立体几何中的向量方法用1ppt课件

1、数学专题二二、立体几何问题的类型及解法二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度；、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；、直线的方向向量；2、平面的法向量。、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量一、引入两个重要空间向量一一.引入两个重要的空间向量引入两个重要的空间向量 1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称

2、为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是2121 21(,)A B x x y y z z zxyAB2.平面的法向量 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量. n 因为方向向量与法向量可以确定直线和平因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系平行、垂直、夹角等位置关系.你能用

3、直线的你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？它们二面角的大小吗？二二.立体几何问题的类型及解法立体几何问题的类型及解法 1.判定直线、平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. 若ab,即a=b,则ab. 若ab,即ab = 0,则ababab (2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面的法向量为n,

4、且L . 若an,即a =n,那么 L 若an,即an = 0,则a .nanaLL (3)平面与平面的位置关系 平面的法向量为n1 ,平面的法向量为n2 若n1n2,即n1=n2,则 若n1n2,即n1 n2= 0,则n2n1n1n2 3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na = 0且nb = 0,则n . abn(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤: 第一步第一步(设设):设出平面法向量的坐标为设出平面法向量的坐标为n=(

5、x,y,z). 第二步第二步(列列):根据根据na = 0且且nb = 0可列出方程组可列出方程组 第三步第三步(解解):把把z看作常数看作常数,用用z表示表示x、y. 第四步第四步(取取):取取z为任意一个正数为任意一个正数(当然取得越特当然取得越特 殊越殊越好好),便得到平面法向量便得到平面法向量n的坐标的坐标. 11122200 xx yy zzxx y y z z 例例1在棱长为在棱长为2的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中中,O是面是面AC的中心的中心,求面求面OA1D1的法向量的法向量. A AABCDOA1B1C1D1zxy解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平

6、面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).取z =120 xzy解得:2020 x yzx yz 得:1OA1OD 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2） 例例2已知平行六面体已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底的底面面ABCD是菱是菱形形,C1CB=C1CD=BCD=,求证求证: C C1BDA1B1C1D1CBAD 证明：设 a, b, c, 依题意有| a |=| b |， 于是 a b = c (a b)= ca cb = |c|a|cos|c|b|

7、cos=0 C C1BDCDCB1CCBDCBCD 1CCBD 例例3棱长都等于棱长都等于2的正三棱柱的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是分别是AC,CC1的中点的中点,求证求证: (1)A1E 平面平面DBC1; (2)AB1 平面平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy 解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.那么 A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2). 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),那么 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (1) =-

8、 n,从而A1E 平面DBC1 (2) ,而 n =-2+0+2=0 AB1 平面DBC1330302yzx02yzx) 1, 0 , 2(1EA)2 , 3, 1 (1AB1AB利用向量解决 空间角问题异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D,CD AB 与 的关系？思索：思索：,DC AB 与 的关系？结论：结论：coscos,CD AB |题型题型1：线线角：线线角小结小结 (2)直线与与平面所成的角 若n是平面的法向量, a是直线L的方向向量,设L与所成的角, n与a所成的角 那么 = - 或= - 于是,n|cos|sinnananana22naa （3二面角 设n1 、n2分别是

9、二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1 、n2夹角相等选取法向量竖坐标z同号时相等或互补选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n2n1n2题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：0, 1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围1.异面直线所成角： coscos,CD AB |2.直线与平面所成角： sincos, n AB |3.二面角：cos12|cos,|n n cos12|cos

10、,|n n 关键：观察二面角的范围ABCD1DABOn1n2n 例例1如图在正方体如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,M是是AB的中点的中点,求对角线求对角线DB1与与CM所成角的余弦所成角的余弦值值. BC A MxzyB1C1D1A1CD 解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2, 那么 M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0),24021515140 444512 cos =|cos|CM1DB设DB1与CM所成角为, 与 所成角为,) 0 , 2, 1(CM) 2 , 2, 2(1DB于是：练习1：

11、090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F所以 与 所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如下图，设 那么： CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD 113041053421BD1AF3010 例例2正

12、三棱柱正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为的底面边长为a,高为高为 ，求，求AC1与侧面与侧面ABB1A1所成的角。所成的角。a2zxyC1A1B1ACBO 解:建立如图示的直角坐标系,那么 A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0, ) 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z) 得 由 ，解得 ， 取y= ,得n=(3, ,0)， 设 与n夹角为 而 故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30.2aa23a22a2a)2, 0 , 0(),0 ,23,2(1aAAaaAB0200232azayxa03zyx33)2, 0 ,(1aaAC21332320

13、039|003|cos|sin22aaaaa.30练习2： 在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD 1(0,8, 4),AD ADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,AD AD 2 55ADANM与平面所成角的正弦值是2 55 例例3 在四棱锥在四棱锥S-ABCD中中DAB=ABC=90，侧棱侧棱SA底面底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求，求

14、二面角二面角A-SD-C的大小的大小.zxyABCDS解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，那么 B1，0，0），C1，1，0），D0，2，0），S0，0，1）. 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2). 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为 .)0 , 1 , 1(),1, 1 , 1 (CDSC得取解得2,22,00zzyzxyxzyx,66610014111,coscos21nn66arccos,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0如所示，ABC D 是一直角梯形

15、， ABC =90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz练习练习3ABCDSxyz解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0, 1)22CDSD C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126cos,3|n nn nnn 63即所求二面角得余弦值是空间向量之应用空间向量之应用3利用空间向量求距离利用空间向量求距离BAMNnAB ndn

16、 ab一、求异面直线的距离一、求异面直线的距离nabABnnABd 方法指导:作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 例例1在棱长为在棱长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中中,求异面直线求异面直线AC1与与BD间的距离间的距离.zxyABCDD1C1B1A1 解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,那么 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z

17、),则由 ,得 n=(-1,-1,2). , 异面直线AC1与BD间的距离)0 , 1 , 1(),1 , 1 , 1 (1BDAC得取解得2,22,00zzyzxyxzyx)0 , 0 , 1 (AB66411|001|nnABdzxyABCC1EA1B1练习练习1zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC则的公垂线的方向向量为设).,(,1zyxnBAEC100n CEn AB 即02240 xyxyz 取x=1,z则y

18、=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 1 (,ACAC在两直线上各取点1|2 3.|3n CACEABdn 与与的的距距离离EA1B1 2.点到平面的距离 A为平面外一点(如图), n为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH. = = . 于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.|,cos|sin|nABABABAH|nABnABAB|nnABnABH|nnABd 例例2 在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90, 求求B1到面到面A1BC的距离的距离.2zxyC

19、C1A1B1AB 解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,那么 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(- ,0,1). , 或 , 或 , 可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关. 22),0 , 1 ,0(),2,0 , 1 (1CBCA得取得,1,02,002zyzxyzx)2, 0 , 0(1BB2363212|200|1nnBBd)0 , 1 , 1(11BA363212|002|11nnBAd)2, 1 , 0(1CB363212|200|1nnCBd练习练习2、已知正方

20、形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCD，CG=2,E、F分别是分别是AB、AD的中点，求点的中点，求点B到平面到平面GEF的的距离。距离。DABCGFExyzDABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxy 1 1( ,1),3 3n B(2,0,0)E 例3、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。DABCGFExyz三、求直线与平面间距离|BE|2 11.11ndn 正方体正方体AC1棱长为棱长为1，求，求BD与平面