直线和圆基础习题和经典习题加答案

1、【知识网络】综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力.【典型例题】例1 (1)直线x+y=1与圆x2+y2 2ay=0(a >0)没有公共点，则a的取值范围是()A. (0, * -1)B.(姆-1,小 +1)C.(一娘-1,小1) D . (0,事 +1(2)圆(x1)2+(y+J3 ) 2=1的切线方程中有一个是()A . x y=0 B . x+y=0 C . x=0 D . y=0(3) “a=b” 是“直线 y x 2与圆(x a)2 (y b)2 2相切”的()A.充分不必要条件B.必

2、要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件(4)已知直线 5x+12y + a=0与圆x2 + y22x=0相切，贝U a的值为.(5)过点(1,啦)的直线l将圆(x 2)2+y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时， 直线l的斜率k=.例2设圆上点A (2, 3)关于直线x+ 2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2啦,求圆的方程.例3已知直角坐标平面上点 Q (2, 0)和圆C: x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ| 的比等于 入(入> 0).求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.例4已知与曲线 C: x2+y2-2x-2y+1=0相

3、切的直线l叫x轴，y轴于A, B两点, |OA|=a,|OB|=b(a >2,b >2).(1)求证：(a2)(b 2)=2 ;(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求4AOB面积的最小值.【课内练习】1 .过坐标原点且与圆 x2+y24x+2y + 5 =0相切的直线的方程为()A. y= - 3x 或 y=3 x1.y=3x 或 y=3 x1 . y= - 3x 或 y= 一 ； x32 .圆(x 2)2+y2=5关于原点(0,0).y=3x 或 y=2x3对称的圆的方程为A . (x+ 2) 2+ y2=5C . ( x 2)2+(y 2)2=53 .对曲线|x| - |y|

4、=1围成的图形,B . x2 +(y2)2=52 . x2 +(y+2) 2=5 卜列叙述不正确的是A.关于x轴对称 B .关于y轴对称 C .关于原点轴对称D .关于y=x轴对称4 .直线li： y=kx + 1与圆x2+y2+kxy4=0的两个交点关于直线 I2： y + x=0对称，那么这两个交点中有一个是()A. (1, 2)B . (1, 2)C . (3, 2) D , (2, 3)5 .若直线y=kx+2与圆(x2)2+(y 3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是 6 .已知直线ax+by+c=0与圆O: x2+y2=1相交于A、B两点，且|AB| = 33 ,则OA OB

5、7 .直线11： y= 2x+4关于点M (2, 3)的对称直线方程是 .8 .求直线l1： x+y4=0关于直线l: 4y+3x1=0对称的直线l 2的方程.9 .已知圆 C: x2+y2+2x-4y + 3=0(1)若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；(2)从圆C外一点P (x1,y 1)向圆引一条切线，切点为 M O为原点，且有|PM|=|PO| ,求 使|PM|最小的P点的坐标.10 .由动点P引圆x2 + y2=10的两条切线 PA PB,直线PA, PB的斜率分别为k1,k2.(1)若k1 + k2+k1k2=1,求动点P的轨迹方程；(2)若点P在直线x+y=

6、m上，且PAL PB,求实数 m的取值范围.7.11. 5直线与圆的综合应用A组1 .设直线过点(0, a),其斜率为1,且与圆x2 + y2=2相切，则a的值为 ()A. 土# B .±2 C.±2p D .±42 .将直线2x y+入=0,沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆 x2+y2+2x 4y=0相切， 则实数入的值为A. 3 或 7B. 2 或 8C. 0 或 10D, 1 或 113 .从原点向圆x2+y212y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()A .兀 B .2兀 C .4兀 D .6兀114 .若二点A (2, 2), B

7、(a,0) , C(0, b) (a, b均不为0)共线，则 的值等于，a b5 .设直线ax y + 3=0与圆(x1) 2+(y 2) 2=4有两个不同的交点 A, B,且弦AB的长为 2小,则a等于.6 .光线经过点 A (1, 4 ),经直线l : x+y+1=0反射，反射线经过点B (1, 1).(1)求入射线所在的方程；(2)求反射点的坐标. 在4ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0, ZA的平分线所在直线方程为y=0,若B点的坐标为(1, 2),求点A和点C的坐标.8.圆1 .已知两定点 A (2, 0), B (1, 0),如果动点P满足|PA|二2|PB|

8、,则点P的轨迹所包围 的图形的面积等于()A.兀 B.4tt C.8tt D.9tt2 .和x轴相切，且与圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是()A . x2=2y+1 B . x2=-2y+ 1 C . x2=2y -1D . x2=2|y| +13 .设直线的方程是 Ax By 0,从1, 2, 3, 4, 5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是A. 20B. 19C. 18D. 164 .设直线2x 3y 10和圆x2 y2 2x 3 0相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线方程是 .5 .已知圆 M (x +cos 0 ) 2+(y sin 0)2=1

9、,直线l: y=kx ,下面四个命题A.对任意实数k和。，直线l和圆MB相切；B.对任意实数k和。，直线l和圆M有公共点；C.对任意实数 0 ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切；D.对任意实数k,必存在实数使得直线l和圆M相切.其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).6 .已知点 A, B的坐标为(一3, 0), (3, 0), C为线段AB上的任意一点，P, Q是分别以 AC, BC为直径的两圆 O, Q的外公切线的切点，求PQ中点的轨迹方程.7 .已知4ABC的顶点A(1, 4),且/B和/C的平分线分别为l bt： y+1=0,l wx+y + 1=0,求BC边所在直线的方程.8

10、 .设a,b,c,都是整数，过圆x2+y2= (3a+1)2外一点P (b3 b,c 3c)向圆引两条切线，试 证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点(纵横坐标均为整数的点)11. 5直线与圆的综合应用【典型例题】例1 (1) A.提示：用点到直线的距离公式.(2) C.提示：依据圆心和半径判断.(3) A.提示：将直线与圆相切转化成关于ab的等量关系.(4) 18或8.提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况.(5) 号.提示：过圆心(2, 0)与点(1,、/2 )的直线m的斜率是一寸2 ,要使劣弧所对圆心角最小，只需直线 l与直线m垂直.例2、设圆的方程为(x a

11、)2+(yb)2=r2,点A (2, 3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆 上,说明圆心在直线 x+ 2y=0上,a + 2b=0,又(2 a) + (3 b) =r ,而圆与直线 x y + 1=0b2= - 7 a2=14 r 22=244相交的弦长为2也,故r2( a 1) 2=2,依据上述方程解得：b= 3a1=6或r，=52，所求圆的方程为(x6)2 +(y+3)2=52,或(x14) 2+(y + 7) 2=224 .M ( x,y),则例 3、设切点为 N ,则 |MN|2=|MO|2 |ON|2=|MO|2 1 ,2 y2 1 (x 2)2(入21) (x2+y2) 4 入

12、x+ (12) =0， 一， 5当入=1时，表小直线x=4当入W1时，方程化为(x1 3 21 J ,它表不圆心在(2 1)22,0),半径为11 3 2I 2 1|的一个圆.例4、(1)设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于 1,化减即得； 1(2)设 AB 中点 M(x,y),则 a=2x,b=2y,代入(a2)(b 2)=2,得(x 1)(y -1)=- (x >1,y >1)；(3)由(a 2)(b 2)=2 得 ab + 2=2(a + b) R4 1 ab ,解得ab >2 + yJ2 (。ab w 2 <2 不 合，舍去)，当且仅当a=b时，ab取最小

13、值6 + 42 , 4AOB面积的最小值是 3+2、住.【课内练习】1. A.提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率.2. D.提示：求圆心关于原点的对称点.3. C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律.4. A.提不：圆心在直线 l 2上.45. 0<k<-.提不：直接用点到直线的距离公式或用法.3c 1 1一，、一一 一6. .提小：求弦所对圆心角.27. 2x+y10=0.提示：所求直线上任意一点( x,y)关于(2, 3)的对称点(4- x,6 - y) 在已知直线上.8. 2x+11y+16=0.提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l的对称点，用两点式写12的方

14、程；或直接设l 2上的任意一点，求其关于 l的对称点，对称点在直线1i上.求对称点时注意，一是垂直，二是平分.9. (1)提示：二切线在 x轴，y轴上的截距的绝对值相等，切线的斜率是土 1.分别依据 斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或法，解得切线的方程为：x + y3=0, x + y+1=0, x y+ 5=0, x y+1=0.(2)将圆的方程化成标准式(x+1)2+(y2)2=2,圆心C(1, 2),半径r=，2 ,切线 PMW CM直，. |PM| 2=|PC| 2-|CM|2,又|PM|=|PO| ,坐标代入化简得 2xi4y1+3=0.35|PM|最小时即|PO|最小，而

15、|PO|最小即P点到直线2xi 4y1 + 3=0的距离，即 .10从而解方程组2Xi2y120 ,得满足条件的点p坐标为(-方，.1052x1 4y1 3 010. (1)由题意设 P(x0,y 0)在圆外，切线 l： yy0=k(x X0),1kx0y0|J10,.k B.提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以( 的圆. 1(X0210)k 22x0 y 0k+ y0210=0由ki+kz+kik2=1得点P的轨迹方程是 x + y±2Q =0 .(2) . P ( X0,y 0)在直线 x+ y=m上，y 0=m- x°,又 PA! PR . ."

16、;©= 1, -y°-_1°1,即:X02 10x。2 + y02=20，将 y0=m x。代入化简得，2x 02 2mx>+ m 20=01 . >0,2710WmC2,10 , 又 x02+y02> 10 恒成立，.m>2,或 m<252 .m 的取值范围是2取，245 U ( 245 , 2>/10 11. 5直线与圆的综合应用A组1. B.提示：用点到直线的距离公式或用法.2. A.提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式.3. B.提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角.14. 2 .提不：由三点共线得两

17、两连线斜率相等，2a+2b=ab,两边同除以ab即可.5. 0.提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解.21一6. (1)入射线所在直线的方程:5x- 4y + 2=0; (2)反射点( .提小：用入33射角等于反射角原理.7点A既在BC边上的高所在的直线上，又在/A的平分线所在直线上，由x 2y+ 1=0 y=0得 A ( 1, 0)k AB=1又/A的平分线所在直线方程为y=0k AC= 一 1.AC边所在的直线方程为y= (x+1)又 kBc= 2,.BC边所在的直线方程为y 2= 2(x1)联列得C的坐标为(5, 6)8.设所求轨迹上的任意一点H (x,y),圆上的切点 Q (x0,y

18、0). QHL l,AH XMQ/.AH/ OQ,AQ QH 又 |OA|=|OQ| , 四边形 AOQH菱形. x 0=x,y 0=y 2.丁点 Q ( x0,y 0)在圆上，x02+y02=41-H 点的轨迹方程是：x2+ (y2) 2=4 (xw0).2. D.提小：设圆心(x,y),则Jx y | y | 13. C.提示：考虑斜率不相等的情况.4. 3x 2y 3 0 .提示：弦的垂直平分线过圆心.5. B,D.提示：圆心到直线的距离 d | kcos一"J J】 k132132132.|Sin(、_)-|=|sin(。+)1 k2,1 k2| <1.6 .作Md AB交PQ于M,则MC是两圆的公切线.|MC|=|MQ|=|MP| , M为PQ的中点.设 M x,y),则点C, O, Q的坐标分别为(x,0),(三岁,0),( 营,0)连OM QM由平面几何知识知/01M390。.|O 1M|2+ 102M|2二|OQ| 2,代入坐标化简得：x2+ 4y2=9( 3V x<3)7 . BT,CK分别是/B和/C的平分线，点 A关于BT,CK的对称点A , A必在BC所在直线上，所以 BC的方程是x+2y-3=0. 1Q1 Q 1 Q8 .线段OP的中点坐标为(2 (bb), 2 (c -c),