应力状态--工程力学

1、1第第8章章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论8.1.1 引言引言基本变形强度条件的建立基本变形强度条件的建立试验测得极限应力试验测得极限应力许用应力许用应力实际情况实际情况max max 两类强度条件：两类强度条件：用于单向应力的情况。如拉压，弯曲。用于单向应力的情况。如拉压，弯曲。用于纯剪切的情况。如扭转。用于纯剪切的情况。如扭转。但在实际应用时，这些强度条件的局限性很大。但在实际应用时，这些强度条件的局限性很大。2（1）过受力构件一点任意斜截面上一般都存在应力。）过受力构件一点任意斜截面上一般都存在应力。（2）受力构件的破坏都与极值应力有关，而极值应力不）受力构件的破坏都与极值应力有

2、关，而极值应力不一定作用在横截面上。一定作用在横截面上。 材料的破坏面与该面上的应力密切相关，由内力的概材料的破坏面与该面上的应力密切相关，由内力的概念和拉压杆斜截面上的应力，可知：念和拉压杆斜截面上的应力，可知：3 实际构件大部分都承受组合变形，要讨论组合变形的强度问实际构件大部分都承受组合变形，要讨论组合变形的强度问题，必须研究过一点不同截面上的应力情况。题，必须研究过一点不同截面上的应力情况。 通过受力构件内某一点处各个截面上应力大小和方向的情通过受力构件内某一点处各个截面上应力大小和方向的情况，称为该点处的应力状态。况，称为该点处的应力状态。 一般构件内各点的应力情况并不相同，讨论构件

3、的强度时，一般构件内各点的应力情况并不相同，讨论构件的强度时，选取横截面上各种应力都大的点选取横截面上各种应力都大的点，分析该点的应力，分析该点的应力状态。状态。4截截 取取 单单 元元 体体（直直 角角 六六 面面 体体）原始单元体（一般单元体）：原始单元体（一般单元体）：各侧面应力已知各侧面应力已知5PPFNFNAFN 从拉压杆内截取单元体。从拉压杆内截取单元体。明确横截面明确横截面单元体的受力用应力表示单元体的受力用应力表示6M=PxAyPxmz在在x横截面的横截面的A、B点截取单元体点截取单元体TPMW zWM xyz明确横截面明确横截面明确自由表面明确自由表面MT=mM=Px7（1）

4、边长无限小，各个侧面上应力可认为均布。）边长无限小，各个侧面上应力可认为均布。（2）相互平行的面上应力等值反向，等于过一点相应的截面）相互平行的面上应力等值反向，等于过一点相应的截面 上的应力。上的应力。（3）单元体上的斜截面表示过该点的斜截面。）单元体上的斜截面表示过该点的斜截面。 构件平衡，单元体也平衡。若已知单元体上各个侧面构件平衡，单元体也平衡。若已知单元体上各个侧面的应力，可以利用平衡原理求任意斜截面上的应力。的应力，可以利用平衡原理求任意斜截面上的应力。 （4）单元体的三个相互垂直的截面上的应力可以表示一点单元体的三个相互垂直的截面上的应力可以表示一点的应力状态。的应力状态。 研究

5、一点的应力状态，就是研究该点处单元体上各截面研究一点的应力状态，就是研究该点处单元体上各截面的应力情况。的应力情况。88.1.4 主单元体、主平面和主应力主单元体、主平面和主应力切应力为零的面。切应力为零的面。主平面上的正应力，用主平面上的正应力，用 1 1、 2 2、 3 3表示，表示，且且按代数值排列按代数值排列 1 1 2 2 3 3。寻找主单元体和主应力。寻找主单元体和主应力。构件内任一点构件内任一点总存在总存在一个特殊的单元体，一个特殊的单元体，相相互垂直的互垂直的各侧面上切应力为零，该单元体为各侧面上切应力为零，该单元体为9只有一个主应力不为零的应力状态。只有一个主应力不为零的应力

6、状态。（平面应力状态）（平面应力状态）有二个主应力不为零的应力状态。有二个主应力不为零的应力状态。三个主应力均不为零的应力状态。三个主应力均不为零的应力状态。（空间应力状态）（空间应力状态）特例特例特例特例复复杂杂应应力力状状态态(简单应力状态）简单应力状态）108.2 二向应力状态分析的解析法8.2.1 斜截面上的应力11根据平衡条件 ，得cos2sin222xyxyx-sin2cos22xyx-表明，斜截面上的正应力和切应力随的变化而变化，即和都是的连续函数。 128.2.2 主应力与主平面cos2sin222xyxyx-将式对求导，得 若上式等于零，则表明有极值存在。比较有极值，则对应切

7、应力等于零。主平面的位置为d2sin2cos2d2xyx骣桫-02tan2xxy-sin2cos22xyx-13主应力主应力和主平面对应关系的确定方法为主应力和主平面对应关系的确定方法为：如约定xy，则确定的两个0中，绝对值较小的一个确定max所在的平面。否则绝对值较小的一个确定min所在平面。 8.2.3 极值切应力用完全相似的方法 ，可得2max2min22xyxyx骣 镧桫 -()2max2min2xyx骣 桫-1tan22xyx-02tan2xxy-01tan2tan21-1045主平面逆时针旋转450即可得到极值切应力所对应的平面。 14另外，在有极值切应力的截面上，正应力 12xy

8、158.4 三向应力状态分析简介2max2min22xyxyx骣 镧桫 -()2max2min2xyx骣 桫-12122232321313213max2maxminmax2168.5 广义胡克定律求1，2，3方向的应变根据叠加原理，先分别求出单个主应力作用下的应变，然后代数叠加即可。应变123111和应变1E1E1E2E2E2E3E3E3E3121E1231E2131E17112322133312111EEE适用条件：只有当材料是各向同性时，而且处于线弹性范围内时。 用途：电测基础。18max max 前面讨论基本变形时，根据实验，建立两类强度条件：前面讨论基本变形时，根据实验，建立两类强度条

9、件：用于单向应力的情况。如拉压，弯曲。用于单向应力的情况。如拉压，弯曲。用于纯剪切的情况。如扭转、弯曲。用于纯剪切的情况。如扭转、弯曲。只用于简单的应力状态。只用于简单的应力状态。8.6工程设计中常用的强度理论工程设计中常用的强度理论 认为材料的破坏是由某一因素（应力、应变、应变能）所认为材料的破坏是由某一因素（应力、应变、应变能）所引起的。无论材料处于何种应力状态，破坏现象相同，破坏引起的。无论材料处于何种应力状态，破坏现象相同，破坏的原因就相同。即导致材料破坏这一因素达到了极限值。的原因就相同。即导致材料破坏这一因素达到了极限值。强度理论强度理论19脆性断裂脆性断裂塑性屈服塑性屈服强度失效

10、的主要形式强度失效的主要形式强度理论强度理论分为两类分为两类第一强度理论第一强度理论第二强度理论第二强度理论第三强度理论第三强度理论第四强度理论第四强度理论20 对于脆性材料，如铸铁、陶瓷、工具钢的对于脆性材料，如铸铁、陶瓷、工具钢的脆性断裂均可适用脆性断裂均可适用；最大拉应力最大拉应力 1 1过大。过大。8.6.1最大拉应力理论最大拉应力理论lim 1 limn 1 没有考虑其余主应力影响，且不能用于没有拉应力的没有考虑其余主应力影响，且不能用于没有拉应力的应力状态，如单向、三向压缩等。应力状态，如单向、三向压缩等。（第一强度理论）（第一强度理论）21lim 1 对于脆性材料在压应力状态及二

11、向拉压应力状态对于脆性材料在压应力状态及二向拉压应力状态，压应力较大时，与实际大致符合。在一般情况下，不如第一，压应力较大时，与实际大致符合。在一般情况下，不如第一理论符合实际。理论符合实际。最大伸长应变最大伸长应变 1 1过大。过大。8.6.2最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论 32111 ElimmaxE （第二强度理论）（第二强度理论） limEE 1231即即： limn 12322231max limslim 022单向拉伸屈服时单向拉伸屈服时 ： 1 1 s 、 2 2 0 、 3 3 0 对于常用的塑性材料如对于常用的塑性材料如Q235235、4545钢、铜、铝等钢、铜、铝等材

12、料的塑性屈服是符合的。且形式简单，符合实际，偏于材料的塑性屈服是符合的。且形式简单，符合实际，偏于安全，广泛应用。但没有考虑安全，广泛应用。但没有考虑 2 2 。最大切应力最大切应力 max过大过大8.6.3最大切应力理论最大切应力理论 limn 13lim 13即即 ：lim max（第三强度理论）（第三强度理论） lim：为单向拉伸屈服时的应力。（屈服极限为单向拉伸屈服时的应力。（屈服极限 s ）23形状改变比能过大。形状改变比能过大。8.6.4形状改变比能理论形状改变比能理论比最大切应力理论更符合试验结果。比最大切应力理论更符合试验结果。（第四强度理论）（第四强度理论） lim 2221

13、2233112 21323222121可以说明在三向等压应力状态材料不会屈服。可以说明在三向等压应力状态材料不会屈服。24对于不同的强度理论，相当应力为：对于不同的强度理论，相当应力为：11 r 3212 r313 r 213232221421 r四个强度理论的强度条件统一表示为：四个强度理论的强度条件统一表示为： rr 称为称为。 对于复杂应力状态，一点处相当应力的大小决定着该点的对于复杂应力状态，一点处相当应力的大小决定着该点的相当应力：相当应力：25nntDt作用于筒底的压力（沿轴线）作用于筒底的压力（沿轴线）24FpD 在在P作用下，横截面上的内力作用下，横截面上的内力24NFPpD

14、横截面上的应力横截面上的应力24NpDFADt tpD 4薄壁圆筒薄壁圆筒pnnP（1）横截面上的应力）横截面上的应力 NF【例【例8.2】 如图所示，受内压的薄壁圆筒。设圆筒的平均直径为如图所示，受内压的薄壁圆筒。设圆筒的平均直径为D，壁厚为壁厚为t (t D)，内压的压强为，内压的压强为p，试分析其强度计算。，试分析其强度计算。解：解：20Dt平均直径平均直径壁厚壁厚 26（1）横截面上的应力）横截面上的应力薄壁圆筒薄壁圆筒p20Dt平平均均直直径径壁壁厚厚 tpD 4 nnmmlmnmn（2）含直径的纵向截面上的应力）含直径的纵向截面上的应力 圆筒均匀涨大，包含直径的纵向截面圆筒均匀涨大

15、，包含直径的纵向截面上的应力相同，均为拉应力。上的应力相同，均为拉应力。Nl t 纵向截面上的合力纵向截面上的合力d 对应圆筒的微面积对应圆筒的微面积dAldDdA 2 dDlpdApdP 2其上微压力其上微压力合力在合力在y 轴上的投影轴上的投影plDddlpdPY 00sin2sin由对称性，由对称性，合力在合力在x轴上的投影轴上的投影为为0。0yF 20p l DN 02 tldlp NNtD txyp d 均布压强作用于半园柱面，均布压强作用于半园柱面，其合力等于半园柱面在直径平其合力等于半园柱面在直径平面上的投影面积乘以压强。面上的投影面积乘以压强。tpd 2 27【例【例8.2】 如图所示，受内压的薄壁圆筒。设圆筒