2.2最大值、最小值问题

1、 yxO aby=f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)函数的极值函数的极值复习复习 求导求导 令令y=0 y=0 列表列表 求极值求极值求定义域求定义域极值是一个极值是一个局部局部概念，极值只是某个点的函数值与它概念，极值只是某个点的函数值与它附近点附近点的函数值比较是最大或最小的函数值比较是最大或最小, ,并并不意味不意味着它着它在函数的整个的定义域内最大或最小。在函数的整个的定义域内最大或最小。新课引入新课引入思考：怎样求函数在某个区间内的最大或思考：怎样求函数在某个区间内的最大或最小值？最值与极值有怎样的关系？最小值？最值与极值有怎样的关系？Oxya

2、bx3x2x1Oxyabx1x2x3Oxyabx2x1探探 究究观察下列图形观察下列图形, ,找出函数的最找出函数的最值的规律值的规律图图1图图3图图2 连续函数在连续函数在a,b上必有最值；上必有最值；并且在极值点或端点处取到并且在极值点或端点处取到.练习练习1下列说法正确的是下列说法正确的是( )(A)函数的极大值就是函数的最大值函数的极大值就是函数的最大值 (B)函数的极小值就是函数的最小值函数的极小值就是函数的最小值(C)函数的最值一定是极值函数的最值一定是极值 (D)若函数的最值在区间内部取得若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值则一定是极值. 例例1 求函数求函数 在区间在区间

3、上的上的最值。最值。52)(23=xxxf2 , 220+004+-解：解：求导得求导得xxxf43)(2=34, 021=xx令令 ，得，得0)(= xf5- -11 极大值极大值 极小值极小值xyo-234通过比较可知：通过比较可知：函数函数 在区间在区间 上的上的52)(23=xxxf2 , 2最大值是最大值是 f (2)= 5 ；最小值是；最小值是 f (-2)= -11； 列表可知，列表可知， 是函数的极大值点，是函数的极大值点， 是是极小值点，计算极值和端点的函数值得极小值点，计算极值和端点的函数值得0=x34=x5)2(,11)2(,27103)34(, 5)0(=ffff求函数

4、求函数y=f(x)在相应区间上的最值在相应区间上的最值(1)f(x)=x3-3x+3 , x-2, 2 4 , 1, 71862)()2(23=xxxxxf (2) 将将f(x)的各极值与的各极值与f(a),f(b)(端点值端点值)比较比较;(1) 求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值；内极值； 求连续函数求连续函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上的最值上的最值的步骤：的步骤：(3)其中最大的为最大值其中最大的为最大值,最小的为最小值最小的为最小值.复习回顾复习回顾1 1. .已知函数已知函数f(xf(x) )2x2x3 312x.12x.求函数求函数f(xf(x) )的的 单调递增区间单

5、调递增区间, ,并求函数并求函数f(xf(x) )在在 1 1, ,33上上 的最大值和最小值的最大值和最小值解析：f(x)2x312x，f(x)6x2126(x 2)(x 2)令 f(x)0，得 x 2或 x 2.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：X f(x)00f(x)极大值极大值极小值极小值 ,2 2, 2 2 2, 2 432111432xxx12132 2. .函数函数y= y= , ,在在1,11,1上上 的最小值为的最小值为( )( ) A.0 A.0 B. B.2 2 C. C.1 1 D. D.3.3.函数函数 y = xy = x + 3 x + 3 x

6、 9x9x在在 4 , 4 4 , 4 上上的最大值为的最大值为 , ,最小值为最小值为 . .7676-5-54.4.函数函数f(xf(x)=ax)=ax4 4-4ax-4ax2 2+b(a+b(a0,1x2)0,1x2)的最大值的最大值 为为3 3, ,最小值为最小值为-5-5, ,则则a=_,b=_.a=_,b=_.解析：解析：f(xf(x)=4ax)=4ax3 3-8ax=4ax(x-8ax=4ax(x2 2-2)=0,-2)=0, 又又f(1)=a-4a+b=b-3a,f(1)=a-4a+b=b-3a, f(2)=16a-16a+b=b,f(2)=16a-16a+b=b, 所以所以

7、所以所以a=2.a=2.2 23 3b4a5b3,= =，123x0,x2,x2,= f2b4a,=例例2 2：一边长为：一边长为48cm48cm的正方形铁皮，四角切去相等的正方形铁皮，四角切去相等的小正方形，然后折起，做成一个无盖的长方体的小正方形，然后折起，做成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积容器，所得容器的容积V V（单位：（单位：cmcm3 3）是关于截去）是关于截去的小正方形的边长的小正方形的边长x x（单位（单位:cm:cm）的函数）的函数. . (1)(1)随着随着x x的变化，容积的变化，容积V V是如何变化的？是如何变化的？(2)x(2)x为多少时，容器的容积最大？为多少

8、时，容器的容积最大？ 最大容积是多少？最大容积是多少？xx解：解：求导得求导得24, 0 xxxxfV2)248()(=，2)248()248(4)(xxxxf=)8)(24(12)48)(248(=xxxx -6令令 ，得，得0)(= xf24, 821=xx+ 0极大值极大值- vo248192x8 即当截去的小正方形的边长为即当截去的小正方形的边长为8cm8cm时，得到的容时，得到的容器容积最大，最大容积为器容积最大，最大容积为8 192 cm8 192 cm3 3. . 例例3 对于企业来说，生产成本、销售收入和利润对于企业来说，生产成本、销售收入和利润是重要的问题。对一家药品生产企业的研究表明，是重要的问题。对一家药品生产企业的研究表明，生产成本生产成本 y(万元万元)和生产收入和生产收入 z(万元万元)都是产量都是产量 x(吨吨)的函数，分别为的函数，分别为10632423=xxxyxz18= （1）写出企业的生产利润）写出企业的生产利润 w 与产量与产量 x 的函数关系；的函数关系；（2）当产量是多少时，可以获得最大利润？最大利）当产量是多少时，可以获得最大利润？最大利润时多少？润时多少？ 解：解：（1）利润）利润 = 收入收入 - 成本，所以成本，所以 w = z y ，)106324(18)(23=xxxxxww)0(10452423=