信号与系统2(全)

1、哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系信号与系统第二章第二章 连续时间连续时间信号与系统信号与系统的时域分析的时域分析主讲：王秀红哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系本章内容本章内容 2.1 信号的时域运算信号的时域运算 2.2 信号的时域分解信号的时域分解 2.3 系统模型及响应的经典解法系统模型及响应的经典解法 2.4 系统的零输入响应系统的零输入响应 2.5 系统的零状态响应系统的零状态响应 2.6 线性系统的时域模拟线性系统的时域模拟重点内容重点内容哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系 LTI连续系统的时

2、域分析，连续系统的时域分析，归结为：归结为：建立并求解线建立并求解线性微分方程性微分方程。 由于在其分析过程涉及的由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间函数变量均为时间t，故，故称为时域分析法称为时域分析法。 这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。变换域分析法的基础。 哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系2.1 2.1 信号的时域运算信号的时域运算哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系2.1 2.1 信号的时域运算信号的时域运算 分类分类 信号幅度的运算信号幅度的运算 信号的

3、运算：信号的运算： 信号时间的运算信号时间的运算 函数域的变换函数域的变换(运算运算) 初等运算：初等运算： 加、减、乘、除加、减、乘、除 高等运算：高等运算：微分、积分、差分、累加微分、积分、差分、累加 翻转翻转 平移平移 尺度变换尺度变换时域运算时域运算变换域运算变换域运算信号幅度的运算信号幅度的运算信号时间的运算信号时间的运算哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系2.1 2.1 信号的时域运算信号的时域运算u 初等运算：初等运算： 加、减、乘、除加、减、乘、除 加减法加减法 乘法乘法 除法除法u 高等运算：高等运算： 微分：微分： 积分积分 差分差分累加累加 1

4、2f tftft 1f tftC 12f tftft 1f tC ft 12f tftft 1f tftC两信号两信号f1() 和和f2 ()的的相相+、指同一指同一时刻两信号之值对应时刻两信号之值对应相加减乘相加减乘 。 dx tf tdt tf txd ky nx k 1x nx n baf t dtC连续时间连续时间信号信号离散时间离散时间信号信号哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系l 相相加或相乘加或相乘 )t (f)t (f211.1.相加：相加： t)(1tf)(1tf0t0)(tf)(2tf)(2tf2. 2. 相乘：相乘：)t (f)t (f21tt

5、t8sinsintt8sinttsin2.1 信号的时域运算信号的时域运算哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系1 40 1 3 0t tt t 1 0 1 3 4 0)()(tdttdf( )( )f tu t-11.1.微分微分dt)t (dfl 微分和积分微分和积分 信号微分后：突出显示了信号的变化部分。信号微分后：突出显示了信号的变化部分。2.1 信号的时域运算信号的时域运算哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系00)0(0)1 (1)(1 1)1 (1)(ttetteetttttdf2.2.积分积分td )(f00ttettteet

6、tt0)(010tf(t)= tdf)(t0t000tf(t)t信号积分后：信号的突变部分变得平滑信号积分后：信号的突变部分变得平滑2.1 信号的时域运算信号的时域运算哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系一、信号的翻转（反褶）一、信号的翻转（反褶）2.1 信号的时域运算信号的时域运算)()(tftf 例：例：相当于把信号以纵轴为轴折叠相当于把信号以纵轴为轴折叠O12 1 tftO21 1 tf t将信号的自变量将信号的自变量“ t ”变为变为“ t ”，即，即 例：例：(21) ft 翻转？(21) ( 21)ftft翻转哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大

7、学（威海）通信工程系二、信号的时间平移二、信号的时间平移2.1 信号的时域运算信号的时域运算0( )()f tf tt例：例：若若t00时，时，“+”表示超前，表示超前，“-”表示滞后（延迟）表示滞后（延迟）将信号的自变量将信号的自变量“ t ”变为变为“ t t0 ”，即，即 例：例：(2 )(21)ftft 若已知波形，则的平移量为？11(21)= 2 22ftft，左移)(tff(t+1)的波形？的波形？)1( tf哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系三、信号的尺度变换三、信号的尺度变换2.1 信号的时域运算信号的时域运算( )()f tf at将信号的自变量

8、将信号的自变量“ t ”乘以正实系数乘以正实系数a，变为，变为“ at”，即，即 f（at） a为正常数a1表示f(t)波形在时间轴上压缩1/a倍a尺度反褶反褶共有6种方案2.1 信号的时域运算信号的时域运算哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系例题例题Ot)(tf1 11解解: :t)5( tf6 14 5 Ot)3( tf131O31 t)53( tf12 34 已知已知f(t)，求，求f(3t+5)。时移标度变换标度变换时移2.1 信号的时域运算信号的时域运算哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系 例题：信号例题：信号f( (t) )的

9、波形如图所示。画出信号的波形如图所示。画出信号 f（2 2t4 4）的波形。）的波形。t 0 1 2 3 4 ) 42(tf2 t0 2 4 6 8 ) 4( tf2 t-4 -2 2 4 )(tf20?2.1 信号的时域运算信号的时域运算 t-8 -6 -4 -2 0 (4)f t 2哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系2.2 2.2 信号的时域分解信号的时域分解哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系一、基本分解一、基本分解一个信号按照它的特征可以有多种表示方式，可根据一个信号按照它的特征可以有多种表示方式，可根据需要表示为：需要表示为：

10、u 直流分量和交流分量直流分量和交流分量u 偶分量和奇分量偶分量和奇分量u 实部分量和虚部分量实部分量和虚部分量2.2 信号的时域分解信号的时域分解哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系2.2 信号的时域分解信号的时域分解直流分量和交流分量任意信号分解为直流分量与交流分量之和任意信号分解为直流分量与交流分量之和( )( )Af tCft一个信号的平均功一个信号的平均功率等于直流功率与率等于直流功率与交流功率之和。交流功率之和。C：信号的直流分量，即平均值。001( )dtTtCf ttT)(tfEEOttt)(Atf)(DtfOO交流分量交流分量直流分量直流分量哈尔滨

11、工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系重要结论：任意信号重要结论：任意信号f(t) )都可分解为偶分量与奇分量之和都可分解为偶分量与奇分量之和( )( )( )eof tftft证明：证明：)()()()(21)()(21)()()()(21)(tftftftftftftftftftftfoe偶分量和奇分量奇分量：奇分量：fo(t) = -fo(-t) 偶分量：偶分量：fe(t) = fe(-t) 2.2 信号的时域分解信号的时域分解 )()(21)(etftftf )()(21)(otftftf 哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系0-1121

12、 tf1t101-12 tf 1t0-11.51 tfe1t01-1-2-1 tf 1t1/20-1/2 tfo1t0-1121 tf1t两个信号分解两个信号分解为奇、偶分量为奇、偶分量的实例。的实例。 )()(21)(etftftf )()(21)(otftftf 哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系-1/21/21/2-1111000000 tf2tf2 tfe2 tf 2 tfo2 tf2ttttttt )()(21)(etftftf )()(21)(otftftf 哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系复信号复信号f(t) )可分解

13、为实部分量与虚部分量之和可分解为实部分量与虚部分量之和( )( )( )rif tftjft其中，实部其中，实部实部分量和虚部分量虚部分量虚部分量实部分量实部分量2.2 信号的时域分解信号的时域分解*( )( )rrf tft*( )( )iif tft *1( )Im( )( )( )2if tf tf tft*1( )Re( )( )( )2rf tf tf tft虚部虚部共轭对称分量共轭对称分量共轭反对称分量共轭反对称分量哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系二、幅度分解（阶跃函数分解）二、幅度分解（阶跃函数分解）1. 有些信号可以分解为许多阶跃信号分量之和有些

14、信号可以分解为许多阶跃信号分量之和2.2 信号的时域分解信号的时域分解0TA tf1t0TT A 3fttT ( )()()if tAu tiTu tiT( )( )()f tA u tu tT12( )()()f tA u ttu tt0t1A 2fttt2哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系2.2 信号的时域分解信号的时域分解 tftftftftfk210tf 0fttktkf f tt2 tfkt如图所示分解任意信号，可以分解为阶跃信号之和，如图所示分解任意信号，可以分解为阶跃信号之和， 00ftfu t 10ftftfu ttftu tttt 1kftf k

15、 tfktu tk t f k tu tk ttt 任意时刻的阶跃为任意时刻的阶跃为 0ftfu tttt定义：定义： 01kf k tftu tk ttt 哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系 tftftftftfk210 01kf k tftu tk ttt 将信号近似表示为将信号近似表示为 01kftfk t u tk tt 然后，令窄脉冲宽度然后，令窄脉冲宽度 t-0t-0，并对上式极取限，并对上式极取限， 001limtkf k tf tftu tk ttt 最后，得到任意信号用阶跃信号表示的积分形式为最后，得到任意信号用阶跃信号表示的积分形式为 00f

16、tfu tfu td任意信号可以分任意信号可以分解为无穷多个解为无穷多个阶阶跃函数的加权和跃函数的加权和2.2 信号的时域分解信号的时域分解哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系2.2 信号的时域分解信号的时域分解三、时间分解（冲激函数分解）三、时间分解（冲激函数分解）任意信号可以近似表示为冲激函数之和任意信号可以近似表示为冲激函数之和 00ftfu tu tt定义：定义： 12ftftu ttu tt kftf k tu tk tu tk tt tftftftftfk2100ku tk tu tk ttf k ttt 将信号近似表示为将信号近似表示为 tf t fO

17、哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系2.2 信号的时域分解信号的时域分解0 ( )( ) ()df tft 所以0t 令d ()du ttt tftftftftfk2100ku tk tu tk ttf k ttt 0kfu td, tdk t 则00d ,k 任意信号可以分任意信号可以分解为无穷多个解为无穷多个冲冲激函数的加权和激函数的加权和可将可将 t 扩展至扩展至- ，则，则( )( ) ()d( )( )f tftf tt 哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系1. 信号正交：信号正交： 定义在定义在(t1，t2)区间的区间的 1(

18、t)和和 2(t)满足满足 210d)()(*21ttttt(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t) 在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。 2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，构成一个函数集，这些函数在区间这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。 四、正交分解四、正交分解2.2 信号的时域分解信号的时域分解哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程

19、系如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函数不存在函数(t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如例如：三角函数集三角函数集 1，cos(nw wt)，sin(nw wt)，n=1,2, 虚指数函数集虚指数函数集ejnw wt，n=0，1，2，是两组是两组典型典型的在区间的在区间(t0，t0+T)(T=2/w w)上的上的完备正交函完备正交函数集。数集。210d)()(*ttittt( i =1，2，n)2.2 信号的时域分解信号的时域分解3. 完备正交函数集：完备正交函数集： 哈尔滨工业大学（威海）通信工

20、程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交个正交函数的线性组合来近似，可表示为函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在与近似函数之间误差在区间区间(t1，t2)内为最小。内为最小。通常使误差的方均值通常使误差的方均值(称为称为均方误差均方误差)最小。均方误差为最小。均方误差为 ttCtfttttnjjjd )()(121211222.2

21、 信号的时域分解信号的时域分解4. 正交分解：正交分解： 哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系为使上式最小为使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为为0，写为，写为 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系数所以系数212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC2.2 信号的时域分解信号的时域分解哈尔滨工业大学（威海）通信工

22、程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系代入，得最小均方误差（推导过程见教材）代入，得最小均方误差（推导过程见教材）0d)(112212221njjjttKCttftt在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即时，所取得项数越多，即n越越大，则均方误差越小。当大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数时（为完备正交函数集），均方误差为集），均方误差为零零。此时有。此时有 12221d)(jjjttKCttf上式称为上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式巴塞瓦尔公式，表明：在区间，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量所含能量恒等于恒等于f(t)在完备正交函数集中分解

23、的各在完备正交函数集中分解的各正交分量能量正交分量能量的的之和之和。 1)()(jjjtCtf函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和2.2 信号的时域分解信号的时域分解哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系21d)()(1ttiiitttfKC21d)(2ttiittK1)()(iiitCtf函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和12221d)(iiittKCttf正交分解小结：正交分解小结：2.2 信号的时域分解信号的时域分解巴塞瓦尔能量公式巴塞瓦尔能量公式哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业

24、大学（威海）通信工程系2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系许多实际系统可以用许多实际系统可以用线性系统线性系统来模拟。来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常线性常系数微分方程系数微分方程来描述。来描述。一、物理系统的模型一、物理系统的模型根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。列写系统的微分

25、方程。 元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系回顾回顾 常用元件电阻、电容、电感的电流和电压之间的关系：常用元件电阻、电容、电感的电流和电

26、压之间的关系： 电流电流电压电压电阻电阻电容电容电感电感( )( )RRutRitdttdiLtuLL)()(tLLuLtid)(1)(dttduCtiCC)()(tCCiCtud)(1)()(1)(tuRtiRR2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系电感电感 电阻电阻 tvRtiR1 d1 tLvLti电容电容 ttvCtiCdd 根据根据KCL，列电流方程列电流方程 titititiCLRS 两边求导两边求导 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶

27、微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。 求图示电路的端电压与激励源之间的关系求图示电路的端电压与激励源之间的关系. . 【例】【例】 tisRRiLLiCciab tv Sd11ddtv tv tvCitRLt哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系电感电感 电阻电阻 RvtRi t 1dtCvtiC电容电容 ddLi tvtLt RLCvtvtvte t两边求导两边求导 22ddd1dddi ti te tLRi tttCt这是一个代表这是一个代表RCL串联电路系统的二阶微分方程。串联电路系统的二阶微分方程。 求图示电路的端电压与激励源之间的关系求图示电路的端电压与激

28、励源之间的关系. . 【例】【例】 d1ddti tRi tLie ttC tiRLC te 根据根据KCL，列电压方程列电压方程哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系111011101d( )d( )d ( )( )dddd( )d( )d ( )( )dddnnnnnnmmmmmmr tr tr taaaa r tttte te te tbbbb e tttt 若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则 均为常数，此方程为常系数的均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件个数决定。方程的阶次由独立的动态元件个

29、数决定。n阶线性时不变系统的描述（阶线性时不变系统的描述（n阶常系数微分方程）阶常系数微分方程） 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之间的关之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述系，可以用下列形式的微分方程式来描述 e t r t,ija b 1110110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmma rtarta r ta r tb etb etbe tb e t2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系分析系统的方法：列写方程，求解方程。分析系统的

30、方法：列写方程，求解方程。 :,: :1) 列写方程 根据元件约束 网络拓扑约束经典法零输入响应和零状态响应2) 解方程零输入 可利用经典法求解零状态 利用卷积积分法求解变换域法求解方程时域经典法就是：求解方程时域经典法就是：齐次解齐次解 + 特解特解二、求解系统的微分方程二、求解系统的微分方程2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系齐次解：由特征方程齐次解：由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解：解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系根据

31、微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。完全解完全解: :齐次解和特解相加齐次解和特解相加, , ( )( )( )hpr tr tr t齐次解中的待定系数可通过初始条件求得齐次解中的待定系数可通过初始条件求得. . 1( )inthiir tce2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法自由响应自由响应强迫响应强迫响应全响应全响应哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系1. 齐次解齐次解是齐次微分方程的解。是齐次微分方程的解。 1110( )( )( )( )=0nnn

32、na rtarta r ta r tyh(t)的函数形式的函数形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根确定。确定。特征方程特征方程1110=0nnnnaaaa2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法特征方程的特征方程的n n个根称为个根称为特征根特征根： 1 1, , 2 2, , , n哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系 11011tmhmrteCC tCt讨论：讨论： （三种情况）（三种情况）设特征根为设特征根为 1, 2, n 当特征根为互异实根（单实根）时当特征根为互异实根（单实根）时齐次解为：齐次解为：Ck为待定系数，为待定系数，

33、由系统的由系统的初始初始条件条件确定确定 当特征根中有共轭复根（单根）时当特征根中有共轭复根（单根）时齐次解有两种选择形式：齐次解有两种选择形式： 1,212jtjthrtC eC e1,2j设 当特征根中有当特征根中有m重根时，设该重根为重根时，设该重根为 1，则齐次解，则齐次解中相中相应于应于 1的部分有的部分有m项项 1212nttthnr tC eC eC e2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法 1,212cossinthrteDtDt C1,C2为一对共轭复数为一对共轭复数 D1,D2为两实数为两实数哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系

34、例题：例题：例题：例题：2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法 56rtr tr te t求齐次解求齐次解解：解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式2560 2312, 0tthr tCeC et1223 71612rtrtr tr te t求齐次解求齐次解解：解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式32716120 23012, 0tthr teCCtC et1232,3 2230哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解)(常

35、常数数E)(常常数数Bpt1110ppppb tbtbtbt etbe tw wcos tw wsintbtbwwsincos21 tttpw w sine tttpw w cose11101110ecosesinpptpppptppb tbtbtbtd tdtd tdtww 几种典型激励函数相应的特解几种典型激励函数相应的特解2. 特解特解 根据非齐次项（激励信号）的形式确定根据非齐次项（激励信号）的形式确定 不是特征根时：不是特征根时： 是是m重特征根时：重特征根时：1110tmmmmeb tbtbtbw w不是特征根时：不是特征根时： ，w w不是不是特征根时：特征根时：哈尔滨工业大学（

36、威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系例题：例题：2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法 23rtr tr te te t1）e(t)=t2; 2）e(t) = 3e2t , 求两种情况下微分方程的特解。求两种情况下微分方程的特解。【解】【解】：1）由由激励信号为激励信号为e(t)=t2, 代入方程代入方程整理，得整理，得 21210prtB tBtB02211210210273124329223013BBBBBBBBB 2122, 2pprtB tBrtB 212103927prttt特解21222121022 222BB tBB tBtBtt哈尔滨工业大学（威海

37、）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系【解】 2） 自由项： ，设特解：te23 tpDetr2 tptpDedttrdDedttdr22224,2代入原微分方程得：311D22224433ttttDeDeDee解得： 3211trtep哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系需要注意的需要注意的: : 特解的函数形式特解的函数形式由系统所加的由系统所加的激励决定激励决定 齐次解的函数形式齐次解的函数形式完全取决于完全取决于特征方程的根特征方程的根 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统的由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统的结构与参数决定了微分方程的阶

38、次与系数，因此，结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此，齐齐次解只与系统本身特性有关。次解只与系统本身特性有关。 2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法3. 完全解（完全响应）完全解（完全响应） 齐次解和特解相加齐次解和特解相加( )( )( )hpr tr tr t其中特解是一确定函数，而齐次解中有n个待定系数，这n个未知待定系数必须由系统给定的初始条件来确定。即：11000,nndrdrrdtdt哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）

39、通信工程系经典法求解微分方程的流程将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电路系统列写微分方程齐次解 （系 数A待定）tAe特解查表，求出系数B完全解=齐次解 +特解（ A待定）已定系数A的完全解系统的响应给定系统 状态求出对应 状态00哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系【例】【例】 已知给定的线性时不变系统微分方程为已知给定的线性时不变系统微分方程为 ( )5 ( )6 ( )( )y ty ty tx t其中激励其中激励 , ,并且并且 ， 求系统的完全响应。求系统的完全响应。 )()(tuetxt5 . 3)0(y5 . 8)0(y特征方程为特征方程为 06

40、522132tthececty3221)(当激励当激励 时时, ,微分方程的特解为微分方程的特解为 )()(tuetxttpbety)(2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系将将 及其导数和及其导数和 代入系统微分方程，得代入系统微分方程，得 )(typ)(tx21btttpheecectytyty21)()()(3221ttteececty2132)(3221考虑已知初始条件，得考虑已知初始条件，得 5 . 321)0(21ccy5 . 82132)0(21ccy11c22c所以系统响应的所以系统响应的完全解完

41、全解为为 ttteeety212)(32齐次解（自由响应）齐次解（自由响应） 特解（强迫响应）特解（强迫响应）哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系例例 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求求 当当f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。时的全解。 解解: 特征方程为特征方程为2 + 5+ 6 = 0 其特征根其特征根1= 2，2= 3。齐。齐次解为次解为 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法 当激励当激

42、励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。时，其指数与特征根之一相重。 由表知：其由表知：其特解特解为为 yp(t) = (B1t + B0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 B1e-2t = e2t ，所以，所以 B1= 1 但但B0不能求得。不能求得。全解全解为为: y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + B0e2t = (C1+B0)e2t +C2e3t + te2t将将初始条件初始条件代入，得代入，得 y(0) = (C1+B0) + C2=1 ， y(0)= 2(C1+B0) 3C2+1=0 解得解得 C1 + B0 = 2 ,C2= 1 最后得最后得全

43、解为全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一项的系数上式第一项的系数C1+B0= 2，不能区分，不能区分C1和和B0，因而也不能区，因而也不能区分自由响应和强迫响应。分自由响应和强迫响应。 哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系02:( )( ),( ). te tEeu tv t例电路如图所示，激励信号求输出信号设电容的起始电压为零。)(te1RC2R)(0tv解:)()()()(01020tvRdttdvcRtvte)(1)()(1021210tecRtvcRRRRdttdv0cRRRR2121齐次解: 1212RRtR R Chrt

44、Ae哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系:( )tprtBe特解为t1t2121tecREBecRRRRBe2121 2 REBRRRRc)()(tuEetet1） 若 因激励信号为1212RRR R c代入方程 1212201212( )RRtR R CtR Ev tAeeRRR R c完全解： (0 )(0 )0vv由于 21212R EARRR R C 201212(0)0R EvARRR R C1212201212 ( )()RRtR R CtR Ev teeRRR R C哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系1212RRRRc2）

45、若:则特解为:10( )tprtB tBe将B(t)代入微分方程,121201( )RRtR RcEvtteR c代入初始条件 求出待定系数：101 , EBBRc不能确定1212001( )RRtR R ctEvtABeteR c(0 )(0 )0vv00AB完全解： 哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系【注意】1）求待定系数用到的是 的初始值，而不是 的初始值。2）从信号与系统分析的角度来说，初始条件用的是 时刻的值，但一般给定的已知条件是 时刻的值，它们在一般情况下是不同的。 tr trh00哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系三、

46、关于三、关于0 0- -和和0 0+ +初始值初始值起始点的跳变起始点的跳变O 0 0t2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法 如上所述，在确定完全解中齐次解部分中的待定系数时，如上所述，在确定完全解中齐次解部分中的待定系数时，我们要有我们要有 n n 个初始条件个初始条件。 从信号与系统分析的角度来说，这从信号与系统分析的角度来说，这 n n 个初始条件指的是个初始条件指的是0+ 时刻，因为激励接入后的瞬时是时刻，因为激励接入后的瞬时是0+ 时刻，或微分方程描述的时刻，或微分方程描述的是是 t 0+ 时间区间。时间区间。 但在实际问题中，我们知道的是但在实际问题中，我们知道

47、的是0- 时刻的起始状态。时刻的起始状态。 0+ 与与 0- 时刻系统的状态一般是不同的，所以有下面两个概时刻系统的状态一般是不同的，所以有下面两个概念：念：哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系 100 ,0 ,0 ,0knrrrrr 100,0,0,0knrrrrr0状态0状态O 0 0t1.1.系统的起始状态和初始状态系统的起始状态和初始状态起始状态：起始状态： 系统在激励信号加入前瞬间的状态系统在激励信号加入前瞬间的状态 起始状态包含了响应的全部过去信息，能够反映系统中起始状态包含了响应的全部过去信息，能够反映系统中储能元件的储能状况。储能元件的储能状况。初始

48、状态：初始状态： 响应区间内响应区间内 时刻的一组状态时刻的一组状态 0t2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法 一般情况下，由于外加激励的作用或系统内部结构和参数发生变化，使得系统的起始状态与初始状态不等，即即响应在起始点会发生跳变。即响应在起始点会发生跳变。通常，对于具体的系统，通常，对于具体的系统，初始状态一般初始状态一般不容易求得不容易求得。这样。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得设法求得y(j)(0+)。哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系求起始点的跳变一般有两种方法：

49、1、对于具体的电网络，首先求出 ，一般情况下， 然后根据元件特性约束和网络拓扑约束求得 时刻其他电流或电压值。0(0 ),(0 )vicL2、冲激函数匹配法： 当系统用微分方程表示时，系统的 到 状态有无跳变取决于 原理为根据微分方程两边奇异函数 和 各项平衡相等来求。00 t kt t kt t kt00, 00.CCLLvvii哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系例例：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=u(t)，求，求y(0+

50、)和和y(0+)。 解解：将输入将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t) （1）利用利用系数匹配法系数匹配法分析：上式对于分析：上式对于t=0-也成立，在也成立，在0-t0+区间等号两端区间等号两端(t)项的系数应相等。项的系数应相等。 由于等号右端为由于等号右端为2(t)，故，故y”(t)应包含冲激函数，从而应包含冲激函数，从而y(t)在在t= 0处将发生跃变，即处将发生跃变，即y(0+)y(0-)。 但但y(t)不含冲激函数，否则不含冲激函数，否则y”(t)将含有将含有(t)项。由于项。由于y(t

51、)中不含中不含(t)，故，故y(t)在在t=0处是连续的。处是连续的。故故 y(0+) = y(0-) = 2 2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系对式对式(1)两端积分有两端积分有 0000000000)(6)(2)(2)( 3)( dttdttdttydttydtty由于积分在无穷小区间由于积分在无穷小区间0-，0+进行的，且进行的，且y(t)在在t=0连续，连续，故故 0000( )0,( )0y t dtu t dt于是由上式得于是由上式得 y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2考虑考

52、虑 y(0+) = y(0-)=2 ，所以，所以 y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =22.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系【例】【例】 设线性时不变系统微分方程为设线性时不变系统微分方程为 )(4)(3)(4)(2)( txtxtytyty已知已知 求求 . . , 0)0(, 2)0(),()(yytutx)0( )0(yy和)(4)(3)(4)(2)( tuttytyty0000000000 )(4)(3)(4)(2)(dttudttdttydttydtty3)0()

53、0(2)0()0(yyyy考虑到考虑到 有有 )0()0( yy3)0()0(yy将将 代入上式得代入上式得 0)0(, 2)0(yy(0 )2(0 )3yy2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系 冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题：冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题： (1) (1) 对于冲激函数对于冲激函数，微分方程两端这些函数项都对应相等。微分方程两端这些函数项都对应相等。 (2) (2) ，首，首先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配, ,在已在已匹配好的高阶次冲

54、激函数项系数的条件下，再匹配匹配好的高阶次冲激函数项系数的条件下，再匹配低阶项。低阶项。 (3) (3) 每次匹配方程低阶冲激函数项时，每次匹配方程低阶冲激函数项时，。 ( ) t( )( )krt( )( )krt2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系 ttytyt33dd0,0yy求已知 相相对对单单位位跳跳变变函函数数到到表表示示 00:tu该过程可描述为该过程可描述为【例】【例】 2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法在在 中中 时刻有时刻有 ty0 t tu 9 t3方程右端含 3y

55、tt中必含 tty3中包含 t 方程右端不含方程右端不含 939y tty tt必含以平衡中的900yy900 yy即中的中的 y t t 9 n=m的情况的情况哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系 d33dy ty ttt由方程可知 项，方程右端含t ddy tt它一定属于 y tatbu t 333atbtcu tatbu tt900byy ddy tatbtcu tt设设则则代入方程代入方程得出得出所以所以900yy即即 03033bcaba3927abc 即即2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法数学方法描述为： ddy tatbtcu t

56、t设设哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系【例】【例】 微分方程为微分方程为 )(4)(6)()(10)(7)(22txdttdxdttxdtydttdydttyd并且已知并且已知 的状态的状态, ,当当 时，激励发时，激励发生跳变从生跳变从 变到变到 . .求求 状态。状态。 22)0(,)0(),0(dtyddtdyy0tv0v20设 )()()()()()()()()(22tuatytubtadttdytuctbtadttyd2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系代入微分方程得代

57、入微分方程得 )(8)(12)(2)()107()()7()(tutttuabctabta由两端平衡得由两端平衡得222cba所求的状态为所求的状态为 2)0()0(yy(0 )(0 )2yy(0 )(0 )2yy2.3 系统模型和响应的经典解法系统模型和响应的经典解法哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系经典法求解微分方程的流程将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电路系统列写微分方程齐次解 （系 数A待定）tAe特解查表，求出系数B完全解=齐次解 +特解（ A待定）已定系数A的完全解系统的响应给定系统 状态求出对应 状态00哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨

58、工业大学（威海）通信工程系例：给定电路如图示， 开关S处于1的位置而且已经达到稳态；当 时，S由1转向2。建立电流 的微分方程并求解 在 时的变化。0t 0t ( )i t( )i t0t +-( )4e tV21S( )i t+-( )2e tV11R 322R 14LH1CF( )itc itL解： （1）列写微分方程列回路方程：12( )( )( )( )( )( )CCLLRi tv te tdv tLi ti t Rdt列节点方程：( )( )( )di tCvtitCLdt图1思路？思路？哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系整理得：22( )7( ) 1

59、0 ( )( )6( )4 ( )22ddddi ti ti te te te tdtdtdtdt（2）求完全响应的形式齐次解： 特征方程：27100特征根：2,512 齐次解形式：25( )(0 )12ttitA eA eth特解：0t 时， ， 自由项为16，所以设 代入原方程，解得( )4e tV( )itBp85B 完全解的形式：825( )(0 )125tti tA eA et哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系（3）确定换路后的初始条件(0 ),(0 )diidt方法一：换路前 24(0 )(0 )512436(0 )0,(0 )(0 )2525iiAL

60、RRdiviRCLdt换路后11614(0 ) (0 )(0 )(4)155111(0 )(0 )(0 )(0 )11111 144( (0 )(0 )0()211 55ievACRddddieveCdtRdtdtRdtAiiLsC 哈尔滨工业大学（威海）通信工程系哈尔滨工业大学（威海）通信工程系方法二：由题意知， 的波形如图：即 。 当 时微分方程为( )e t2V4V0t( )e t( )2 2 ( )e tu t 0t 2( )7( ) 10 ( )2( ) 12 ( ) 16 ( )2ddi ti ti tttu tdtdt所以可设：22( )( )( )( )( )( )( )( )