高等数学第五节 无穷小量和无穷大量 无穷小量的运算ppt课件

1、定义一定义一 假设在假设在 x 的某种趋向下，函数的某种趋向下，函数 f (x) 以零为极以零为极限，那么称在限，那么称在 x 的这种趋向下，函数的这种趋向下，函数f (x)是无穷小量是无穷小量.例如例如,0sin lim0 xx.0sin时是无穷小量时是无穷小量当当函数函数xx,01lim xx.1时时是是无无穷穷小小量量当当函函数数 xx,0)1(lim nnn. )1( 时时是是无无穷穷小小量量当当数数列列 nnn例如，例如，,0)42( lim2 xx. 2 42)(时时是是无无穷穷小小量量当当函函数数 xxxf. 1 42)(时时不不是是无无穷穷小小量量当当但但函函数数 xxxf留意

2、留意1.无穷小量是函数变量，不能与很小的数混淆无穷小量是函数变量，不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小量的独一的数零是可以作为无穷小量的独一的数.3. 说函数说函数 f (x) 是无穷小量，一定要指明是无穷小量，一定要指明 x 的变化趋向的变化趋向.7.13)( 2 xxfx时时，当当例如，例如，显然，显然，0.7137)( 2 xxfx时时，当当713)( xxf637)( xxf),()( ),()( xAxfxAxf 则则令令定义一定义一 假设在假设在x的某种趋向下，函数的某种趋向下，函数f(x)的绝对值可的绝对值可以恣意地大，那么在以恣意地大，那么在x的这种趋向下，称函数的这种趋

3、向下，称函数f(x)是无是无穷穷大量大量. 记作记作.)(lim xf,)(lim0 xfxx,)(lim xfx.)(lim xfx.1lim0 xx例如，例如，.lim2 xxxy2xy xy1 o,)(lim xfx留意：无穷大量是函数，不能与很大的数混淆留意：无穷大量是函数，不能与很大的数混淆. .无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系定理二定理二. 0)(1lim )(lim xfxf，则则若若. 0)(1lim ,)(lim00 xfxfxxxx则则若若. 0)(1lim ,)(lim xfxfxx则则若若. 0)(1lim ,)(lim xfxfxx则则若若. 0)(1lim

4、,)(lim xfxfxx则则若若定理三定理三.)(1lim )0)(0)(lim xfxfxf，则则若若.)(1lim ,0)(lim00 xfxfxxxx则则若若.)(1lim ,0)(lim xfxfxx则则若若.)(1lim ,0)(lim xfxfxx则则若若.)(1lim ,0)(lim xfxfxx则则若若. 0)(: xf条件条件定理三、四的意义：关于无穷大的讨论，都可归结为定理三、四的意义：关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论关于无穷小的讨论. .,0lim20 xx例如，例如，.1lim 20 xx,0)1(lim1 xx.11lim 1 xx,lim xxe. 0

5、lim xxexey )1 ,0(xey . 0)()(lim ,0)(lim ,0)(lim xxxx 则则若若定理四定理四证明证明. 为例为例以以x无无限限变变大大时时，恒恒有有已已知知当当 x.)( ,)( xx)()()()(xxxx 又由于又由于所以所以.2)()( xx. 2 也也是是任任意意的的的的任任意意性性，因因此此由由于于 所以证得所以证得. 0)()(lim xx 推论推论 有限个无穷小量之和仍为无穷小量有限个无穷小量之和仍为无穷小量.定理五定理五为为有有界界函函数数，则则若若)( ,0)(lim xfx 证明证明. 为例为例以以x无无限限变变大大时时，恒恒有有已已知知当

6、当 x.)( x又由于又由于f(x)有界，即存在正数有界，即存在正数M， . 0)()(lim xfx .)( Mxf 有，有，这样有这样有.)()()()( Mxfxxfx . 2 也是任意的也是任意的的任意性，因此的任意性，因此由于由于 所以证得所以证得. 0)()(lim xfx 推论推论则则若若 ,0)(lim ,)(lim xAxf . 0)()(lim xfx 定理六定理六 . 0)()(lim xfx 则则若若 ,0)(lim ,0)(lim xAxf 证明从略证明从略.例例1 1解解.14lim xxx 求求.1414 xxx 因因为为. 1 是无穷小量是无穷小量时，时，而当而

7、当xx . 414lim xxx因此，因此， ,)1( 1 是是无无穷穷小小量量时时，当当 xx. 0sin)1(lim ,1 xxx因此因此例例2 2解解.sin)1(lim 1xxx 求求.sin 是有界函数是有界函数x定理五定理五 . 0)()(lim)( ,0)(lim xfxxfx 则则为为有有界界函函数数，若若.,1sin1,0,但但不不是是无无穷穷大大是是一一个个无无界界变变量量时时当当例例如如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy,)(,0Mxyk 充充分分大大时时当当所以其是无界的所以其是无界的.思索题思索题大大量量问问无无

8、界界变变量量是是否否为为无无穷穷？解解不一定不一定.由于由于), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取, kxk充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 所以其不是无穷大量所以其不是无穷大量.,1sin1,0,但但不不是是无无穷穷大大是是一一个个无无界界变变量量时时当当因因此此xxyx xxy1sin1 1 1、本节根本要求、本节根本要求 了解无穷小量、无穷大量的概念及其相互关系，了解无穷小量、无穷大量的概念及其相互关系，掌握无穷小量的运算法那么，了解函数及其极限与掌握无穷小量的运算法那么，了解函数及其极限与无穷小量的关系无穷小量的关系. .2 2、本节重点、难点、本节重点、难点 重点：无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量重点：无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的运算法那么的运算法那么. . 难点：无穷小量的运算难点：无穷小量的运