建筑力学——扭转

1、3-3 3-3 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图第三章第三章 扭转（了解）扭转（了解）3-1 3-1 概述概述3-2 3-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转3-4 3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力 强度条件强度条件3-5 3-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形 . .刚度条件刚度条件3-6 3-6 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形建筑力学建筑力学3- -1 概概 述述变形特点：变形特点： . 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； . 杆表面的纵向线变成螺旋线； . 实际构件在工作时除发生扭转变形外， 还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点：受力特点： 圆

2、截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转。MeMe建筑力学建筑力学圆轴扭转变形建筑力学建筑力学 本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。n主动轮从动轮叶片主轴Me建筑力学建筑力学3- -2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒薄壁圆筒通常指 的圆筒100r 当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩扭矩eMT mmTMe lMemmMe r0O 建筑力学建筑力学薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转建筑力学建筑力学 1. 薄壁圆

3、筒横截面上各点处切应力的变化规律薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律推论：推论：(1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如 同刚性平面一样；(2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。MeADB CMej jg g建筑力学建筑力学横截面上的应力横截面上的应力：(1) 只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的切应力相同；(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3) 横截面上无正应力。Memmxr0t dA建筑力学建筑力学2. 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：TrAAdt由 根据应力分布可知t02AT引进，上式亦可写

4、作200rA t200002)2(drTrrTArTAATArd0t ，于是有Memmxr0t dA建筑力学建筑力学3. 3. 剪切胡克定律剪切胡克定律(1) 上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g g，这种直角改变量称为切应变。(2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角。(3) 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是 不沿壁厚变化的，故有 ，此处r0为薄壁圆筒的平均半径。lr0jgMeADB CMej jg gl建筑力学建筑力学 薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t 不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T )与相对扭

5、转角j 成线性正比例关系，从而可知t 与g 亦成线性正比关系：gtG 这就是材料的剪切胡克定律剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量切变模量。 钢材的切变模量的约值为：G =80GPaMeADB CMej jg g建筑力学建筑力学1. 扭矩及扭矩图 圆轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。TMeMeTT = MeMeMe113-3 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图建筑力学建筑力学 扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。T(+)T(-)建筑力学建筑力学 例题例题3- -1 一传动轴如图，转速 ,试作轴的扭矩图。 minr300n建筑力学建筑力学解解：1. 作用在

6、各轮上的外力偶矩建筑力学建筑力学M1 = 15.93 kN.mM2 = M3 = 4.78 kN.mM4 = 6.37 kN.m2. 计算各段的扭矩BC段内：mkN78. 421MTAD段内：mkN37. 643 MTCA段内：mkN9.56322MMT(负)注意这个扭矩是假定为负的建筑力学建筑力学3. 作扭矩图 由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56 kNm。 建筑力学建筑力学3- -4 等直圆杆（实心）扭转时的应力等直圆杆（实心）扭转时的应力强度条件强度条件1. 横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况( (问题的几何方面问题的几何方面) )横截面上应变的变

7、化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系( (问题的物理方面问题的物理方面) )内力与应力的关系横截面上应力的计算公式( (问题的静力学方面问题的静力学方面) )建筑力学建筑力学 表面变形情况：(a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b) 纵向线倾斜了一个角度g 平面假设等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。(1) 几何方面建筑力学建筑力学横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：xEGGGddtanjgg即xddjgbbTTO1O2dj GGDDa

8、adxAEggEAO1Ddj DGGO2d/2dxgg建筑力学建筑力学xddjg 式中 相对扭转角j 沿杆长的变化率，常用j 来表示，对于给定的横截面为常量。xddj 可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切应变g 均相同；g 与 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。bbTTO1O2dj GGDDaadxAEgg建筑力学建筑力学xGGddjgt(2) 物理方面由剪切胡克定律 t Gg 知 可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切应力t 均相同，其值 与 成正比，其方向垂直于半径。建筑力学建筑力学ppITGITGt(3) 静力学方面其中 称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。A

9、Ad2 dTAAt从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式pddGITxjAAId2p以 代入上式得：TAxGAddd 2j即建筑力学建筑力学pppmaxWTrITITrtpITtTmaxtmaxtd式中Wp称为扭转截面系数，其单位为 m3。横截面周边上各点处( r)的最大切应力为TmaxtmaxtdD建筑力学建筑力学实心圆截面：32d24203dd圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp162/3ppddIWAAId2p建筑力学建筑力学空心圆截面：(DdDdDAIDdA其中44442232p13232 d2d(4344pp116162/DDdDDIW建筑力学建筑力学低

10、碳钢扭转试验开始低碳钢扭转试验结束建筑力学建筑力学低碳钢扭转破坏断口 建筑力学建筑力学铸铁扭转破坏试验过程铸铁扭转破坏断口建筑力学建筑力学 思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？建筑力学建筑力学2.2. 强度条件强度条件maxtt此处t为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即pmaxtWT 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。建筑力学建筑力学 例题例题3- -4 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径

11、d2=100 mm。扭转力矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力t 80 MPa。试校核该轴的强度。建筑力学建筑力学BC段内(MPa3 .71Pa103 .71 m1010016mN101463332p2max, 2WTtAB段内(MPa8 .64Pa108 .64 m1012016mN102263331p1max, 1WTt解：解：1. 绘扭矩图 2. 求每段轴的横截面上的最大切应力建筑力学建筑力学3. 校核强度 需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。 t2,max t1,max，但有t2,maxt =

12、 80MPa，故该轴满足强度条件。建筑力学建筑力学3-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形刚度条件刚度条件1. 扭转时的变形扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) j 来度量。MeADB CMej jg g建筑力学建筑力学 当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有pGITlj 由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角j为pddGITxjjllxGIT0pddjj建筑力学建筑力学解：解： 1. 各段轴的横截面上的扭矩：mN637 ,mN95521TT 例题例题3

13、- -5 图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 Nm，M2 = 955 Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的切变模量G = 80 GPa。试求横截面C相对于B的扭转角jCB。建筑力学建筑力学(rad1069. 1m107032Pa1080m10500mN63734393P2GIlTACCAj3. 横截面C相对于B的扭转角：(rad1017. 0rad1069. 1rad1052. 1333CAABCBjjj(rad1052. 1m107032Pa1080m10300mN95534393P1GIlTABABj2. 各

14、段轴的两个端面间的相对扭转角：建筑力学建筑力学2. 2. 刚度条件刚度条件式中的许可单位长度扭转角j的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴j0.150.30 ()/m；对于一般的传动轴j2 ()/m。maxjj180pmaxjGIT建筑力学建筑力学解解: 1. 按强度条件求所需外直径D(有由因 ,161516116pmaxmax343pttWTDDWm10109Pa10401615mN1056. 916161516363max33tTD 例题例题3-6 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比 = 0.5 。已知材料的许用切应力t = 40 MP

15、a，切变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax = 9.56 kNm，轴的许可单位长度扭转角j=0.3 ()/m。试选择轴的直径。建筑力学建筑力学2. 按刚度条件求所需外直径D(有由因180 ,161532132pmax444pjGITDDIm105 .125m/ )(3 . 011801615Pa1080mN1056. 9321180161532393max44jGTDmm75.62d3. 空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据 = d/D = 0.5知建筑力学建筑力学3- -6 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应

16、力和变形1. 1. 等直非圆形截面杆扭转时的变形特点等直非圆形截面杆扭转时的变形特点 横截面不再保持为平面而发生翘曲。平面假设不再成立。 自由扭转(纯扭转)等直杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而无正应力。建筑力学建筑力学 约束扭转非等直杆，或非两端受外力偶作用，或端面不能自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度不同，横截面上除切应力外还有附加的正应力。建筑力学建筑力学2. 2. 矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解一般矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆建筑力学建筑力学(1) 一般矩形截面等直杆一般矩形截面等直杆横截面上的最大切应力在长边中点处：Wt扭转截面系数，Wt=bb3，b 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。tmaxWTt横截面上短边中点处的切应力： t ntmaxn 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。单位长度扭转角： It相当极惯性矩， , 为与m = h/b 相关的因数(表3-1)。tGITj4tbI建筑力学建筑力学表3-1 矩形截面杆在自由扭转时的因数，b 和 nm