工程力学-第七章绪论第八章轴向拉伸与压缩

1、2022年年5月月1日日第七章 绪 论l主要任务主要任务：研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏或失效的规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度与稳定性分析的基本理论与方法。 l工程实际中的构件，形状多种多样，主要可分为杆件与板件。 l杆件杆件：一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件。简称为杆。 l杆件的形状与尺寸由其轴线与横截面确定，轴线通过横截面的形心，横截面与轴线相正交。 材料力学的主要研究对象研究对象：杆杆 l根据轴线与横截面的特征，杆件可分为：等截面杆、变截面杆、直杆与曲杆。l等截面直杆的分析计算原理。一般也可近似用于曲率较小的曲杆与截面无显著变化的变截面杆。l板件板件：一个方向

2、的尺寸远小于其它两个方向的尺寸的构件。l中面中面：平分板件厚度的几何面，称为中面。l板板：中面为平面的板件称为板。l壳壳：中面为曲面的板件称为壳。 l为便于对构件进行强度、刚度和稳定性的理论为便于对构件进行强度、刚度和稳定性的理论分析，根据材料的主要性质对其作如下假设：分析，根据材料的主要性质对其作如下假设： 连续性假设、均匀性假设、各向同性假设。连续性假设、均匀性假设、各向同性假设。连续性假设连续性假设：假设构件在其整个体积内都毫无空隙的充满了物质，即认为是密实的。则构件的一些物理量（例如各点的位移），即可用坐标的连续函数表示，并可采用无限小的数学分析方法。 均匀性假设均匀性假设：假设构件在

3、其整个体积内都由同一种物质组成，即材料的力学性能与其在构件中的位置无关，认为是均匀的。则构件内部任何部位所切取的微小单元体（简称为微体），都具有与构件完全相同的性质。通过对微体所测得的力学性质，也可用于构件的任何部位。 各向同性假设各向同性假设：假设材料沿各个方向具有相同的力学性质，即认为是各向同性的。 l综上所述，在材料力学中，一般将实际材料看作是连续、均匀与各向同性的可变形固体。实践表明，在此基础上所建立的理论与分析计算结果，符合工程要求。 l外力外力：其它构件与物体作用在所研究构件上的力均为外力，包括载荷与约束力。根据外力在构件表面的分布情况，外力又分为分布力与集中力。按载荷随时间变化的

4、情况，外力又分为静载荷（随时间变化缓慢或不变化，加载过程中构件的加速度很小可以忽略不计）与动载荷（随时间变化显著或使构件各质点产生明显加速度的载荷）。 q内力与截面法：l内力产生的原因： 在外力作用下，由于构件发生变形，其内部各点均会发生位移，因而构件内部相连各部分之间产生相互作用力。F1FnF3F2内力内力：作用在切开截面上的连续分布力。(或由于外力作用，构件内部相连部分之间的相互作用力称为内力)。 静力学与材料力学 的研究对象不同， 故对内力的定义 也不同。 连续分布力系连续分布力系与外力组成平衡力系与外力组成平衡力系( (特殊情形下内力本身形特殊情形下内力本身形成自相平衡力系成自相平衡力

5、系) )F1FnF3F2l内力主矢与内力主矩内力主矢与内力主矩( (Resultant Force and Resultant Moment) )F1FnF3F2F1FRF3Ml内力分量内力分量( (Components of the Internal Forces) )FRFNFQMMyMx 在确定的坐标系中在确定的坐标系中, ,轴力、剪力、扭矩、弯轴力、剪力、扭矩、弯矩会产生相应的变形效应。矩会产生相应的变形效应。l基本变形与内力： 拉压杆拉压杆轴力轴力：沿轴线的内力分量称为轴力。 弯曲变形弯曲变形剪力剪力：作用线位于所切横截面的内力分量称为剪力。 弯曲变形弯曲变形弯矩弯矩：力偶矩的作用面

6、与轴线共面 称之为弯矩。扭转变形扭转变形扭矩扭矩：力偶矩的作用面与轴线垂直称之为扭矩。 l拉压杆轴力拉压杆轴力：沿轴线的内力分量称为轴力。FNFNFRFNFQl弯曲变形剪力弯曲变形剪力：作用线位于所切横截面的内力分量称为剪力。FQFQFRFNFQl弯曲变形弯矩弯曲变形弯矩：力偶矩的作用面与轴线共面（或矢量位于所切横截面的内力偶矩分量）称之为弯矩。MMyMxl扭转变形扭矩扭转变形扭矩：力偶矩的作用面与轴线垂直（或矢量沿轴线的内力偶矩分量）称之为扭矩。MMyMxl由下列平衡方程即可建立内力与外力的关系，或由外力确定内力。 0F 0,F 0,Fzyx0M 0,M 0,Mzyx截面法截面法：将杆件用假

7、想截面切开以显示内力，并用平衡方程求得内力的方法。 q应力应力：内力在截面上连续分布的集度。单位：帕斯卡（Pa）,兆帕（MPa）,1Pa=1N/m2, 1MPa=106Pa平均应力： AFpav截面mm上k点处的应力或总应力： AFlimp0A正应力正应力 ：沿截面法向的应力分量（或垂直于截面的应力）。用表示；切应力切应力：沿截面切向的应力分量（或位于截面内的应力） 。用表示。 显然， 222pq正应变与切应变正应变与切应变l平均正应变： s ka边原长； u长度改变量。suavk点沿着棱边ka方向的正应变正应变为： sulim0s切应变切应变：微体相邻棱边所夹直角的改变量。用表示。切应变的单

8、位为rad（弧度）。正应变与切应变均为无量纲的量。 第八章第八章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 l轴向拉伸或压缩变形轴向拉伸或压缩变形：杆件的主要变形为轴向伸长或缩短。 轴向载荷轴向载荷：作用线沿杆件轴线的载荷。 拉压杆拉压杆：以轴向拉压为主要变形的杆件。 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。屋架结构简图桁架的示意图（未考虑端部连接情况）l轴力轴力：在轴向载荷作用下，杆件的内力。l通常规定：拉力为正，压力为负拉力为正，压力为负。如下图，其值为：FN=F 。 求内力采用截面法求内力采用截面法l轴力计算： AB

9、段： 02F-F 0,FN1x2FFN1求内力采用截面法求内力采用截面法BC段：0F-F 0,FN2xFFN2l轴力的计算方法轴力的计算方法： l截开在需求轴力的横截面处，假想地将杆截开，并任选切开后的任一杆段为研究对象；l选取画所选杆段的受力图；l替代用内力来代替已去掉的一侧杆段对于所取杆段的作用力；l求解建立所选杆段的平衡方程，由已知外力计算切开截面上的未知轴力。 用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。轴力指向截面FN=-Fl轴力图轴力图：用平行于杆轴的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴的另一坐标表示轴力，这种表示轴力沿杆轴

10、变化情况的图线称为轴力图。例81 下图a所示右端固定阶梯形杆，承受轴向载荷F1与F2作用，已知F1=20kN, F2=50kN,试画杆的轴力图，并求出最大轴力值。 解：（1）计算支反力 设杆右端的约束力为FR，则由整个杆的平衡方程 0F-F -F 0,FR12x得30kN20-50F-FF12Rl（2）分段计算轴力 设AB与BC段的轴力均为拉力，并分别用FN1与FN2表示，则由下图知： 20kNFF1N10kN-FFRN23 所得负值说明BC段轴力的实际方向与所设方向相反，即应为压力。 （3）画轴力图：据上述轴力值，画轴力图，轴力的 最大绝对值为 0kNFmaxN3例题例题 试作此杆的轴力图。

11、等直杆的受力示意图(a)为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN为方便，取横截面11左边为分离体，假设轴力为拉力，得FN1=10 kN(拉力)解：解：为方便取截面33右边为分离体，假设轴力为拉力。FN2=50 kN(拉力)FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。kN502NmaxN, FF思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？ 综上，杆件各截面上内力综上，杆件各截面上内力变化规律随着外力的变化而变化规律随着外力的变化而改变。各点处内力为改变。各点处内

12、力为一侧FFNlP162 81 （c）、（d）。q拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力 ：拉压杆的平面假设拉压杆的平面假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与杆轴垂直，只是横截面间沿杆轴相对平移。 横截面上各点处的应力： AFN或AFFN轴力，FN=FA杆横截面面积 xFNxA横截面上各点处的应力： 一侧FFNxq拉压杆斜截面上的应力拉压杆斜截面上的应力 ：设拉压杆的横截面积为A，得杆左段的平衡方程为 0F-cosAp由此得截面上的应力为cosAFcosp0式中， ，即杆件横截面上的正应力。 F/A0l将 沿截面法向与切向分解，得斜截面上的正应力与切应力分别为cosp020coscospsi

13、n22sinp0可见，在拉压杆的任一斜截面上，不仅存在正应力，在拉压杆的任一斜截面上，不仅存在正应力，而且存在切应力，其大小均随截面方位变化。而且存在切应力，其大小均随截面方位变化。20coscospsin22sinp0当 时，正应力最大，其值为 即拉压杆的最大正应力发生拉压杆的最大正应力发生在横截面上，其值为在横截面上，其值为0。000max当 时，切应力最大，其值为即拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成450的斜截面上，的斜截面上，其值为其值为 。045/20/20maxl方位角与切应力的正负号规定方位角与切应力的正负号规定：以x轴为始边，方位角 为逆时针转向者

14、为正；将截面外法线0n沿顺时针方向旋转900，与该方向同向的切应力 为正。)()()()(思考： 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上？ l圣维南圣维南(Saint-Venant)原理原理 ：“力作用于杆端方式力作用于杆端方式的不同，只会使与的不同，只会使与杆端距离不大于杆杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围的横向尺寸的范围内受到影响内受到影响”。l例题8-2下图a所示右端固定阶梯形圆截面杆，承受轴向载荷F1与F2作用，已知F1=20kN, F2=50kN,杆段AB与BC的直径分别为d1=20mm,d2=30mm,试计算杆内横截面上的最大正

15、应力。 解：由左图分析知，)( 20kNFF1N1拉)( 0kN-FFRN2压3AB段内任一横截面的正应力为拉应力 63.7MPaPa. m1020N10204dFAF23-3N11N11721103764BC段内任一横截面的正应力为压应力 MPa. -Pa. -m1030N1030-4dFAF23-3N22N22442102444722可见，杆内横截面上的最大正应力为MPa.1max763 例题 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F = 50 kN。 段柱横截面上的正应力12所以，最大工作应力为 max= 2= -1.1 MPa (压应力） 解：段柱横截面上的正应力

16、MPa87. 0Pa1087. 0 )m24. 0()m24. 0(N10506311N1AF(压应力)MPa1 . 1Pa101 . 1 m37. 0m37. 0N101506322N2AF(压应力)l例题8-3 下图所示轴向受压等截面杆，横截面面积A=400mm2，荷载F=50kN，试求斜截面mm上的正应力与切应力。mm400FFmm500500500解：杆件横截面的正应力为Pa-1.25mN1050-AF6-3N0821010400斜截面的方位角为050则MPa.-cos-125MPacos225006515000MPa.-61sin102MPa-sin205060125200l构件的强

17、度、刚度与稳定性不仅与材料的形状、尺寸及所受的外力有关，而且与材料的力学性能有关。 q拉伸试验与应力应变图拉伸试验与应力应变图 环境：常温、静载试件：10倍或5倍试件标距：试验段的长度（l10d或l=5d）。 拉伸图： q低碳钢的拉伸力学性能低碳钢的拉伸力学性能 四个阶段四个阶段：线性阶段比例极限P，弹性极限e；屈服阶段屈服极限s（出现滑移线）；硬化阶段强度极限b；颈缩阶段局部颈缩。 l应力应变曲线韧性金属材料韧性金属材料P比例极限e弹性极限s屈服极限b强度极限低碳钢l断断裂裂行行为为低碳钢卸载与再加载规律卸载与再加载规律： 弹性变形：卸载后能够恢复的变形。 塑性变形（残余变形）：卸载后不能恢

18、复的变形。 冷作硬化：由于预加塑性变形，而使材料的比例极限（或弹性极限）提高的现象。 弹性阶段：OB段材料的塑性材料的塑性塑性（或延性）：材料能经受较大变形而不破坏的能力。100%ll0100%AA-A1%5%5两个塑性指标 ：伸长率伸长率（延伸率）：（延伸率）：断面收缩率断面收缩率： 塑性材料塑性材料：延伸率较大，试件断裂时 。脆性材料脆性材料：延伸率较小，试件断裂时 。q其他材料的拉伸力学性能其他材料的拉伸力学性能 名义屈服极限（屈服强度名义屈服极限（屈服强度）：对于不存在明显屈服阶段的塑性材料，工程中通常以卸载后产生数值为0.2的残余应变的应力作为屈服应力，称为名义屈服极限。用0.2表示

19、。 灰铸铁拉伸时的应力应变曲线 ：断裂时的应变仅为0.40.5，断口垂直于试断口垂直于试件轴线，即断件轴线，即断裂发生在最大裂发生在最大拉应力作用面。拉应力作用面。 脆性材料脆性材料某种碳环氧复合材料沿纤维方向与垂直于纤维方向的拉伸应力应变曲线 复合材料因其具有强度高、刚度大与比重小的特点，故近年来得到广泛应用。 韧性金属材料脆性材料失效形式：失效形式：q材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能 ： 低碳钢在压缩时的应力应变曲线（屈服阶段以前同拉伸应力应变曲线）： 与拉伸试验不同的是：随着压力随着压力的增大，低碳钢的增大，低碳钢试件越压扁平，试件越压扁平，而不断裂而不断裂。 灰口铸铁的应力

20、应变曲线： 断口方位角为550600。 由于在该截面上存在较大的切应力，故灰铸铁的压缩破坏方式为剪断。 灰铸铁的压缩强度极限约为其拉伸强度极限的灰铸铁的压缩强度极限约为其拉伸强度极限的34倍倍。l综上所述：l塑性材料适用于受拉构件；l脆性材料适用于受压构件：如机床的床身、机器的底座等。q实验现象解释实验现象解释：对于脆性材料脆性材料：其抗拉能力低于抗剪能力抗拉能力低于抗剪能力，受拉时，由于横截面具有最大拉应力，当该截面上的最大拉应力首先达到材料的抗拉强度极限时，就在该截面发生拉断破坏，断口发生在横截面；受压时，由于与杆轴成1350的斜截面上具有最大剪应力，因此，断口发生在该截面，为剪断破坏。对

21、于塑性材料塑性材料：其抗剪能力低于抗拉能力抗剪能力低于抗拉能力，对于抛光的构件（试样表面光滑），由于与杆轴成450的斜截面上具有最大切应力，当材料屈服时，试样表面将出现与轴线成450的线纹，即滑移线，上述线纹可能是材料沿该截面产生滑移所造成。 l应力集中应力集中：由于截面急剧变化所引起的应力局部增大现象，称为应力集中。应力集中的程度用应力集中因数K表示，其定义为 nmaxKmax最大局部应力；n名义应力，是在不考虑应力集中的条件下求得的。l截面AA上的名义应力名义应力为 d-bFnF拉力， 板厚，B板宽， d孔径。bl左图为含圆孔板件在轴向受力时的应力集中因数。 nmaxKd-bFnq应力集中

22、对构件强度的影响 设计脆性材料时应考虑应力集中的影响。塑性材料可不考虑。 交变应力（循环应力）交变应力（循环应力）：构件受随时间循环变化的应力。 疲劳破坏疲劳破坏：在交变应力作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象。 q失效（破坏）与许用应力失效（破坏）与许用应力 v失效（破坏）形式失效（破坏）形式：对脆性材料，当其正应力达到强度极限b时，会引起断裂而失效； 对塑性材料，当其正应力达到屈服极限s时，会产生显著的塑性变形而失效； 构件在交变应力的作用下，可能发生疲劳破坏而失效。 v极限应力极限应力：通常将强度极限与屈服极限统称为极限应力，并用u表示。max= u= bmax= u= sv工作应力

23、工作应力：根据分析计算所得构件之应力。v许用应力许用应力：为给构件留有必要的储备，构件工作应力的最大许用值，必须低于材料的极限应力。对于由一定材料制成的具体构件，工作应工作应力的最大容许值力的最大容许值，称为材料的许用应力许用应力，并用表示。v许用应力值与极限应力的关系为： nun安全系数安全系数，塑性材料通常为1.52.2；脆性材料通常为3.05.0，甚至更大。 q强度条件强度条件： maxNmaxAF对于等截面杆 AFmax ,N如果工作应力值max超过了许用应力，但只要超过量(两者之差)不大于许用应力的5，在工程计算中仍然允许。 v工程力学为工程技术解决实际问题，利用强度工程力学为工程技

24、术解决实际问题，利用强度条件公式及其变换形式，可解决三类强度问题，条件公式及其变换形式，可解决三类强度问题，具体步骤如下具体步骤如下：用静力学平衡条件求出外力； 用截面法求出杆内力、应力； 利用强度条件解决三类问题： 校核强度校核强度 选择截面尺寸选择截面尺寸 确定承载能力确定承载能力 maxNmaxAF AFmax ,N 例题 试选择计算简图如图中(a)所示桁架的钢拉杆DI的直径d。已知：F =16 kN，=120 MPa。2. 求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径由于圆钢的最小直径为10 mm，故钢拉杆DI采用f10圆钢。mm2 . 9m102 . 9)m107 .66(44m107 .66

25、Pa10120N1083262693NAdFA解:1. 由图中(b)所示分离体的平衡方程得kN82NFF 例题 图中(a)所示三角架(计算简图)，杆AC由两根80 mm 80 mm7 mm等边角钢组成，杆AB由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，=170 MPa。试求许可荷载F。解 : 1. 根据结点 A 的受力图(图b)，得平衡方程：030sin 0030cos 0N1N1N2FFFFFFyxFF21N(拉)（压）FF732. 12N解得2. 计算各杆的许可轴力 先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积，再乘以2得由强度条件 得各杆的许可轴力：NAFkN20.486N1

26、020.486)mm2860()MPa170(kN24.369N1024.369)mm2172()MPa170(322N321NFF221mm17222)mm0861 (A杆AC的横截面面积222mm86022)mm4301 (A杆AB的横截面面积3. 求三角架的许可荷载先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载：kN6 .1842kN24.36921N1FFkN7 .280732. 1kN20.486732. 1N22FF 此例题中给出的许用应力=170 MPa是关于强度的许用应力；对于受压杆AB 实际上还需考虑其稳定性，此时的许用应力将小于强度许用应力。该三角架的许可荷载应是F1 和 F2中

27、的小者，所以kN6 .184Fl例题例8-5 图8-27a所示吊环，由圆截面斜杆AB、AC与横梁BC所组成。已知吊环的最大吊重为F=500kN，斜杆用锻钢制成，其许用应力=120 MPa，斜杆与拉杆轴线的夹角为=200，试确定斜杆的直径。l例题l练习： P164 813l P164 813l P164 814l作业： P164 815l P164 816 l轴向变形轴向变形：当杆件承受轴向载荷时，其轴向及横向尺寸均发生变化。沿轴线方向的变形即轴向变形。l横向变形横向变形：垂直轴线方向的变形为横向变形。 l拉压杆的轴向变形与胡克定律拉压杆的轴向变形与胡克定律 ：l轴向拉压试验表明，在比例极限内，

28、正应力与正应变成正比，即： 胡克定律胡克定律： E上式中，比例系数E称为材料的弹性模量弹性模量(modulus of elasticity) ，其值因材料而异，由实验测定，单位为Gpa。 且 1Gpa=109Pa 低碳钢(Q235)： GPa210GPa200Pa1010. 2Pa1000. 21111El由虎克定律研究拉压杆的轴向变形 ： llll -l1AFAFNEAlFlN乘积EA称为杆截面拉压刚度。轴向变形与轴力FN具有相同的正负号，即伸长时为正，缩短时为负。 l拉压杆的横向变形与泊松比拉压杆的横向变形与泊松比(Poissons ratio) ：l设杆件的原宽度为b，在轴向拉力作用下，其宽度变为b1，则杆的横向变形为：b=b1-b l杆的横向正应变为 ：E- 实验表明，横向正应变与轴向正应变恒为异号。试验还表明，在比例极限内，横向正应变与轴向正应变成正比。则泊松比为： 在比例极限内，泊松比是一个常数，其值因材料而异，由实验测定。由上两式推导出：-bbbb-b1低碳钢(Q235)：n =