控制系统仿真

1、控制系统仿真第三章第三章 控制系统控制系统CADOutline现代控制理论现代控制理论CAD控制工具箱控制工具箱控制系统控制系统稳定性分析稳定性分析经典控制理论经典控制理论CAD控制工具箱控制工具箱位置位置:matlabtoolboxcontrol控制工具箱控制工具箱1.1 系统建模系统建模 Creating linear models. tf - Create transfer function models. zpk - Create zero/pole/gain models. ss, dss - Create state-space models. Model conversions.

2、 tf2ss - Transfer function to state space conversion. zp2tf - Zero/pole/gain to state space conversion. ss2zp - State space to zero/pole/gain conversion. c2d - Continuous to discrete conversion. d2c - Discrete to continuous conversion. d2d - Resample discrete-time model.零极点增益模型状态方程模型用分子/分母的系数向量（n+1维

3、/m+1维）表示:numb1，b2， bm ， bm+1dena1，a2， an ，an+11212()()()( )()()()mnszszszG skspspsp用z，p，k向量组来表示，即zz1，z2，zmpp1，p2，pnkkxaxbuycxdu系统可用(a，b，c，d)矩阵组表示表达形式不唯一：控/观标准型，约当型11211121( )( )( )mmmmnnnnbsb sb sbnum sG sden sa sa sa sa控制工具箱控制工具箱零极点增益模型状态空间模型直接用分子/分母的系数表示，即numb1，b2，bm+1dena1，a2，an+1用z，p，k向量组来表示，即zz

4、1，z2，zmpp1，p2，pnkk系统可用(a，b，c，d)矩阵组表示11211121( )mmmmnnnnb zb zb zbG za za za za1212()()()( )()()()mnzzzzzzG zkzpzpzp(1)( )( )(1)( )( )x kax kbu ky kcx kdu k控制工具箱控制工具箱控制工具箱控制工具箱控制工具箱控制工具箱功能：功能：变系统状态空间形式为传递函数形式。格式：格式：num，den=ss2tf(A，B，C，D，iu)说明：说明：v可将状态空间表示变换成相应的传递函数表示，iu用于指定变换所使用的输入量。 vss2tf函数还可以应用于离散

5、时间系统，这时得到的是Z变换表示。 控制工具箱控制工具箱功能：功能：变系统状态空间形式为零极点增益形式。格式；格式；z,p,k=ss2zp（A，B，C，D，iu）说明：说明：vz,p,k=ss2zp（A，B，C，D，iu）可将状态空间表示转换成零极点增益表示，iu用于指定变换所用的输入量。vss2zP函数还可以应用于离散时间系统，这时得到的是Z变换表示。 控制工具箱控制工具箱功能：功能：变系统传递函数形式为状态空间形式。格式：格式：A，B，C，D tf2ss（num，den）说明：说明：vtf2ss函数可将给定系统的传递函数表示成等效的状态空间表示。在A，B，C，Dtf2ss(num,den)

6、格式中，矢量den按s的降幂顺序输入分母系数，矩阵num每一行为相应于某输出的分子系数，其行数为输出的个数。tf2ss得到控制器正则形式的A,B,C,D矩阵。v tf2ss也可以用于离散系统中，但这时必须在分子多项式中补零使分子分母的长度相同。控制工具箱控制工具箱功能：功能：变系统传递函数形式为零极点增益形式。格式：格式：z，P，k=tf2zp(num，den)说明：说明：vtf2zp函数可找出多项式传递函数形式的系统的零点、极点和增益。vtf2zP函数类似于ss2zP函数。 控制工具箱控制工具箱功能：功能：变系统零极点增益形式为状态空间形式。格式：格式：A，B，C，Dzp2ss（z，p，k）

7、说明：说明：vA，B，C，Dzp2ss（z，P，k）可将以 z，P，k表示的零极点增益形式变换成状态空间形式。控制工具箱控制工具箱功能：功能：变系统零极点增益形式为传递函数形式。格式：格式：num，den=zp2tf（z，p，k）说明：说明：num，den= zp2tf(z，P)可将以z，p，k表示的零极点增益形式变换成传递函数形式。 控制工具箱控制工具箱功能：功能：相似变换。格式：格式：at，bt，ct，dtss2ss（a，b，c，d，T）说明：说明：at，bt，ct，dtss2ss（a，b，c，d，T）可完成相似变换z=Tx以此得到状态空间系统为 11zTaTzTbuycTzdu控制工具箱

8、控制工具箱功能：功能：变连续时间系统为离散时间系统。格式：格式： ad,bdc2d(a,b,Ts)说明：说明：c2d完成将状态空间模型从连续时间到离散时间的转换 控制工具箱控制工具箱模型之间的转换传递函数模 型状态方程模 型零极点增益模型ss2tftf2sszp2tftf2zpss2zpzp2ss微分方程模 型控制工具箱控制工具箱1.2 系统模型的连接系统模型的连接 System interconnections. append - Group LTI systems by appending inputs and outputs. parallel - Generalized paralle

9、l connection. series - Generalized series connection. feedback - Feedback connection of two systems. cloop -unit feedback connection estim -produces an estimator reg -produces an observer-based regulator功能：功能：两个状态空间系统的组合。格式：格式： a,b,c,d=append(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)说明：说明：append函数可将两个状态空间系统组合。系统1系统2

10、u1u2y1y2图3.1 两系统的组合11111222220000 xaxbuxaxbu11111222220000ycxduycxdu控制工具箱控制工具箱功能：功能：系统的并联连接。格式：格式：a,b,c,d parallel（a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2）num，den parallel（numl，denl，num2，den2）说明：说明：parallel函数按并联方式连接两个状态空间系统，它即适合于连续时间系统也适合于离散时间系统。 系统1系统2u1u2+y1+y2系统的并联连接y111122220000 xaxbuxaxb11212122xyyyccdduxyy1+y

11、2 控制工具箱控制工具箱功能：功能：系统的串联连接。格式：格式：a,b,c,dseries（a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2）num,denseries（numl,denl,num2,den2）说明：说明：series函数可以将两个系统按串联方式连接，它即适合于连续时间系统，也适合于离散时间系统。 系统1系统2u1u2y1y2系统的串联连接控制工具箱控制工具箱功能：功能：两个系统的反馈连接。格式：格式：a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)num

12、,den= feedback(numl,denl,num2,den2)num,den= feedback(numl,denl,num2,den2,sign)说明：说明：feedback可将两个系统按反馈形式连接。 sign符号用于指示y2到u1连接的符号，缺省为负，即sign1。 控制工具箱控制工具箱功能：功能： 状态空间系统的闭环形式格式：格式：ac，bc，cc，dc=cloop(a，b，c，d，sign)numc，denc= cloop（num，den，sign）说明：说明：cloop函数可通过将系统输出反馈到系统输入构成闭环系统，开环系统的输入/输出仍然是闭环系统的输入/输出当signl

13、时为正反馈，sign-1时为负反馈。 控制工具箱控制工具箱功能：功能：生成连续/离散状态估计器或观测器格式：格式：ae,be,ce,de=estim(a,b,c,d,l)ae,be,ce,de=destim(a,b,c,d,l)说明：说明：estim和destim可从状态空间系统和增益矩阵l中生成稳态卡尔曼估计器。 控制工具箱控制工具箱功能：功能：生成控制器/估计器格式：格式：ae,be,ce,de=reg(a,b,c,d,k,l) ae,be,ce,de=dreg(a,b,c,d,l) 说明：说明：reg和dreg可从状态空间系统、反馈增益矩阵k及估计器增益矩阵l 中形成控制器/估计器。 控

14、制工具箱控制工具箱控制工具箱控制工具箱1.3 模型降阶与实现模型降阶与实现 balreal - Gramian-based input/output balancing.modred - Model state reduction.minreal - Minimal realization and pole/zero cancellation. ss2ss - State coordinate transformation.ctrbf -decomposition into the controllable and uncontrollable subspaces.obsvf -decompo

15、sition into the observable and unobservable subspaces.Model reductions and realizations控制工具箱控制工具箱1.4 模型属性函数模型属性函数* * *Model propertiesctrb - Controllability matrix.obsv - Observability matrix.gram - Controllability and observability Grampians.dcgain -Computes the steady-state gain of system.功能：功能：可控

16、性和可观性阶梯形式。格式：格式：ab，bb，cb，T，k=ctrbf（a，b，c）ah，bb，cb，T，k=ctrbf（a，b，c，tol(误差容限) ab，bb，cb，T，k=obsvf（a，b，c）ab，bb，cb，T，k=obsvf（a，b，c，tol）说明：说明：v函数ab,bb,cb,T,k=ctrbf（a,b,c）可将系统分解为可控/不可控两部分。v函数ab, bb, cb, T, k=obsvf（a, b, c）可将系统分解为可观/不可观两部分。控制工具箱控制工具箱功能：功能：可控性和可观性矩阵。格式：格式：co=ctrb(a,b)ob=obsv(a,c)说明：说明：vctrb和

17、obsv函数可求出状态空间系统的可控性和可观性矩阵。v对nn矩阵a，nm矩阵b和pn矩阵c，ctrb(a,b)可得到nnm的可控性矩阵co=b ab a2b a3ban1bvobsv(a,b)可得到mnn的可观性矩阵ob=c ca ca2 can-1。当co的秩为n时,系统可控；当ob的秩为n时,系统可观。 控制工具箱控制工具箱控制工具箱控制工具箱1.5 分析函数分析函数 step - Step response.impulse - Impulse response.initial - Response of state-space system with given initial stat

18、e.lsim -Simulate time response of LTI models to arbitrary inputs Time-domain analysis.控制工具箱控制工具箱1.5 分析函数分析函数 bode - Bode diagrams of the frequency response.nyquist - Nyquist plot.Margin* - Gain and phase margins.Frequency-domain analysis.root locus控制工具箱控制工具箱1.5 分析函数分析函数 pzmap - Pole-zero map.roots -

19、 Find polynomial rootsrlocus - Evans root locus.lyap - Solve continuous Lyapunov equations.dlyap - Solve discrete Lyapunov equations.care - Solve continuous algebraic Riccati equations.dare - Solve discrete algebraic Riccati equations. Matrix equation solvers.控制工具箱控制工具箱1.6 系统设计函数系统设计函数place - MIMO p

20、ole placement.acker - SISO pole placement.Pole placement功能：功能：Lyapunov（李亚普诺夫）方程求解。格式：格式：xlyap(a,b,c) 说明：说明：v lyap函数可求解一般形式或特殊形式的 Lyapunov方程。are 功能：功能：代数Riccati（黎卡堤）方程求解。格式：格式：xare（a，b，c）说明：说明：vare函数用于求解代数Riccati方程。在控制系统的许多领域如线性二次型调节器和估价器设计等都会涉及到代数Riccati方程的求解问题。vxare(a,b,c)可求出连续时间代数Riccati方程的正定解（如果存

21、在的话）aTxxaxbxc0功能：功能：极点配置增益选择。格式：格式：kplace（a，b，p）kacker（a，b，p）说明：说明：place和acker函数用于极点配置增益选择。 Outline现代控制理论现代控制理论CAD控制工具箱控制工具箱控制系统控制系统稳定性分析稳定性分析经典控制理论经典控制理论CAD 对于连续系统，如果闭环极点全部在对于连续系统，如果闭环极点全部在S S平面左半平面，平面左半平面， 则系则系统是稳定的。对于离散系统，如果系统全部极点都位于统是稳定的。对于离散系统，如果系统全部极点都位于Z Z平面的单位圆平面的单位圆内，则系统是稳定的。内，则系统是稳定的。控制系统控

22、制系统稳定性分析稳定性分析经典控制理论经典控制理论现代控制理论现代控制理论劳斯判据、胡尔维茨判据、奈奎斯特稳定性判据劳斯判据、胡尔维茨判据、奈奎斯特稳定性判据 系统矩阵系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部（具有负实部）。的全部特征值位于复平面左半部（具有负实部）。QPAPATLyapunov第一法第一法给定一个正定对称矩阵给定一个正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵，存在一个正定对称矩阵P，使满足：，使满足：Lyapunov第二法第二法控制系统控制系统稳定性分析稳定性分析2.1 利用极点判断系统的稳定性利用极点判断系统的稳定性可以利用可以利用rootsroots函数或零极点模型来判断系统稳定

23、性函数或零极点模型来判断系统稳定性For example已知闭环系统的传递函数为：已知闭环系统的传递函数为：43254323242( )35221ssssG ssssss试判断系统的稳定性，如有不稳定极点并给出不稳定极点。试判断系统的稳定性，如有不稳定极点并给出不稳定极点。可以利用可以利用pzmap( )pzmap( )绘制出系统的零极点图绘制出系统的零极点图控制系统控制系统稳定性分析稳定性分析2.2 利用特征值判断系统的稳定性利用特征值判断系统的稳定性可以利用可以利用eig( )eig( )函数求出系统矩阵函数求出系统矩阵A A的全部特征值来判断系统的全部特征值来判断系统稳定性。稳定性。Fo

24、r example已知系统的状态方程为：已知系统的状态方程为：判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。xx75. 025. 075. 125. 1125. 15 . 025. 025. 025. 125. 425. 25 . 025. 1525. 2可以利用可以利用lyaplyap，dlyapdlyap函数求解函数求解LyapunovLyapunov方程，从而方程，从而 分析系统的稳定性分析系统的稳定性调用格式为：调用格式为：P=lyap(A,Q)控制系统控制系统稳定性分析稳定性分析2.3 利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性For example已知系统的状态

25、方程为：已知系统的状态方程为：判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。xx1110QPAPATOutline现代控制理论现代控制理论CAD控制工具箱控制工具箱控制系统控制系统稳定性分析稳定性分析经典控制理论经典控制理论CAD经典控制理论经典控制理论CAD3.1 控制控制系统固有特性分析系统固有特性分析1、时域分析、时域分析时域分析：是指典型输入信号作用下，通过过渡过程曲线来分时域分析：是指典型输入信号作用下，通过过渡过程曲线来分 析和评价控制系统的性能。析和评价控制系统的性能。MATLABMATLAB实现实现: :stepStep response of continuous system（dst

26、ep）impulseimpulse response of continuous system(dimpulse)initialInitial condition response of state-space models.lsimSimulate time response of continuous system to arbitrary inputs经典控制理论经典控制理论CAD3.1 控制系统固有特性分析控制系统固有特性分析1、时域分析、时域分析step( )step( )函数的用法函数的用法qy=step(num,den,t)y=step(num,den,t)：其中：其中numnu

27、m和和denden分别为系统传递函数描述中的分分别为系统传递函数描述中的分子和分母多项式系数，子和分母多项式系数，t t为选定的仿真时间向量，一般可以由为选定的仿真时间向量，一般可以由t=0:step:endt=0:step:end等步长地产生出来。该函数返回值等步长地产生出来。该函数返回值y y为系统在仿真时刻各为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵。个输出所组成的矩阵。qy,x,t=step(A,B,C,D)y,x,t=step(A,B,C,D)：其中：其中A,B,C,DA,B,C,D为系统的状态空间描述矩为系统的状态空间描述矩阵阵,x,x为系统返回的状态轨迹。为系统返回的状态轨迹。经典控制

28、理论经典控制理论CAD3.1 控制系统固有特性分析控制系统固有特性分析1、时域分析、时域分析For example已知开环系统的传递函数为：已知开环系统的传递函数为：)6 . 0(14 . 0)(ssssG试求该系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线和最大超调量。试求该系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线和最大超调量。经典控制理论经典控制理论CAD3.1 控制控制系统固有特性分析系统固有特性分析2、频域分析、频域分析频域分析频域分析: :通常将频率特性用曲线的形式进行表示，包括对数通常将频率特性用曲线的形式进行表示，包括对数 频率特性曲线和幅相频率特性曲线。频率特性曲线和幅相频率特性曲线。MATLABM

29、ATLAB实现实现: :bodedraws the Bode plot of the SYS (created with either TF, ZPK or SS ).nyquistdraws the Nyquist plot of the SYS.dbode dnyquist经典控制理论经典控制理论CAD3.1 控制系统固有特性分析控制系统固有特性分析2、频域分析、频域分析bode( )bode( )函数的用法函数的用法bode(SYS): draws the Bode plot of the SYS (created with either TF, ZPKor SS). The frequ

30、ency range and number of points are chosen automatically. bode(SYS,W):uses the user-supplied vector W of frequencies, in radian/second, at which the Bode response is to be evaluated. m,p,w=bode(SYS):return the response magnitudes and phases in degrees (along with the frequency vector W if unspecifie

31、d). No plot is drawn on the screen. 功能：功能：求连续系统的Bode（波特）频率响应。格式：格式：mag，phase，w bode（a，b，c，d）mag，phase，w bode（a，b，c，d，iu）mag，phase，w bode（a，b，c，d，iu，w）mag，phase，w bode（num，den）mag，phase，w bode（num，den，w）说明：说明：bode函数可计算出连续时间LTI系统的幅频和相频响应曲线（bode图）。bode图可用于分析系统的增益裕度、相位裕度、直接增益、带宽、扰动抑制及其稳定性等特性。经典控制理论经典控制理

32、论CAD3.1 控制系统固有特性分析控制系统固有特性分析2、频域分析、频域分析For example210( )(1)(/42)G ss ss=+已知系统开环传递函数：已知系统开环传递函数：试绘制系统的概略开环幅相曲线。试绘制系统的概略开环幅相曲线。clear clcG=tf(10,0.25,0.25,1,1,0);nyquist(G);axis(-20,20,-20,20);经典控制理论经典控制理论CAD3.1 控制控制系统固有特性分析系统固有特性分析3、根轨迹分析、根轨迹分析q根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方

33、法，使用十分简便。利用它可以对系统进行各种性能分析。便。利用它可以对系统进行各种性能分析。q所谓根轨迹是指，当开环系统的增益所谓根轨迹是指，当开环系统的增益K从零变到无穷大时，闭环系统从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在特征方程的根在s平面上的轨迹。闭环系统特征方程的根就是闭环传递平面上的轨迹。闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。函数的极点。MATLABMATLAB实现实现: :pzmap (SYS) computes the poles and zeros of the SYS and plots them in the complex plane.rlocus (SYS) co

34、mputes and plots the root locus of the SYS. rlocfindfind root locus gains for a given set of roots.经典控制理论经典控制理论CAD3.1 控制控制系统固有特性分析系统固有特性分析3、根轨迹分析、根轨迹分析开环系统传递函数如下所示：要求绘制系统的闭环根轨迹，开环系统传递函数如下所示：要求绘制系统的闭环根轨迹，分析其稳定性，并绘制出当分析其稳定性，并绘制出当k=55k=55和和k=56k=56时系统的闭环冲激时系统的闭环冲激响应。响应。 2(2)( )(43)ok sG sssFor exampleG

35、=tf(1 2, 1 4 3); %建立等效开环传递函数模型 figure; rlocus(G)Outline现代控制理论现代控制理论CAD控制工具箱控制工具箱控制系统控制系统稳定性分析稳定性分析经典控制理论经典控制理论CAD现代控制理论任务？现代控制理论任务？现代控制理论是指用状态空间方法作为描述动态系统的手段，来研究系统的稳定性、能控性、能观性等定性问题，用极点配置、状态反馈等理论及方法设计与分析控制系统。现代控制理论现代控制理论CADv+xyx uK_CxyBvxBKAx)(现代控制理论现代控制理论CAD4.1 极点配置极点配置定理：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是：定理：用状态反

36、馈任意配置闭环极点的充要条件是： 受控系统完全可控受控系统完全可控acker( ): Pole placement gain selection using Ackermanns formula.现代控制理论现代控制理论CAD4.1 极点配置极点配置MATLABMATLAB实现实现: :K = acker(A,B,P): calculates the feedback gain matrix K of the SISO system: . x = Ax + Bu the closed loop poles are specified in vector Pplace( ): pole plac

37、ement technique applies to the MIMO system.K = place(A,B,P): computes a state-feedback matrix K现代控制理论现代控制理论CAD4.1 极点配置极点配置For example( )10( )(1)(2)Y sU ss ss已知系统传递函数为：已知系统传递函数为：现代控制理论现代控制理论CAD4.2 状态观测器的设计状态观测器的设计state feedbackstate observer+vxyx u-Hxx y +uK-()()xxAHCxx)( )()( )(00)(0txtxetxtxttHCA)(

38、 )(00txtx)( )(txtx0)(limxxt1、只要、只要A-HC满足什么条件，状态变量误差会逼近零？满足什么条件，状态变量误差会逼近零？CxyBuAxx原系统原系统(original system)：)(xxHCBuxAxHCxBuxHCAx )(指数项指数项2、状态观测器的设计其实是一个什么问题？、状态观测器的设计其实是一个什么问题？现代控制理论现代控制理论CAD 利用对偶原理，可以使设计问题转化为状态反馈极点配利用对偶原理，可以使设计问题转化为状态反馈极点配置问题，使设计大为简化置问题，使设计大为简化（1 1）首先构造系统的对偶系统）首先构造系统的对偶系统为对偶系统和),(),

39、(21TTTBCASCBAS（2 2）利用）利用MATLABMATLAB和函数和函数placeplace（）或（）或ackeracker（），求得（），求得 状态反馈的反馈矩阵状态反馈的反馈矩阵K K；（3 3）根据）根据H=KH=KT T确定状态观测器的反馈矩阵确定状态观测器的反馈矩阵H.H.现代控制理论现代控制理论CAD4.2 状态观测器的设计状态观测器的设计现代控制理论现代控制理论CAD4.2 状态观测器的设计状态观测器的设计For example已知系统状态空间表达式为：已知系统状态空间表达式为：.010A=B=231C= 20D=0 xAxBuyCxDu 其中：现代控制理论现代控制理

40、论CAD4.3 线性二次最优控制器设计线性二次最优控制器设计（一）基本原理（一）基本原理 ( )( )( )x tAx tBu t0()TTJx Qxu Ru dt设线性定常系统状态方程为：设线性定常系统状态方程为：二次型性能指标为：二次型性能指标为： 最优控制的目标就是求取最优控制的目标就是求取u u（t t）, ,使得上面性能指标达使得上面性能指标达到最小值。这样的控制问题称为线性二次型（到最小值。这样的控制问题称为线性二次型（linear linear quadratic,LQquadratic,LQ）最优控制问题。）最优控制问题。现代控制理论现代控制理论CAD4.3 线性二次最优控制器

41、设计线性二次最优控制器设计1 1）求解）求解RiccatiRiccati方程，求得矩阵方程，求得矩阵P P。（一）基本原理（一）基本原理 系统的设计步骤可概括如下：系统的设计步骤可概括如下：01QPBPBRPAPATT2 2）将此矩阵）将此矩阵P P代入方程代入方程 ，得到的即为，得到的即为 最优反馈增益矩阵最优反馈增益矩阵K K。PBRKT13 3）最优控制规律为：）最优控制规律为： 。( )( )u tKx t ( )10( )(1)(2)Y sU ss ss.17108.5493123.5xxuy 现代控制理论现代控制理论CAD4.3 线性二次最优控制器设计线性二次最优控制器设计（二）（二）MATLABMATLAB（控制系统工具箱）实现（控制系统工具箱）实现 如下两个命令可以直接求解二次型调节器问题以如下两个命令可以直接求解二次型调节器问题以及相关的及相关的RiccatiRiccati方程：方程：K,P,EK,P,E=lqr(A,B,Q,R);=lqr(A,B,Q,R); K,P,EK,P,E=lqry(A,B,C,D,Q,R)=lqry(A,B,C,D,Q,R) lqr: Linear-quadratic regulator design现代控制理论现代控制理论CAD4.3 线性