机械控制基础 系统频率特性01

1、第四章频域分析 频率响应：频率响应：线性定常系统对谐波（正弦波）输入的稳态线性定常系统对谐波（正弦波）输入的稳态响应响应 线性定常系统对谐波（正弦波）输入的响应：包括线性定常系统对谐波（正弦波）输入的响应：包括稳态稳态响应响应和和瞬态响应。瞬态响应。其稳态响应根据其稳态响应根据频率保持特性频率保持特性，也是一，也是一个同频率的正弦信号，但幅值和相位与输入信号不同。个同频率的正弦信号，但幅值和相位与输入信号不同。即即tXtxiisin)(若系统的输入为若系统的输入为sin)(00tXtx则则 系统的稳态响应为系统的稳态响应为、引言频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分析系统的特性。时域分析

2、：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输入下系统的瞬态响应来研究系统的性能。频域分析：通过系统在不同频率w的谐波输入作用下的稳态响应来研究系统的性能。1、 时域分析的缺陷时域分析的缺陷 高阶系统的分析难以进行； 难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响； 当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。 2 2、频域分析的目的、频域分析的目的频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。 可用图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向； 易于实验分析； 优点： 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。二二、频率特性概述1 1、频率响应与频率

3、特性、频率响应与频率特性线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。 频率响应与频率特性的概念22)()()()()()()()(sXsNsMsXsNsMsXsGsXiio)()()()()()(21npspspssMsNsMsG考虑线性定常系统：当正弦输入 xi(t)=Xsint 时，相应的输出为：nnopsApsApsAjsAjsAsX2211)(假设系统只具有不同的极点，则：AA,其中为一对待定共轭复常数Ai(i = 1, 2, , n)为待定常数。)0( )(2121teAeAeAeAAetxtpntptptjtjon从而：) 1, 2, 1, 0(jjtpkr

4、ketjj如果系统包含有rj个重极点pj，则xo(t)将包含有类似：的这样一些项。对稳定的系统而言，这些项随 t 趋于无穷大都趋近于零。因此，系统的稳态响应为：tjtjoeAAetx)(jjXGjssXsGAjs2)()()(22)()()()()(jjejGejGjGjjXGjssXsGAjs2)()()(22其中：)(Re)(Im)()()()()(jGjGarctgjGejGjGj由于：jeejGXtxtjtjo2)()()()(因此：)()(sin)(sin)(jGXYtYtjGX上式表明，稳定的线性定常系统在正弦激励下的稳态输出仍然为同频率的正弦信号，且输出与输入的幅值比为|G(j)

5、|，相位差为G(j)。输出信号的幅值和相角是频率的函数，随频率而变化。 幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。 q 幅频特性：当由0到变化时，|G(j)|的变化特性，记为A()。q 相频特性：当由0到变化时，G(j)的变化特性称为相频特性，记为()。q 频率响应：系统对谐波输入信号的稳态响应。q 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时，其稳态输出随频率而变化(由0变到)的特性。当传递函数中的复变量s用代替时， 传递函数就转变为频率特性。反之亦然。j2 2、频率特性与传递函数的关系、频率特性与传递函数的关系 jssGjG)()(微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下

6、：微分方程频率特性传递函数js dtds dtdj)jV( )U()eA(a)(ja)(ja)(jab)(jb)(jb)(jb)R(j )C(j )G(j )(jn11n1nnnm11m1mmm)()()()()()()(jVUeAjRjCjGjA（） 幅频特性；G（j）的模，它等于稳态 的输出分 量与输入分量幅值之比.（） 相频特性；G（j）的幅角，它等于稳态输出分 量与输入分量的相位差。U（） 实频特性；V（） 虚频特性；都是的函数，之间的关系用矢量图来表示。jV()V()A()U() ()GjU03 3、频率特性求解、频率特性求解 (1)(1)、根据定义求取。、根据定义求取。 即对已知系

7、统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。 (2)2)、根据传递函数求取。、根据传递函数求取。 即用s=j代入系统的传递函数，即可得到。 (3)(3)、通过实验的方法直接测得。、通过实验的方法直接测得。 传递函数-频率特性正弦输入xi(t)=Xsint 作用下的频率响应。 1)(TsKsG求一阶系统的频率特性及在1)()(jTKsGjGjs解解： 221)()(TKjGATarctgjG)()(复变函数)sin(1)(22TarctgtTXKtxo对于正弦输入xi(t)=Xsint，根据频率特性的定义：例：设传递函数为：431)()()(2ss

8、sxsysG微分方程为：)()(4)(3)(,431)()(2222txtydttdydttyddtddtdtxty频率特性为：4)( 3)(1)()()(2jjjxjyjG)(tui)(tuoRC例：如下图所示RC电路。)()()(tutudttduRCioo)( ,11)()(RCTTssusuio其微分方程和传递函数分别是： 则,sin)(tUtuii若)( ,11)(22初始值为零sUTssuio拉氏反变换为：)sin(11)(12222TtgtTUeTTUtuiTtio上式第一项为瞬态项，当 时，第一项趋于0。第二项为稳态项：t)sin(1)(22arctgTtTUtuio由上式可得

9、系统的幅频特性为：2211)(TA系统的相频特性Ttg1系统的频率特性11)()()(jTjUjUjGio频率特性曲线：将矢量 由 变化时，矢量端点构成的一条曲线叫做频率特性曲线。)()()(jeAjG0从上例的频率特性曲线如下图：TtgTUUAio122)(11)(0q 1、频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则 频率特性也完全确定。2、频率特性是一种稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此

10、，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性能、稳态性能等。3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。 当频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和相位移（）随之改变。这是系统中的储能元件引起的。q 频率特性的物理意义：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；q ()大于零时称为相角超前，小于零时称 为相角滞后。tx(t), y1(t), y2(t)x(t)y1(t)y2(t)01()2()4 4、频率特性表示方法、频率特性表示方法 解析表示（包括幅频相频，实频虚频） 频率特性，复变量 图示法。在坐标上绘出幅值与相角随着频率变化的

11、曲线。 ttr2sin)() 1 (、)452cos(2)30sin()() 2(tttr、某系统结构图如图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)2arctan()(41)(44221)(21)(222相频特性：幅频特性：频率特性：为：解：系统关闭传递函数jjjjss时、当ttr2sin)() 1 (2,22181)(2j)452sin(221)(45)22arctan()2(0ttcj 2, 1)452cos(2)30sin()()2(21时、当tttr5 .26)21arctan() 1(45. 055) 1(jj)2(452cos)2(2)1(30sin)

12、 1()(jtjjtjtcs90)22arctan()2(221241)2(2jj)902cos(21)4 . 3sin(45. 0tt)45-sin(2t221)cos2tsin45-5(sin2tcos42241cos2t)-(sin2t410elimcos2t)-sin2t(e41c(t)4s24ss-21(41)4s2-s-21(41214s2)(R(s)C(s)21)(ooo2t-t-2t-2222，稳态值为：由于为：解：系统关闭传递函数ssssss二二、频率特性的图示方法Nyquist图(极坐标图，幅相频率特性图)Bode图(对数坐标图，对数频率特性图) Nichols图(对数幅相

13、图)1、频率特性的极坐标图(Nyquist图、幅相频率特性图） 当从0变化时，在极坐标上表示出G(j) 幅值相角的关系曲线，称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。)()()(jeAjG0)(P)(Q)()(A11)(2ssssG2、对数频率特性曲线（波德图，Bode图） Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率 的对数值 log 进行线性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对 而言是非线性刻度。 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率 的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。如下图所示：DecDecDecDec12012.log01. 001 . 0110100由于 以对数分度，所以零频率点在处。更详细的刻度如下图所示2345678910lg0.000 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L)=20logA() 表示。其单位为分贝(dB)。直接将 20logA() 值标注在纵坐标上。 相频特性曲线的纵坐标