数学物理方法-131三类数理方程推导

1、数学物理方程 1、基本方程的推导及基本概念(1周) 2、分离变量法(2周) 3、线性偏微分方程的分类与化简(1周) 4、行波法(1周) 5、格林函数法(1周) 6、积分变换法(1周)数理方程是指在数理方程是指在物理学、力学、工程技术物理学、力学、工程技术等问题中等问题中经过一些经过一些简化后简化后所得到的、反映客观世界物理量之所得到的、反映客观世界物理量之间关系的一些间关系的一些偏微分方程偏微分方程。数量方程数量方程之概述之概述 常微分方程（组）常微分方程（组）描述的是孤立质点(系)的运动或演变规律。 连续体的变化规律如何描述？ 含有某未知多元函数偏导数多元函数偏导数的方程称为偏偏微分方程微分

2、方程。 表示物理量在空间或时间中空间或时间中变化规律的偏微分方程称为数学物理方程数学物理方程。 数量方程数量方程之基本任务之基本任务 数物方程数物方程的基本的基本任务任务 以物理学、力学及工程技术中的具体问题为研究对象，基本任务有：（1）建立描绘某类物理现象的数学模型，并提供这些问题的求解方法；（2）通过理论分析，研究客观问题变化发展的一般规律。 数量方程数量方程之特点之特点 数学物理方程的显著数学物理方程的显著特点特点（1）广泛运用了数学诸多领域的成果。研究的问题也是复杂的、多样的要应用不同的数学工具来解决性质不同的问题。（2）数学物理方程源于工程实际问题自然现象所蕴含的规律，对求解思路有着

3、重要的启迪许多求解方法，都可在自然现象中找到来源。 问题描述和分析问题描述和分析 如果空间某物体G内各点处的温度不同，则热量就会从温度较高的点向温度较低的点流动，这种现象就叫做热传导。 热量传递如何用数学语言表示：由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和空间的变化，因此，热传导问题求解本质上是求温度温度的分布的分布。 若用u(x, y, z, t)表示物体G内一点(x, y, z)在t时刻的温度, 记为u(M, t), 点M(x, y, z) 热传导问题的建模既是热传导问题的建模既是建立温度函数建立温度函数u(x, y, z, t)所所满足满足的的偏微分方程！偏微分方程！热传导（扩散）方程的推

4、导热传导（扩散）方程的推导热传导方程的推导热传导方程的推导建模采用的等量关系建模采用的等量关系热量守恒热量守恒：任意时段内t1,t2，温度变化所需的热量Q2 +流出区域的热量Q1 区域自身产生的热量Q3。建模采用的方法建模采用的方法微（单）元体方法，考虑任意一个区域，其表面是S。流出热量流出热量：根据Fourier定律表示温度变化所需的热量温度变化所需的热量：与物体的比热有关自身产生的热量自身产生的热量： 本身是热源Q2 +Q1 Q3热传导方程：热传导方程：温度变化与热量的关系温度变化与热量的关系温度变化需要的热量温度变化需要的热量Q2热量（吸收或释放）温度差密度比热从t到t+dt时间内，点(

5、x, y, z)处的温度自u(x, y, z, t)变为u(x, y, z, t+dt)，在t, t+dt微元时间段，温差如何表示?t, t+dt时间内，区域温度变化所需热量为在在t1, t2时间内，温度变化时间内，温度变化所需要的热量为所需要的热量为TCQdttutzyxudttzyxu),(),(dvdttuCdvtzyxudttzyxuC),(),( 212ttdvdttuCQ热传导方程：热传导方程：流进（出）流进（出）的热量的热量Q1比例系数k0称为导热率，与材料有关，一般视为常数符号表示热流方向和温度增大的方向相反。傅立叶定律傅立叶定律温度梯度的定义：热流强度矢量：q（单位时间流经单

6、位面积的热量）计算t到t+dt时间内，在点(x, y, z)流经微元面积dS的热量其中，n为微元面积dS的外法线向量。t1至t2时间内流出S的热量为两处dS的区别，前者是微元面积，后者向量zyxuuuu,ukqdSdtnukdQ1211ttSdukdtQS轴的夹角与是微元面积外法向向量zyxdSndSd,cos,cos,cosS热传导方程：热传导方程：自身产生热量自身产生热量Q3假设在单位时间内单位体积中产生的热量F(x, y, z, t),则时间段t1, t2内、在中所产生的热量为建模采用的等量关系：Q1+Q2=Q3曲面积分和体积分的关系曲面积分和体积分的关系（奥高公式），将曲面积分Q1化为

7、体积积分 dtdvtzyxFQtt 21),(3dtudvkdukdtQttttS 212121SCka/2其中，参数为),(22tzyxfuatuCtzyxFtzyxf/ ),(),(最终导出热传导方程（扩散方程）211ttSdukdtQS 212ttdvdttuCQLaplace方程、位势方程方程、位势方程0222222zuyuxu考虑无热源的热传导问题，经过了相当长时间后，温度趋于稳定，则热传导方程变为称为Laplace方程，或位势方程，记为方程，或位势方程，记为0tu002uu或波动方程（弦的横振动方程）波动方程（弦的横振动方程） 弦的微小横振动方程 问题设有一根理想化的细弦，其横截面

8、的直径与弦的长度相比非常小。研究弦作微小横向振动的规律。弦的振动方程弦的振动方程 弦振动如何描述 弦是连续的而非离散的质点组， 弦是横向振动的，在时刻t，弦的形状是曲线u(x, t) 它的运动应符合牛顿运动定律，简化假设如下：设弦在未受扰动时平衡位置是x轴；两端分别固定在x=0及x=l处，而其上各点均以该点的横坐标表示；轻，忽略重力轻，忽略重力；质量均匀分布；柔软，张力方向与弦相切；无内力抵抗弯曲变形 受力受力分析分析 水平方向（x轴） 竖直竖直方向（方向（u轴，牛顿第二定律）轴，牛顿第二定律）0coscos2211TTFxdstxFTTFAAu21),(sinsin1122弦的振动方程弦的振

9、动方程线密度外力，方向和u一致张力的方向和弧的切线一致dstuAA2122 应用模型假设得到的结论：21TTTxtxu),(tansin11xtdxxu),(tansin22弦的振动方程弦的振动方程经化简：|sinsin121122xxxxxuxuTTTdxdxxuds2)(1dstudstxFTTFAAAAu2121221122),(sinsin0coscos2211TTFx平平衡衡方方程程2122xxdxxuT 最后的结论： 进一步假设： 弦的横弦的横振动振动方程方程 ),(2222txFtuxuTTa2),(22222txfxuatu弦的振动方程弦的振动方程TtxFtxf/ ),(),( 一维：一维： 二维二维： 三维三维： 自由振动 强迫振动22222xuatu),(22222txfxuatu2222222yuxuatu),(2222222tyxfyuxuatu222222222zuyuxuatu),(222222222tzyxfzuyuxuatu波动方程波动方程uatu2222波动方程：0222222zuyuxu位势方程：三类典型的数理方程三类典型的数理方程),(22tzyxfu