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文档简介

1、7-7-2,容斥原理之重叠问题(二)目幽If教学目标1,了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2,掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.知识要占八、一、两量重叠问题在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符AUBABAIB(其中符号“U”I”读作“交”,相当于中文“且”意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A表示小圆部分,读作的B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部

2、分,记为:AIB,即阴影面积.图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为:AIB,即阴影面积.1.2.A、先包含一一AB重叠部分AIB计算了2次,多加了1次;再排除一一ABAIB把多加了1次的重叠部分AIB减去.包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合步进行:第一步:分别计算集合A、B的元素个数,切元素都“包含”进来,加在一起第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,的元素个数).B的并集AUB的元素的个数,可分以下两然后加起来,即先求AB(意思是把A、B的一);即减去CAIB(意思是“排除”了重复计算二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类

3、元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数.用符号表示为:AUBUCABCAIBBICAICAIBIC.图示如下:7-7-2,容斥原理之重叠问题(二),题库教师版page1of7wnc1.先包含:重叠部分2.再排除:重叠部分图中小圆表示A的元素的个数,中圆表示B的元素的个数,大圆表示C的元素的个数.AAIAAIBCB、BIC、CIA重叠了2次,多加了1次.BCAIBBICAICBIC重叠了3次,但是在进行ABCAIBBICAIC计算时都被减掉了.3_再包含:ABCAIBBICAICAIBIC日tM蚱例题精讲

4、在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.模块一、三量重叠问题【例1】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报纸,其中甲报30份,乙报34份,丙报40份,那么既订乙报又订丙报的有户。【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,1试总共有(30+34+40)2=52户居民,订丙和乙的有5230=22户。22户【例2】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗,已知手中有红旗的共有34人,手中有黄旗的共有26人,手中有蓝旗的共有18人.其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人.而手中只有红、黄两种小旗的有

5、9人,手中只有黄、蓝两种小旗的有4人,手中只有红、蓝两种小旗的有3人,那么这个班共有多少人?三量重叠问题【难度】3星【题型】解答如图,用A圆表示手中有红旗的,B圆表示手中有黄旗的,C圆表示手中有蓝旗的.如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加,发现手中只有红、旗的各重复计算了一次,去,那么,全班人数为:【答案】50人应减去,手中有三种颜色小旗的重复计算了二次,(342618)(943)6250(人).黄两种小也应减9人既爱打某班有42人,其中26人爱打篮球,17人爱打排球,19人爱踢足球,篮球又爱踢足球,4人既爱打排球又爱踢足球,没有一个人三种球都爱好,也没有一个人三种球都不爱好.问:既爱打

6、篮球又爱打排球的有几人?三量重叠问题【难度】3星【题型】解答由于全班42人没有一个人三种球都不爱好,所以全班至少爱好一种球的有427-7-2.容斥原理之重叠问题(二).题库page2of7教师版人.根据包含排除法,42(261719)(94既爱打篮球又爱打排球的人数)0,得到既爱打篮球又爱打排球的人数为:49427(人).【答案】7人【例3】四年级一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组,20人参加了语文小组,参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍,又是3项活动都参加人数的7倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数

7、学小组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数.【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设参加数学小组的学生组成集合A,参加语文小组的学生组成集合B,参加文艺小组的学生组成集合G三者都参加的学生有z人.有|AUBUC|=46,|A=24,|耳二20,C=3.5,|AIC|=7|AIBIC|"BIC|=2|AIBIC|,|AIB|=10.因为|AUBUC|A|BC|AIB|AIC|BIC|AIBIC,所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x,解得x=3,即三者的都参加的有3人.那么参加文艺小组的有37=21人.【答案】21人【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小

8、组,每人至少参加一项.其中有25人参加自然兴趣小组,35人参加美术兴趣小组,27人参加语文兴趣小组,参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人,参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人,参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人,语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生人数.【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合A,参加美术兴趣小组的人组成集合日,参加语文兴趣小组的人组成集合C.|A二25,|B|=35"C=27"BIC|=12,|AIB|=8,|AIC|=9,|AIBIC|=4.|AUBUC|=ABC|AIB|AIC|

9、BIC|AIBIC.所以,这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62,而这个班每人至少参加一项.即这个班有62人.【答案】62人【巩固】光明小学组织棋类比赛,分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行,参加围棋比赛的有42人,参加中国象棋比赛的有55人,参加国际象棋比赛的有33人,同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人,同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人,同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人,其中三种棋赛都参加的有5人,问参加棋类比赛的共有多少人?【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】根据包含排除法,先把参加围棋比赛的42人,参加中国象棋比赛的55

10、人与参加国际象棋比赛的33人加起来,共是425533130人.把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人,同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去,但是,同时参加了三种棋赛的5人被加了3次,又被减了3次,7-7-2.教师版page3of7其实并未计算在内,应当补上,实际上参加棋类比赛的共有:130(18109)598(人).或者根据学过的公式:AUBUCABCAIBBICAICAIBIC,参加棋类比赛的总人数为:42553318109598(人).【答案】98人【例4】新年联欢会上,共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出.如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱

11、的人数;同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人;只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人;50人没有参加演奏;10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏;40人参加了合唱;那么,同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有人.【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空【关键词】西城实验【解析】设只参加合唱的有x人,那么只参加跳舞的人数为3x,由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏,得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为501040人,即x3x40,得x10,所以只参加合唱的有10人,那么只参加跳舞的人数为30人,又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少

12、7人”,得到同时参加三项的有3人,所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有:401010317人.【答案】17人【巩固】六年级100名同学,每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项.其中,爱好体育的55人,爱好文艺的56人,爱好科学的51人,三项都爱好的15人,只爱好体育和科学的4人,只爱好体育和文艺的17人.问:有多少人只爱好科学和文艺两项?只爱好体育的有多少人?【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】只是A类和B类的元素个数,有别于容斥原理H中的既是A类又是B类的元数个数.依题意,画图如下.设只爱好科学和文艺两项的有x人.由容斥原理,列方程得555651(

13、1715)(415)(x15)15100即555651174x152100111x100x11只爱好体育的有:551715419(人).【答案】11人只爱好科学和文艺,19人只爱好体育。【例5】在某个风和日丽的日子,10个同学相约去野餐,每个人都带了吃的,其中6个人带了汉堡,6个人带了鸡腿,4个人带了芝士蛋糕,有3个人既带了汉堡又带了鸡腿,1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕.2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕.问:三种都带了的有几人?只带了一种的有几个?【考点】三量重叠问题【解析】如图,用A圆表示带汉堡的人,B圆表示带鸡腿的人,C圆表示带芝士蛋糕的人.根据包含排除法,总人数(带汉堡的人数带鸡腿的人数带

14、芝士蛋糕的人数)(带汉堡、鸡腿的人数带汉堡、芝士蛋糕的人数带鸡腿、芝士蛋糕的人数)三种都带了的人数,即10(664)(321)三种都带了的人数,得三种都带了的人数为:教师版7-7-2.容斥原理之重叠问题(二).题库page4of710100(人).求只带一种的人数,只需从10人中减去带了两种的人数,即10(321)4(人).只带了一种的有4人.【答案】(1)0人,(2)4人【巩固】盛夏的一天,有10个同学去冷饮店,向服务员交了一份需要冷饮的统计表:要可乐、雪碧、橙汁的各有5人;可乐、雪碧都要的有3人;可乐、橙汁都要的有2人;雪碧、橙汁都要的有2人;三样都要的只有1人,证明其中一定有1人这三种饮

15、料都没有要.【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】根据根据包含排除法,至少要了一种饮料的人数(要可乐的人数要雪碧的人数要橙汁白人数)(要可乐、雪碧的人数要可乐、橙汁的人数要雪碧、橙汁的人数)三种都要的人数,即至少要了一种饮料的人数为:(555)(322)19(人).1091(人),所以其中有1人这三种饮料都没有要.【例6】全班有25个学生,其中17人会骑自行车,13人会游泳,8人会滑冰,这三个运动项目没有人全会,至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了,但又都不是优秀.若全班有6个人数学不及格,那么,数学成绩优秀的有几个学生?有几个人既会游泳,又会滑冰?【考点】三量重

16、叠问题【难度】4星【题型】解答【解析】有6个数学不及格,那么及格的有:25619(人),即最多不会超过19人会这三项运动之一.而又因为没人全会这三项运动,那么,最少也会有:(17138)219(人)至少会这三项运动之一.于是,至少会三项运动之一的只能是19人,而这19人又不是优秀,说明全班25人中除了19人外,剩下的6名不及格,所以没有数学成绩优秀的.上面分析可知,及格的19人中,每人都会两项运动:会骑车的一定有一部分会游泳,一部分会滑冰;会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰,而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳,但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车.所以,全班有19172(人)既会游泳又会滑

17、冰.【答案】(1)0人,(2)2人【巩固】五年级一班共有36人,每人参加一个兴趣小组,共有A、B、C、D、E五个小组,若参加A组的有15人,参加B组的人数仅次于A组,参加C组、D组的人数相同,参加E组的人数最少,只有4人.那么,参加B组的有人.【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】填空【解析】参加B,C,D三组的总人数是3615417(人),C,D每组至少5人,当C,D每组6人时,B组为5人,不符合题意,所以参加B组的有17557(人).【答案】7人【例7】五一班有28位同学,每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个.其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数,没有同学仅参加

18、语文或仅参加自然小组,恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组,仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍,并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数,那么仅参加数学和语文小组的人有多少人?【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答【解析】参加3个小组的人数是一个不为0的偶数,如果该数大于或等于4,那么仅参加语文与自然小组的人数则大于等于20,而仅参加数学与自然小组的人有6个,这样至少应有30人,与题意矛盾,所以参加3个小组的人数为2.仅参加语文与自然教师版7-7-2.容斥原理之重叠问题(二).题库page5of7小组的人数为10,于是仅参加语文与自然、仅参加数学与自然

19、和参加3个小组的人数一共是18人,剩下的10人是仅参加数学与语文以及仅参加数学的.由于这两个人数相等,所以仅参加数学和语文小组的有5人.【答案】5人【例8】在一个自助果园里,只摘山莓者两倍于只摘李子者;摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3个;只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人;50个人没有摘草莓;11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓;总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100,你能回答下列问题吗?有有有有有人摘了山莓;人同时摘了三种水果;人只摘了山莓;人摘了李子和草莓,而没有摘山莓;人只摘了草莓.【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空【解析】如图,根据题意

20、有A2CGC3BE4ADC50D11CDFG60ABE40代入求解:A26,B9,C13,D11,E5,F20,G16所以有ADEG261151658(人)摘了山莓;有16人同时摘了三种水果;有26人只摘了山莓;有20人摘了李子和草莓,而没有摘山莓;有9人只摘了草莓.【答案】有58(人)摘了山莓;有16人同时摘了三种水果;有26人只摘了山莓;有20人摘了李子和草莓,而没有摘山莓;有9人只摘了草莓.【例9】某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛,比赛一共只有三个项目,已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人,长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的

21、比赛项目,求这所学校一共派出多少人参加比赛?【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答教师版7-7-2.容斥原理之重叠问题(二).题库page6of7【解析】由条件可知,参加长跑的人中有2人参加其它项目,参加跳高的人中有3人参加其它项目,参加标枪的人中有4人还参加别的项目,假设只参加长跑和跳高的人数为x,只参加长跑和标枪的人数为y,只参加标枪和跳高的有z人,三项都参加的有n人.那么有以下方程组:由条件可知,参加长跑的人中有2人参加其它项目,参加跳高的人中有3人参加其它项目,参加标枪的人中有4人还参加别的项目,假设只参加长跑和跳高的人数为x,只参加长跑和标枪的人数为y,只参加标枪和跳高的有z人,三项都参加的有n人.那么有以下方程组:xyn2xzn3zyn4将3条等式相加则有2(x+y+z)+3n=9,由这个等式可以得到,n必须是奇数,所以,n只能是1或3、5、7,如果n>3时x、v、z中会出现负数.所以n=1,

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