理论力学09动量定理(2)

1、1 2实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非 常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个质 点的运 动,仅需要研究质点系整体的运 动情况。动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述对质点质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。对质点系质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方 程， 联立求解它们即可。 从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要讨论的是动力学普遍定理动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。3 它们以简明的数学形式， 表明两种量 一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关

2、的量(冲量、力 矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。 本章中研究质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变动量的改变与力的冲量之间的关系与力的冲量之间的关系， （如：推车达到指定速度， 10个人为什么就比20人所需时间更长？）并研究质点系动量定理的另一重要形式质心运动定理质心运动定理。4 一一. .质点系的质心质点系的质心 质点系的质量中心称为质心质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。 质点系的质心质点系的质心 内力与外力内力与外力)( imMiiCiiCrmr

3、MMrmr 或则设,kzjyixrcccc MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , ,质心质心 C C 点的位置点的位置： 5 在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。内力内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：。或 0)( 0)( ; 0)()()(iixiiOiiFmFmF二、质点系

4、的内力与外力二、质点系的内力与外力外力外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。已知已知: : 为常量为常量, ,均质杆均质杆OA = = AB = ,= ,两杆质量皆为两杆质量皆为 , , 滑块滑块 B 质量质量 . . l1m2m求求: :质心运动方程、轨迹及系统动量质心运动方程、轨迹及系统动量. .解解: :设设 ，质心运动方程为，质心运动方程为t消去消去t 得轨迹方程得轨迹方程1)2/()2/()(2221122121mmlmymmlmmxcctlmmmmtmmlmlmlmxCcos2)(2cos22232212121211tlmmmtmmlmyCsin2sin2222

5、11211tlmmxmmvpCCxxsin)(221tlmymmvpCCyycos1tmtmmlpppyx221222122cossin)(4系统动量沿系统动量沿x, y轴的投影为轴的投影为: :系统动量的大小为系统动量的大小为: :9动量与冲量动量与冲量 一、动量一、动量 1.1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为称为质点的动量。质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是kg m/s。一般用一般用 K K 或或 P P 表示表示 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。 10 2.2.质

6、点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。CiivMvmP) (求导CiirMrm质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：CCzzCCyyCCxxzMMvPyMMvPxMMvP , , 3.刚体系统的动量刚体系统的动量：设第i个刚体则整个系统：ciivm ,CiivmPCiiCizizCiiCiyiyCiiCixixzmvmPymvmPxmvmP11解解: 曲柄OA：滑块B：连杆AB： （ P为速度瞬心， ） ABlPC;252 例例曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都是匀质杆, 质量各为m

7、, 滑块B的质量也为m。求求当 = 45时系统的动量。ivvvmvmvmvmPCCCCCC)cossin( 321321)sincos(21jvvCC)101252221()2103252221()sin2545cos21()2cos2545sin21(jimljllilllm2122jimllvmC21 , 1llvmABC2525 ,2lvmC2 ,3122力是变矢量：（包括大小和方向的变化）元冲量元冲量：冲量冲量：F)(12ttFIdtFId 21ttdtFI1力是常矢量：F二冲量二冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用

8、的累积效应的度量。一般用一般用 S 或或 I 表示表示。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。13 3合力的冲量合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和 ittttttIdtFdtFdtRI212121冲量的单位：m/skg sm/skg sN2与动量单位同21ttxxdtFI21ttyydtFI21ttzzdtFI149-1动量定理及其基本方程动量定理及其基本方程一质点的动量定理一质点的动量定理FvmdtdFdtvdmam)( 质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）IddtFvmd)(IdtF

9、vmvmtt2112质点的动量定理微分形式微分形式：（元动量等于外力的元冲量）积分形式积分形式：15投影形式：投影形式：xxFmvdtd)(yyFmvdtd)(zzFmvdtd)(2112ttxxxxdtFImvmv2112ttyyyydtFImvmv2112ttzzzzdtFImvmv质点的动量守恒质点的动量守恒若，则常矢量，质点作惯性运动若，则常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动0F0 xFvmxmv二质点系的动量定理二质点系的动量定理)()()(eiiiiiFFvmdtd )0( )()()(iieiiiiiFFFvmdtd而)(eiFdtPd质点系的动量定理对整个质点系：对质点系内任一

10、质点 i，16质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。质点系的元动量等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。质点系的元动量等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和 积分形式积分形式)(12eiIPPeiPieIdtF微分形式微分形式)()(dd)(eiFdtPd17投影形式：投影形式：( (将将 式投影）式投影）)(eixxFdt

11、dP)(eiyyFdtdP)(eizzFdtdP21)()(12tteixexxdtFIixPP21)()(12tteiyeyydtFIiyPP21)()(12tteizezzdtFIizPP 质点系的动量守恒质点系的动量守恒若则常矢量。若则常量。, 0)(eiF, 0)(eixFiivmPixixvmP只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。, ,)(12)(eieiIPPFdtPd189-2质心运动定理质心运动定理将 代入到质点系动量定理， 中

12、，得CvMP )()(eiCFvMdtd若质点系质量不变， 则 或)(eiCFaM)(eiCFrM 上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。和（外力系的主矢）。1. 投影形式：投影形式：。 , , )()()(eizCCzeiyCCyeixCCxFzMMaFyMMaFxMMa 。 0 , , )()(2)(eibeinCCneiCFFvMMaFdtdvMMa)(eiFdtPd19)(eixCiiCixiFxm

13、am )(eiyCiiCiyiFymam )(eizCiiCiziFzmam 3. 质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系，对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的无论它作什么形式的运动，运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，把整个质点系的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中所有外力也集中作用在质心这个点上作用在质心这个点上。2. 刚体系统：刚体系统：设第 i 个刚体 mi，vCi，则有 或)(eiCiiFam)(eiCiiFrm )

14、(eiCFaM)(eiCFrM iiCiiCrmrMMrmr 或其投影：20 5质心运动定理可求解两类动力学问题：质心运动定理可求解两类动力学问题：已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束反力)。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。 只有外力才能改变质点系质心的运动只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。的运动，但可以改变系统内各质点的运动。 4. 质心运动守恒定律质心运动守恒定律若，则 常矢量，质心作匀速直线运动；若开始时系统静止，即 则常矢量,质心位置守恒。若则 常量，质心沿x方向速度不变；若存在 则 常

15、量，质心在x 轴的位置坐标保持不变。 0)(eiFCCvoa , 00CvCr,)( 0eixFCxCxva , 000CxvCx均质曲柄均质曲柄AB长为长为r, ,质量为质量为m1 , ,假设受力偶作用以不变假设受力偶作用以不变的角速度的角速度转动转动, ,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D , ,如图所示如图所示. .滑槽、连杆、活塞总质量为滑槽、连杆、活塞总质量为m2 , ,质心在点质心在点C . .在活在活塞上作用一恒力塞上作用一恒力F F . .不计摩擦及滑块不计摩擦及滑块B B的质量的质量, ,求求: :作用在曲作用在曲柄轴柄轴A A 处的最大水平约

16、束力处的最大水平约束力Fx . .tmmmmrtxaCCxcos2dd2121222tmmrFFxcos2212212max2mmrFF显然显然, ,最大水平约束力为最大水平约束力为应用质心运动定理应用质心运动定理, ,解得解得FFammxCx2121211coscos2mmbrmrmxC如图所示如图所示解解: :23解解: 取整个电动机作为质点系研究，分析受力， 受力图如图示运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。例例4 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心O2

17、到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。24teateayx sin , cos2222根据质心运动定理，有xxeixCixiNtemamFamcos ,2222)(gmgmNtemamFamyyeiyCiyi212222)( sin ,temgmgmNtemNyxsin ,cos222122可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。a1=0，a2=e225321332211321332211mmmxmxmxmmmmxmxmxm解：解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。0 iixP例例5 浮动起重船, 船的重量为P1=200kN

18、, 起重杆的重量为P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60, 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2 =30时船的位移。受力分析如图示，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标XC保持不变。 0)(exF 0iixm26船的位移x，杆的位移, 2/)sin(sin2112lxx重物的位移lxx)sin(sin21130/ )sin(sin2/)sin(sin2113211211lxPlxPxP)sin(sin)(2221321321lPPPPPx)30sin60(sin8)2010200(2202

19、10m 318. 0计算结果为负值，表明计算结果为负值，表明船的位移水平向左。船的位移水平向左。0 iixP 0iixm1x初始质心位置27 例例2 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。0)(axmvvM解解：选选两物体组成的系统为研究对象。研究对象。受力分析受力分析， , 0)(exFxK水平方向常量。由水平方向动量守恒及初始静止由水平方向动量守恒及初始静止；则0)()(vvmvMrx)( bamMmSmMmSrxrvravvvv设大三角块速度 ，小三角块相对大三角块速度为 ，则小三角块运动分析运动分析

20、， mmMSSmmMvvrxrxdSdSdtdSdtdSvvrxrxrx移动距离28运动分析，设经过时间后，流体AB运动到位置ab，动量改变： 流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为 流体将对弯管产生动压力(附加动压力)。 设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。),m/s(,21vv)()(12aBAaBbaBABabPPPPPPP取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。受力分析如图示。 9.3 动量定理的一些典型应用1 理想不可压缩流体一维定常流动管壁的附加动反力理想不可压缩流体一维定常流动管壁的附加动反力29由质点系动量定理；得)(21120)( l

21、imeitFRPPWvvQtPdtPd1212 )()(vtQvtQPPPPPAaBbaBaB)()(12aBAaBbaBABabPPPPPPP)(eiFdtPd30其中：静反力其中：静反力 ， 动反力动反力)(21PPWR)( 12vvQR计算 时，常采用投影形式 R)( 12xxxvvQR)( 12yyyvvQR与与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力 RRPPWvvQtPdtPdt21120)(lim)()(1221vvQPPWR即管壁约束力即管壁约束力液体定常流动欧拉方程静反力与W，P1，P2构成平衡力系，动反力为单位时间内动量之差31例例

22、 9 .8 如图所示，水流入固定水管。进如图所示，水流入固定水管。进口流速口流速 v1 = 2 m/s，方向铅垂，进，方向铅垂，进 口截口截面积面积 0.02 m 2。出口。出口 流流 速速 v2 = 4 m/s，与水平成与水平成30度角。求水对管壁的动压力度角。求水对管壁的动压力解：体积流量解：体积流量所以管壁的附加动反力：所以管壁的附加动反力：smvqv3104. 002. 0)( 12xxvDxvvqFNv38030cos04. 010002)( 12yyvDyvvqF0)30sin(04. 0100012vv水对管壁的动压力与上述附加动反力水对管壁的动压力与上述附加动反力FDx，FDy等值反向等值反向32设一个系统的质量随时间设一个系统的质量随时间 t 连续变化，连续变化，t 瞬时质量为瞬时质量为 ，经过经过 时间，质量的变化量为时间，质量的变化量为 若若 dm 0 时，外界向系统输入质量，时，外界向系统输入质量，若若 dm 0时，系统向外界抛出质量。时，系统向外界抛出质量。下面，我们推导这种变质量系统的控制微分方程下面，我们推导这种变质量系统的控