小学数学拓展专题数的整除完整版题型训练带答案

1、数的整除板块一：基础题型1.下面有 9个自然数：14, 35, 80, 152, 650, 434, 4375, 9064, 24125.在这 些自然数中请问：（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？那些能被8整除？（2）有哪些数能被5整除？那些数能被25整除？哪些能被125整除？【分析与解】主要考察整除的性质：（1）能被 2 整除的有 14 , 80, 152, 650, 434, 9064；能被4整除的有80 , 152, 9064；能被8整除的有80 , 152, 9064.（2）能被 5 整除的有 35 , 80, 650, 4375, 24125能被25整除的有650, 4375,

2、 24125能被125整除的有4375, 24125.2.有如下 9 个三位数：452, 387, 228, 975, 525, 882, 715, 775, 837,这些数中那些能被3整除？哪些能被9整除？那些能同时被2和3整除？【分析与解】主要考察整除的性质：能被 3整除的数有：387, 228, 975, 525, 882, 837 能被9整除的数有：387, 882, 837能同时被2和3整除的数有：228, 8823. 一个三位数6 4的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“”中合适的取 值：（1）如果要求这个三位数能被3整除，“”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被4整除，“

3、”可能等于多少？（3） 这个三位数有没有可能同时被 3和4整除，如果有可能，“”可能等 于多少？【分析与解】这个数能被3整除，则6+ +4=12或15或18,所以 =2或5或8;若6 4能被四整除，则这个数的末两位能被四整除，所以=0, 2, 4, 6, 8;通过（1）和（2）得，当 =2, 8时，能同时被3和4整除。4. 新学年开学了，同学们要改穿新的校服。小悦收课9位同学的校服费（每人交的一样多）交给老师。老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费2 38元”, 其中有一滴墨水，把方格处的数字污染的看不清了。东东看了看，很快就算出 了方格处的数字。聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？

4、【分析与解】9位同学交的钱数一样多，共2 38元，说明2 38能被9整除, 即2+ +3+8=13+0能被9整除，并且是一位数，所以=5.5. 四位数2 9能同时被3和5整除，求出所有满足条件的四位数。【分析与解】能被5整除，则个位数为0或者5;当个位数为0时，2+0 +9+0=11+0能被3整除，并且为09的数字， 所以 =1, 4, 7;当个位数字为5时，2+0 +9+5=16+0能被3整除，并且为09的数字, 所以 =2, 5, 8;综上得满足题意的四位数为：2190, 2490, 2790, 2295, 2595, 2895。6. 四位偶数6 4能被11整除，求出所有满足条件的四位数【

5、分析与解】6 4是偶数，所以个位是0, 2, 4, 6, 8,并且能被11整除，则 偶数位上的数字之和与奇数位上的数字之和的差是11的倍数，当个位是0时，6+4- 0 =10- 是11的倍数，无解；当个位是 2时，6+4- 0-2=8- 0 =0,所以0 =8;依次验证当0 =4, 6, 8时，得0 =6, 4, 2.所以满足题意的四位数为6842, 6644, 6446, 6248.7. 多位数323232T能被11整除，满足条件的n的最小值是多少？n个 32【分析与解】若393321能被11整除，则1+JJ3 -(爼42 )n 个 32n个 3n 个 2=1+3n-2n=1+ n (3-2

6、 ) =1+ n 是 11 的倍数，若使 n 最小，则 1+ n=11,所以 n=10.8. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。服务人员告诉他，目前只 有形如“ 1234060 8”的号码可以申请。也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余的数字不可得改动。王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码。请问：他申请的号码可以是多少？【分析与解】“ 12340 6 0 8”能被8整除，则这个数的后三位6 08能被8整除， 则0 =0, 4, 8 ,当十位的0 =0 时，2+4+6+8- (1+3+0) =16- 0是 11 的倍数，且 为09的数字，则0 =5;同理当

7、0 =4, 8时，得0 =1, 8,所以他申请的电话 号码可以是 12345608, 12341648, 12348688。9. 一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数字能被4整除。这个数字最大是多少？【分析与解】设这个四位数为 ABCD，要使这四位数字最大，则最高位的数字 应该最大，则A=9;且ABC能被4整除，也就是BC能被4整除，并且与A的数 字不同，最大为84,所以D最大为6,这个四位数字为9846.10. （1） 一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0.它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？（2）一个多位

8、数，它的各位数字之和为 13,如果它能被11整除，那么这 个多位数最小是多少？【分析与解】（1）若为两位数，且含有数字 0,则这个数只能为10，20，3090这样的数字，但是他们都不是11的倍数；若为3位数，且给位数字都不相同，所以 0不 能在最高位，也不能在个位（若在个位，十位与百位的数字必须相同才能被11整除，这样与题意不符），所以0只能在十位，既为A0B这种形式，A+B=11, A 最小为2,所以B=9,所以这个多位数最小为 209.（2 ）这个数不可能为两位数，若为三位数，设这个数为ABC ,则A+B-C=11,且A+B+C=13所以B=1,A+B=12,A最小为3,所以这个数为319

9、.板块二：中档题型1.判断下面11个数的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.（1）这些数中，有哪些数能被4整除？有哪些数能被8整除？ 哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ 哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？（4）哪些数能被11整除？【分析与解】 本题主要考察数整除的性质。数整除的性质一定要牢记。（1） 能被4整除的数（末两位能被4整除则这个数就能被4整除）有：3568, 5880, 6512, 864;能被8整除的数（末三位能被8整除则这个数就能被8整除）有：3568, 5880, 6512, 864

10、;（2）能被25整除的数（末两位能被25整除则这个数就能被25整除）有:8875, 93625;能被125整除的数（末三位能被125整除则这个数就能被125整除）有: 8875, 93625;（3） 能被3整除的数（各位数字之和能被 3整除则这个数就能被3整除）有: 23487, 6765， 5880， 198954， 864；能被9整除的数（各位数字之和能被 9整除则这个数就能被9整除）有: 198954， 864；（4） 能被11整除的数（奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数） 有：6765，6512，407.2. 173是一个四位数。数学老师说：“我在其中的方格内先后填入 3个

11、数字， 得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除。”问：数学老师在方格中先后填入 的3个数字之和是多少？【分析与解】芮 能被9整除，则1+7+3+ =11+ 是9的倍数则 =7,则这个四位数是1737；173能被11整除，则7+ -1-3=3+ 是11的倍数则 =8,则这个四位数是1738；芮 能被8整除，则Tr是8的倍数，则 =6,则这个四位数是1736；所以内填入的三个数分别是 7, 8, 6,和为21.3. 五位数3能同时被11和25整除。这个五位数是多少？【分析与解】3 能被25整除，则后两位能被25整除，则为75,这个五位数为,同时这个数能被11整除，则 +7-3-5-0= -1

12、=0 ,=1,所以这个五位数是31075.4. 牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸被香烟烧了了两个洞，上面只剩下“”，其中方框表示被烧出的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。请问：这 45名工人的总工 资有可能是多少元呢？【分析与解】通过题意得，能被45整除，45=5 9,所以能同时被5和9整除；这个数能被5整除，则这个数的末位能被 5整除，所以末位可以是O或者是5；当末位是O时，6+7+8+O =21+ 能被9整除，则 =6;当末位是5时，6+7+8+ +5=26+能被9整除，则 =1,这45名工人的总工资有可能是 67680或67185.5

13、.六位数能同时被9和11整除。这个六位数是多少?【分析与解】设这个六位数为，这个数能被9整除，则A+2+8+B=10+A+B=1或27,既A+B=8或17 （ 1），同时这个数能被11整除，贝U A+8-2- B=A+6-B=0或11 （2）；（1）与（2）联立得A=1, B=7,所以这个六位数为120087.6. 请从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它 是99的倍数。这个五位数最大是多少？【分析与解】因为99=9 11 ,所以这个五位数能同时被9和11整除；首先要看能被9整除数 的特点：选出五位数使得他们的和是9的倍数，7+5+3+2+仁18 （

14、1）或者6+5+4+2+仁18 （2）;当为（1）时，同时这五个数满足能被11整除，所以技术 为上的数字和与偶数位的数字和之差为 0 ,符合条件的最大的五位数为 57321; 同理满足条件（2）的最大的五位数为 65241 ,所满足条件的最大的五位数为 65241.7、 小悦写了一个两位数 59,冬冬写了一个两位数 89,他们让阿奇写了一个一 位数放在59和89之间拼成一个五位数5989 ,使得这个五位数能被7整除。请 问：阿奇写的数是多少？【分析与解】考察能被7整除的数的特点。因为五位数59 89能被7整除，所以89 59= 是7的倍数，所以 =6,这个五位数为59689.8、已知51位数5

15、599能被13整除，中间方格内的数字是多少？25个525个9【分析与解】先看前25个5,我们可以先把它看做25位数，则这个数字除以13的余数是多 少呢？我们可以把六个 5看做一组，则555555=555 1001,所以555555 一定能 被13整除，256=4-1 ,剩下一个5所以此时原书转化为99 9 ,同理最后的24个9也25个9能被13整除，所以要是这个51位数能被13整除，则能被13整除，所以 =5,既中间方格内的数字是5.9、用数字6, 7, 8各两个数，要组成能同时被 6, 7, 8整除的六位数。请写出 一个满足要求的六位数。【分析与解】能被8整除的数字为末三位数字能被 8整除，

16、则由这三个数字首先能想到的数 字是678,并且能被7整除，则末三位与前几位数字的差能被 7整除，所以为 678678,且这个数字能被6整除。10、东东和阿奇玩一个数字游戏。冬冬先将一个三位数的百位数与个位数填好， 然后阿奇来填这个三位数的十位。如果最后这个三位数能被11整除，那么阿奇获胜，否则东东获胜。东东想了一会，想到一个必胜的办法。请问：冬冬想到 的办法是什么？【分析与解】 考察被11整除数的特点。设这个三位数为 ABC , A+B- C=O或者是11,若差为 0,则 A+B=C既A+B=C=什9,若差为11时，A+B=C+11贝U A+B=H20,通过观察发现这两 种情况没有出现的是 A

17、+B=10的情况，所以东东想要获胜，只要让A+B的和是10 就可以了。11、对于一个自然数N ,如果具有以下的性质就称为“破坏数”：把它添加到任 何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除。请问：一共有多少个不大于10的破坏数？【分析与解】我们找的数是从110中的破坏数，只有10个数字，所以我们可以采取逐一尝 试的方法。当N=0时，则形成的新数个位数字是0,是个奇数，而N+1=1 ,任意数都能被1 整除，所以0不是一个破坏数；当N=1时，则形成的新数个位数字是1 ,是个奇数，而N+1=2,奇数一定不能 被2整除，所以1是一个破坏数；同理得到10以内的所有的破坏数为1, 3, 4, 5,

18、7, 9,共6个。12、一个五位数，它的末三位为999.如果这个五位数能被23整除，那么这个五 位数最小是多少？【分析与解】首先推导一下能被23整除的数的特点：因为：23 435= 10005, 29 345=10005,由此得到一个末四位隔开的方法由于 N=GFEDCBA GFE 1000 DCBA GFE 1005 5 GFE DCBA 所以N=DCBA 5 GFE （mod23因此，判定一个数可否被 23整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的5倍的差（大减小）是否被23整除。设这个数最小为BA999，A999 -5 B是23的倍数，验证得当B=2, A=O时 是23的倍数

19、，所以这个五位数最小是 20999.板块三、拔高题型1、在所有个位数字互不同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？【分析与解】五个数字互不相同的五位数最小是 10234,但是还要考虑这个数能被 45整除， 因为45=5 9,所以这个数能同时被5和9整除，所以个位应为5,这个数字可 以为10235,又因为能被9整除，则数字和最小为18,而10235为11,则还应 该是某些数字变大，但还要让这个数尽可能的小，则只能改变十位和百位，十 位和百位的数字和应为12,最小的组合为39。所以这个五位数最小为10395.2、将自然数1, 2, 3, 次写下去形成一个多位数“ 123456789101112”

20、。 当写到某个数N时，形成的多位数恰好第一次能被 90整除。请问：N是多少？【分析与解】这个数能被 90整除，既 90=9 10这个数的个位一定是0 ,当这个数是12345678910时，这个数不能被 9 整除；当这个数是 1234567891011121314151617181920寸，各位数字和为102,不是9的倍数；当 这个数为123456282930,各位数字和为165,仍不是9的倍数；同理，当这 个数为123456787980时，各位数字和为648是9的倍数，所以N是80.3、小悦的爸爸买回来两箱杯子，两个箱子上个贴有一张价签，分别写着“总价117. 元”,“总价127. O元”（,

21、A,O, 四个数字已辨认不清，但是 他们互不相同）。爸爸告诉小悦，其中一箱装了 99只A型杯子，另一箱子装了 75只B型杯子，每只杯子的价格都是整数分。但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得那个箱子装的是A型杯子，哪个箱子装的是B型杯子了。爸爸知道小悦的数学水平很厉害，于是他想 考考小悦。小悦看了看，说：“这课难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以 派上用场了。”同学们，你能像小悦一样把价签的数分辨出来吗？【分析与解】由题意知，1+1+7+ + =9+ + 是9的倍数，所以 +是9的倍数，既 +可能为 0+9=1+8=2+7=3+6=4+5 又 1+7+A- （1+） =7+4

22、- =0综合这两个条件 得厶=1, =8;127. O是75的倍数，75=25 3,所以=00或者25或者50或者75,又 因为127. O是3的倍数，所以1+2+7+O +=10+O +是3的倍数，也就是 1+O+是3的倍数，所以O =50,这两个数分别是117.81 , 127.50.4、冬冬在一张纸上依次写下 2, 3, 4, 5, 6, 7这6个数字，形成一个六位数， 阿奇把这张纸条撕成三节。这三节纸上的数相加起来得到的和（如图 2-1 ,三条 纸条上的和为23+456+7=486能被55整除。请问：阿奇可能是在什么位置撕段 的这张纸条？25图2-1【分析与解】这3个数的和是55的倍数，55=5 11,所以这3个数的和同时是5和11的倍 数，若为5的倍数，则这个数的末尾为0或者是5,所以这3个数可能为2,3456, 7 或者 23, 45, 67。2+3456+7=3465,并且3465是11的倍数；23+45+67=135不是11的倍数，所以 阿奇可能是在2, 3456, 7撕段的这张纸条。5、将一个自然数N接在任一自然数的右