnnknknlnnaaaaaacaaaaaaaaacaaaaaaaaacaaaQ. E. F.11机动 目录 上页 下页 返回 结束 基本思想基本思想: 化高阶行列式为较低阶的行列式化高阶行列式为较低阶的行列式. 定义定义. 在在n阶行列式阶行列式D中中,划去元素划去元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列列, 剩下的剩下的(n 1)2个元素依原顺序组成一个个元素依原顺序组成一个n 1阶行列式阶行列式称为元素称为

9、元素aij 的的余子式余子式, 记为记为Mij . 在余子式在余子式Mij 的前面贯的前面贯以符号以符号( 1)i+j, 称称Aij =( 1)i+j Mij 为元素为元素aij的的代数余子式代数余子式. nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 12机动 目录 上页 下页 返回 结束 333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa例如三阶行列式例如三阶行列式的代数余子式为：的代数余子式为：2223113233

10、aaMaa1213213233aaMaa1213312223aaMaa12132 1213233( 1)aaAaa 22231 1113233( 1)aaAaa 12133 1312223( 1)aaAaa 余子式余子式代数余子式代数余子式13机动 目录 上页 下页 返回 结束 333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa2123123133aaMaa1113223133aaMaa1113322123aaMaa11132 2223133( 1)aaAaa 21231 21231

11、33( 1)aaAaa 11133 2322123( 1)aaAaa 余子式余子式代数余子式代数余子式14机动 目录 上页 下页 返回 结束 333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa2122133132aaMaa1112233132aaMaa1112332122aaMaa11122 3233132( 1)aaAaa 21221 3133132( 1)aaAaa 11123 3332122( 1)aaAaa 余子式余子式代数余子式代数余子式15机动 目录 上页 下页 返回 结

12、束 有了代数余子式的概念有了代数余子式的概念, 我们回忆三阶行列式的展开我们回忆三阶行列式的展开式式.333231232221131211aaaaaaaaaD 112233122331132132a a aa a aa a a132231122133112332a a aa a aa a a112233233212213323311321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa2223212321221 11 21 3111213323331333132( 1)( 1)( 1)a

13、aaaaaaaaaaaaaa111112121313a Aa Aa A16机动 目录 上页 下页 返回 结束 n阶行列式阶行列式D等于它的任一行等于它的任一行(列列)元素与其元素与其对应的代数余子式的乘积之和对应的代数余子式的乘积之和. 定理定理1. 即即 1122,iiiiininDa Aa Aa A(1,2, )in或或1122,jjjjnjnjDa Aa Aa A(1,2, )jn031521413 52411 03523 )0341()1( 1312153 20 第第1列展开列展开例子例子17机动 目录 上页 下页 返回 结束 行列式按一行行列式按一行(列列)展开的这个性质特别适用于计

14、算展开的这个性质特别适用于计算某一行某一行(列列)有诸多有诸多“0”的行列式的计算的行列式的计算, 因为此性质可因为此性质可将其化成低一阶的行列式的计算将其化成低一阶的行列式的计算. 11212221200nnnnnaaaaaaa111112100na AAA 例子例子1111a A2221 1112( 1)nnnnaaaaa18机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算计算n阶行列式阶行列式nD 解解: 将行列式按第一列展开将行列式按第一列展开1 11000000000000( 1)nnabaabDaa11000000000( 1)0nnbabbabb 1( 1)nnnab Q. E

15、. F.19机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于行列由于行列式中式中, 上上(下下)三角形行列式容易计算三角形行列式容易计算, 因此因此计算行列式的一个基本方法是利用行列式的性质计算行列式的一个基本方法是利用行列式的性质, 把行把行列式化成上列式化成上(下下)三角形行列式进行计算三角形行列式进行计算. 三、行列式的计算三、行列式的计算 2101044614753124025973313211 D例例2. 求下行列式求下行列式D的值的值20机动 目录 上页 下页 返回 结束 2101044614753124025973313211 D3 解解:210104461475312402201001

16、3211312 rr21机动 目录 上页 下页 返回 结束 2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 22机动 目录 上页 下页 返回 结束 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 23机动 目录 上页 下页 返回 结束 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 24机动 目录 上页 下页 返回 结束 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 Q. E. F.25机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明证明证明证明:Q. E. D.26机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求下行列式求下行列式D的值的值.解解:D D 27机动 目录 上页 下