基本不等式及其应用

1、基本不等式及其应用一、利用基本不等式的转化求最值例1已知x>0,y>0,且2x+8yxy=0,求x+y的最小值及此时x、y的值.【解析】因为2x+8yxy=0,所以+=1,xy所以x+y=(x+y)(8+2)=10+以2xxyxy8y2x-10+2J-=18.xy当且仅当巴=打，即*=2y时，等号成立.xy又8X+2x=1,所以x=12,y=6.xy故当x=12,y=6时，x+y的最小值是18.【变式练习1】求函数y=(x+5Xx+2)_的最大值.x1【解析】令x+1=t,贝1Jt<0,则y=E)=t+3+5,tt因为t<0,所以t+4<2>/4=-4,t所

2、以yE4+5=1,当且仅当t=-2,即x+1=2,x=3时取"=",故函数的最大值为1注意基本不等式的适用条件【例2】求y=sin2x+4厂的最小值sinx4c13【斛析】方法1:y=sinx+=sinx+,sinxsinxsinx当sin2x=-，即sin2x=1时，sinxsin2x12sin2x12可以取等号，22，sinxsinx即当sin2x=1时,sin2x+1的最小值是2.sin2x又当sin2x=1时，即的最小值是3.sinxsinx所以函数y=sin2xH4的最小值是5.sin2x方法2：令1=5冶1,则0<tE1,y=t+4,t所以y'=1

3、3.当0ctM1时，y'=1刍<0,tt一4.即丫=1+-在(0,1上是减函数，所以当t=1时，y=t+3的最小值是5.t方法3：令1=sin2x,则0Mt«1.4,一因为函数y=t+;在(0,2是减函数，所以，当t=1时,ymin=5.【变式练习2】一，1已知b、MR在区间一,2±,函数f(x)22/:x2+bx+c与函数g(x尸x在同x一点取得相同的最小值，求f(x)在区间1 ，一，一',2止的最大值.【解析】因为g(x厂,1,1,=x+1之2dx，一+1=3,x.x成立,当且仅当x=L即x=1时,x即g(x*最小值为3.因为f(x卢g(x卢同一点

4、处取得相同最小值，而f(x)=x2bxc=(xb)24c24的图象是开口向上的抛物线，口1且112,2,所以f(x/能在顶点处取得最小值，所以-b=1,24cb2广即|2)=2时，b=3,所以c=4.41所以f(x尸(x-1)2+3.Xx«-,2,所以当x=2时，f(x/勺最大值为4.利用基本不等式解实际问题【例3】某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？【斛析】设使用x(xwN)年的年平均费用为y万兀,由已知条件可知年维修费构成一个以0.2万元为首项,

5、0.2万元为公差的等差数列，因此使用x年的总维修费用为平户万元'所以y=210x0.1x=!£+A+1>2J+1=3,(当且仅当x=10时x10x10取等号)所以当x=10寸，y取最小值3.答：这种汽车使用1吩时，年平均费用最小.解决应用题时，先要认真阅读题目，理解题意，处理好题目中的数量关系，选择适当的数学模型，将实际问题转化为数学问题，再用数学知识和方法加以解决.【变式练习3】2008年5月12日四川省汶川县发生了8.0级大地震，牵动了全国各地人民的心.为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两

6、侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元.房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元.每套房材料费控制在32000元以内，试计算：(1)设房前面墙的长为x,两侧墙的长为y,所用材料费为巳试用x,y表示P;(2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？【解析】1P=2x450+2y200+xy200=900x+400y+200xy,即P=900x+400y+200xy.(2欢题意，S=xy,且P<32000,则可得P=200S+

7、900x+400y-200S+2.900400S,得200S+1200S<P<32000,即（*后）【解析】y=x-3+3,x-3当x<3时，y<-2+3=1,当*=2时取"="；当x>3时，y之2+3=5,当*=4时取二”，所以函数的值域是（一8,1U5,+°°）.2.若10g2x+log2y=4,贝Ux+y的最小值为【解析】因为1og2x+10g2y=log2（xy尸4,所以xy=16,所以x+y22&7=8,当且仅当x=y=4时，"=”成立.故x+y的最小值为8.3已知x,y,zwR+,x2y+3z=

8、0,贝U工xz的最小值为.+6点160W0,0：,S<10,得S三100,rr900x=400y当且仅当，y,xy=100即x=型时，驯最大值.3答：简易房面积S的最大值为1001P方米，此时前面墙的长度应设计为20米.3一11.函数丫=x+（x=3）的值域是x-3【解析】由已知y=x3z22c2yx9z6xz1x,9z,所以=(-+一+6)xz4xz4zx至；(2*经+6)=3.41zx当且仅当x=y=3z时取得最小值.4.已知x0,y0,且4x+y=1.(1那1+1的最小值；xy(2淤log2x+10g2y的最大值.【解析】(1心I为1+1=(1+1)(4x+y)xyxy=_y+4A

9、+5>2+5=9,>21y竺+5=9,xyxy当且仅当Y="，即*=y=1时取等号.xy63所以1+1的最小值为9.xy1,、(2(og2x+10g2y=10g2(xy尸log2(-4xy)41 4xy21<1og2-()尸10g2/=-4，4216当且仅当4x=y,即x=1,y=1时取等号.82所以1og2x+10g2y的最大值为-4.5设函数f(x尸2x4x48(1坪:f(x州最大值及此时的x的值;(2)证明：对任意的实数a、b,恒有021fa二b3b+.【解析】(1)f(x尸16=<9x+8-2T2162x4=-4x816162x""

10、2Z2x8当且仅当22x耳4贝2x=2.2x_8尹即尸3时，f(x山勺最大值为2五21c9(2)证明：因为b23b+=(b23b+-)+344=(b-3)2+3>3,2所以b23b+包的最小值为3.4由(1声口，f(x羽最大值为2后.而2衣3,所以对任意的实数a、221b,恒有fa：二b3b十一.4本节内容是不等式的基础知识，主要从三个方面考查：一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法等)；三是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式来解决.1.利用基

11、本不等式三八四时,要注意正、定、等”三要素.(1)"正"，即x,y都是正数;(2丫定"，即不等式另一边为定值；(31等"，即当且仅当x=y时取"=".2如：当sinx-0时，虽然有y=sinxHsinx2、2,但2、2并不是y的最小值，因为sinx=N一不可能成立.sinx又如：并不一定有2x+2,因为x的符sinx号没有确定.2.利用基本不等式号上M时,要注意积定和最小，和定积最大”这一口诀，并适当运用拆、拼、凑等技巧.但应注意，一般不要出现两次不等号.例如：已知x>0,y>0,且x+y=1,求212+1的最小值.xy方

12、法1:因为x>0,y>0,且x+y=1,121所以当x=y=1时+1的最小值为6.2xy方法2：因为x>0,y>0,21x=2由xy，得（3,1xy=1y=-,3所以2+1的最小值为6.xy方法3：因为1=x+y>2j'xy,所以tRA2,所以22I442,xyxyxy所以2+1的最小值为4亚.xy三种方法似乎都有道理，但结果却不一样，哪一种对呢？其实三种都不对.方法1、方法2都是误用了等号成立的条件；方法3中，x+y至2，xy是当且仅当x=y时取“="，而Z+zJ是当且仅当xy,xyxy时取,x=y与2=工不可能同时成立,xy所以错了.本题比较

13、好的方法是：因为x>0,y>0,且x+y=1,所以2+1=(2+l)(x+y)=3+2y+-xyxyxy>3+2巨工3+2金,xyx=2、2即J1时，“=”成立,y=、/2-12yx当且仅当x-y,xy=1所以I的最小值为3+2>72.xy3.记住下列结论，对解题是有帮助的:x2y2c2；xy22xy<(-2)；1(3-x>0时，x+之2；x(4注x、y同号时，-+>2.yx4.当两个正数a、b的和a+b与积ab出现在同一个式子中时，可以利用基本不等式互相转化来求取值范围.如：已知a0,b0,且ab=a+b+3,则(1)abw；(2)a+bw.就可以这

14、样来求：(1)S为ab=a+b+3之2JOb+3,所以(,.OK-3)(ab+1)-0.因为J0T+1>0,所以ab",即ab9,+«).(2R为a+b+3=ab<(0-1b)2,所以(a+b)24(a+b)T2之0,所以a+b26,所以a+b三6,+°0).1.(2010宿迁期中卷)已知实数a,b满足2a+b=1,则4a+2b的最小值是答案:22选题感悟：在考试说明中基本不等式是C级要求，在应用基本不等式时，应注意合理拆添项、配凑等变形技巧的灵活应用.2（2010画州期中卷）已知关于M一元二次不等式ax*(4+-)(t+100)(1<t<

15、15,tN)(2W(t尸j1(4+1)(130-t)(15<t<30,tN*)1当1Wt<15时，w(t)=(4+；)(t+100)=4(t+25)+401一42,25+401=441,.一.，25_,一一当且仅当1=25,即t=5时取等号；t+2x+b.0的解集为x|/2I2_x#,则（其中a>b）的aa-ba.0ab=1最小值为.【解析】由题意有!a>0，即.2a-b2ab74-4ab=0a2b27所以=a-b,9=（a-b）+>6,a-b当且仅当ab=3时取二”.答案：6选题感悟：基本不等式的考查往往不是单独进行的，应用中考查是常见的题型，常需要对式子进行合理的变形，使之满足基本不等式的形式及等号成立的条件，这类问题在高考中经常出现.3（2010的城一模卷）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（tX万人）与时间t（天）的函数关系近似满足f（t尸4+；人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t尸115-|t-15|.（1由该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1<t<30,tWN）的函数关系式；（2那该城市旅游日U益的最小值（