定态薛定谔方程

1、),(222trUti)(rUU对于薛定諤方程一个很重要的特殊情况，粒子所在的力场不仅是位置的函数。 定态薛定諤方程定态薛定諤方程一：定态一：定态随时间改变，即)(222rUti)()(),(tfrtr)()()(2)()(22tfrrUtfrti)()(),(tfrtr此时薛定諤方程为可用分离变量法求解，设特解为 代入方程两边同时除以 )()(2)(1)()(122rrUrtfttfirt,rt,Etfttfi)()(1ErrUr)()(2)(122上式两边各有不同的变量，它们是独立都成立，(1)(2) 变化的，要使上式对任意的变量两边必须等于一个常数，设常数为E，则)()()(222rEr

2、rU)()(rErH(2)式写成或此式称为定态薛定諤方程对（1）式解出EtiCetf)(Etiertr)(),()(r)(r)(rU则薛定諤方程的特解 （3）中并归一化。式中是满足定态薛定諤方程的解，在知道定态：定态：如果体系处于（3）式所描述的状态时，其中常数C放入的具体表达式后求出。具有确定的能量，这种状态叫定态。（3）式叫定态波函数。1：体系处于定态，其几率分布不随时间变化。)()()()(),(),(*2rrerertrtrEtiEti即：几率分布与时间无关。 二、定态的性质二、定态的性质0)(rUEtierctr)(),(EtirPieAetr),(2：体系处于定态，其能量不随时间改

3、变。哈密顿量H不显含时间，解薛定諤方程，其另外，已知自由粒子有确定能量和动量，其波 （5） 对自由粒子，其波函数可写成 （4）函数 而（4）式中E是作为常数引入的，对比两式，（5）式中E有明确的物理意义，是粒子能量。发现此常数E应是粒子的能量，这个常数是不随时间改变的。 )(rUU)()()(222rErrU)(rEtiertr)(),( 综上：作用于粒子上的力场不随时间改变，这样的问题只需解定态薛定諤方程即可：由解出然后得出 即体系的哈密顿量H不显含时间，2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱 如图，粒子在势场 axxUaxxU,)(, 0)(中运动。 一、波函数Xa0U-aax )(

4、)()(2222xExxUdxd)(xU0ax , 0解：在阱外（）定态薛定諤方程是式中，根据波函数应满足的有限性时方程才成立，即 和连续性条件，只有当ax )()()(2222xExxUdxdaxxU , 0)()()(2222xEdxxd212)2(E阱内粒子满足定态薛定諤方程已知方程变为令 0)()(222xdxxd)(cos)(sin)(xBxAx0)(x0cossinaBaA方程变为通解为由波函数的连续性和边界条件确定A、B（1）当xa时 0)(x0cossinaBaA0cos0sinaBaA0cos0aA0sin0aB（2）当xa时，两式相加及相减，得到A.B不能同时为零，否则为零

5、解。解有两组（2）组 （1）组为奇数nnaA20为偶数nna20B由（1）组 由（2）组an2212)2(E22228 anE无论n为奇数或偶数都有又 axanxanBx0 x,2cos)(为奇数axanxanAx0 x,2sin)(为偶数波函数（1）组，（2）组， sincoscossin)sin(为奇数，为偶数，nxannxannxannxannxanaxan2cos2sin2sin2cos2cos2sin)22sin()(2sin利用axaxanAx)(2sin)(1222dxdxdxaaaaaA1势阱中波函数可写为归一化axaxaxanax0)(2sin1)(22228 anE)3 ,

6、 2 , 1(n归一化波函数为前面已经得出能量，能量量子化。二：能量二：能量22218 aE222284aE222389aE当n取不同值时，n2， n3， n1，) 12(88) 1(8222222222221naananEEEnnnnaEnn281222 时， 能级间隔：当能级间隔与n成正比。 )(2sin1)(),(2sin1)(, 12211axaaxaxaaxn)(22sin1)(),(22sin1)(, 22222axaaxaxaaxn)(23sin1)(),(23sin1)(, 32233axaaxaxaaxn当n取不同值时，波函数及几率密度三：几率分布三：几率分布2)(),(xx

7、)(2sin1)(221axaax0)(21xdxdaa12sin1221如图，给出当n1时，几率密度令xa，xa时，几率密度为零几率密度为极大值 随x变化的情况得x0，xa，xa时，几率密度取极值x0时，例1：试求边长为a，b，c的三维无限深势阱中粒子的能级和波函数。)0;0;0(0;, 0;, 0;, 0(),(czbyaxczzbyyaxxzyxUXYZEzyx)(22222222)()()(),(zZyYxXzyx)()()()()()()()()()()()(22222222zZyYxEXzzZyYxXyyYzZxXxxXzZyY定态薛定諤方程令 代入方程，得解：在势阱中U0)()(

8、)(zZyYxXEzzZzZyyYyYxxXxX)()(1)()(1)()(122222222xExxXxX222)()(12yEyyYyY222)()(12zEzzZzZ222)()(12方程两边同时除以，得得到zyxEEE,zyxEEEE)sin(2)(xanaxXx)sin(2)(ybnbyYy)sin(2)(zcnczZz式中， 是常数，且有由作业题2.3,得一维无限深势阱方程及波函数)sin(2)sin(2)sin(2)()()(),(zcncybnbxanazZyYxXzyxzyx)(222222222cnbnanEEEEzyxzyxzyxnnn,波函数为 能量其中为正整数。akx

9、22dtxdkxk2002022xdtxd 令 得 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子一：经典情况一：经典情况经典力学中，谐振子（弹性系数为k），受一个指向平衡位置的力kx，因而会在平衡位置作周期性往返运动，叫简谐运动。运动方程)sin(0tAx,A022022121xkxU二阶微分方程的解为 式中是由初始条件决定的振子振幅和是振子的圆频率。此处振子的势能不是常数，而是空间坐标的初位相，振子的势能为二次函数。222212xPUEHxk2222222dxdPPx22222212xdxdH二二: :线性谐振子的定态薛定諤方程线性谐振子的定态薛定諤方程 量子力学中量子力学中的哈密顿算符哈密顿函数E

10、HExdxd222222120)21(222222xEdxd,xx定态薛定諤方程为即 为解此方程，作变换dddxddddxd2222)()(dddxddddddddxddxd0)21(222222xEdd则 方程变为0)12(222xEddE20)(222dd即 令：方程变为 x0)2 , 1 , 0() 12(nn22)(eHNnnnE2En2) 12()2 , 1 , 0(,)21(nnE二：线性谐振子的能量及波函数二：线性谐振子的能量及波函数 或 时 方程当时有解 考虑到当2100En时2311En时25220En时当 谐振子能量是量子化的。 线性谐振子能级图1nnEEE210E谐振子零

11、点能（最小能量） （1）：谐振子零点能210E是n0时的基态相邻的能级间隔说明：能量。普朗克的假设有不够准确的地方 2）：能级间隔相同，都是,普朗克理论仍然能够很好的解释黑体辐射的结果 22)(eHNnnn)(nHnnnndedeH222) 1()()(nH0)(2)(2)()(2111nnnnnnHHHnHddH谐振子的波函数其中为n阶厄米多项式，属于特殊函数由此式可以得出满足下列递推公式的一种，可按下式求出下面是前几个厄米多项式1282421332210HHHHnN1)()(*xxnn2121)!2(nNnn式中是归一化常数，可由归一化条件定出为 前几个波函数22222120222222)

12、24(8)(, 222)(, 1)(, 0 xxxexxnxexnexn线性谐振子波函数，n0n5线性谐振子几率密度，n0n4)(1x0)(1x 对于n0的状态，在x0处几率密度最大，即与x轴的交点，称为节点。 振子在x0附近的几率最大。对于n1的状态，在x0处几率密度等于零，是一般的称的根，2x2x)(2x)(xn 对应于n2的状态，波函数，及处为零，几率为零，即 一般的，谐振子波函数有n个节点。)(2x在在两个节点附近出现的几率为零。本节运用定态薛定諤方程来考虑一维运动的粒子受方势垒散射的问题，方势垒是粒子受到势能为), 0(,0)0(,)(0axxaxUxU2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯

13、穿一：势垒散射一：势垒散射的势垒散射的情况。XUU00a所谓散射问题，就是要求一个动量和能量已知的粒子受到势场作用后被散射到各个方向的几率，在一维运动的情况下，粒子被散射后，或者穿透势垒，或者被散射。因此，我们要求的是透射几率和反射几率。 JJDDJJRR定义透射系数 反射系数 其中 J： 是入射波几率流密度 JD：是透射波几率流密度 JR：是透射波几率流密度0Uax 0Uax 0, 10RDUE，1, 00RDUE，（1）：经典力学中，只有当粒子的能量E大于势垒高度时，粒子才能越过势垒到达区域。当粒子的能量E小于势垒高度时，的区域。定量计算的结果： 全部透射，没有反射全部反射，没有透射 设粒

14、子从负x区自左向右运动，射向势垒。粒子被散射回0U0Uax ax 10, 100RDUE，10, 100RDUE，（2）：量子力学情况：和粒子能量E小于时，部分粒子越过势垒区域，部分粒子被散射回的区域。部分透射，部分反射部分透射，部分反射 定量讨论这个问题，要解薛定諤方程，求出相应的波函数和几率流密度。计算的结果，当粒子的能量E大于势垒高度势垒高度0U到达即：隧道效应：隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能二：隧道效应二：隧道效应贯穿势垒的现象，称为隧道效应。隧道效应不仅可以解释一些经典理论所不能解释的物理现象，还是制造隧道二极管、扫描隧道显微镜的理论基础。),(tzyxdtzyx2),(),(zyxdn,21niiic量子力学中，粒子的状态用波函数描述。表示粒子在t时刻，出现在附近如果是体系一系列可能的状态，也是该体系本章小节：本章小节：一、波函数及其统计解释体元中的几率。二、态迭加原理那末，它们的线性迭加可能的状态。 ),(222trUti)(2*iJ0Jt微观粒子的运动状态遵从薛定諤方程四、几率守恒几率守恒 三、薛定諤方程几率流密度)(rUUEtiertr)(),()(r)()()(222rErrU五、定态及定态薛定諤方程则 其中定态薛定諤方程：定态：如果满足