同济大学高等数学-2-7节函数的微分ppt课件

1、第七节函数的微分 微分的意义与近似计算函数的微分的定义问题的提出问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数30

2、30)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数( (改变量的主要部分改变量的主要部分) )是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?1.微分的概念y =Ax + o(x)此时, 称 f (x) 在点 x0 处可微 。设 y = f (x) 在 U(x0) 有定义, 给 x0 以增量x , 且 x0+x U(x0) 。如果函数相应的增量可表示为则

3、称 y 的线性主部为 f (x)在点 x0 处的微分,记为 d y =Ax , 其中, A 叫微分系数 。2.可微与可导的关系定理 ).( , )( )(000 xfAxxfxxf且处可导在点处可微在点y = f (x0)x + o(x)dy = f (x0)x 也就是说 , f (x) 在点 x0 处的可微性与可导性是等价的 , 且 f (x) 在点 x0 处可微 , 那么.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记记作作微微分分称称为为函函数数的的的的微微分分在在任任意意点点函函数数解解.d , yxy求什么意思？例例1 1自变量的增量就是自变量的微分：函数的微分可以写成:该

4、例说明:xxdxxfyd)(dxxfxfd)()(d 或此外, 当 x 为自变量时, 还可记. )( d , d22等Znxxxxnn ,1)(dxxxxy , 故得由于xy .ddxxy. dd)( , d)(d xyxfxxfy有时当即函数 f (x) 在点 x 处的导数等于函数的微分 d y 与自变量的微分 d x 的商, 故导数也可称为微商.哈哈！除法, 这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.解解xxxxyd3d)(d231 . 0221 . 02d3dxxxxxxy)d( 2 . 11 . 0232xx 故xxxyxxd12d3d222 . 2 , 1 . 0 ,

5、2 3处的微分在时以及当处的微分在求xxxxy例例2 2)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(如图如图).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 3. 微分的几何意义 ddtan xy 几何上, 函数 y = f (x) 在点 x 处的微分表示为: 相应于自变量 x 的改变量 x, 曲线y = f (x) 在点 P(x, y) 的切线上纵坐标的改变量.4. 微分的求法微分的求法dxxfd

6、y)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, , 乘以自变量的微分乘以自变量的微分. .1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则

7、函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc例例3 3解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例4 4解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另

8、一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论：结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 例例6 6解解.,sindybxeyax求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例5 5解解.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xu

9、uyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例7 7解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 七、小结七、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化

10、率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做微分法叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学叫做微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可可微微可可导导 导数与微分的区别导数与微分的区别:.,)(),()(. 10000它是无穷小它是无穷小实际上实际上定义域是定义域是它的它的的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数Rxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,(

11、)()()(,)(,()()(,. 20000000的的纵纵坐坐标标增增量量方方程程在在点点处处的的切切线线在在点点是是曲曲线线而而微微处处切切线线的的斜斜率率点点在在是是曲曲线线从从几几何何意意义义上上来来看看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 思考题思考题 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数

12、变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 一、一、 填空题：填空题：1 1、 已知函数已知函数2)(xxf 在点在点x处的自变量的增量为处的自变量的增量为0.20.2，对应的函数增量的线性全部是，对应的函数增量的线性全部是dy=0.8=0.8，那，那么自变量么自变量x的始值为的始值为_._.2 2、 微分的几何意义是微分的几何意义是_._.3 3、 若若)(xfy 是可微函数，则当是可微函数，则当0 x时，时， dyy 是关于是关于x 的的_无穷小无穷小. .4 4

13、、 xdxd sin_ . .5 5、 dxedx2_ . .6 6、 xdxd3sec_2 . .7 7、 xexY22 , ,_22dxdedYx . .8 8、 _)2(arctan2 xed， _ xde. .练练 习习 题题二、二、 求下列的函数的微分：求下列的函数的微分：1 1、 12 xxy；2 2、 2)1ln(xy ；3 3、 21arcsinxy ；4 4、2211arctanxxy ； 5 5、xeyx3cos3 ，求，求3 xdy； 6 6、求由方程、求由方程22)cos(yxxy 所确定的所确定的 y微分微分. .一、一、1 1、-2-2；2 2、曲线的切线上点的纵坐标的相应增