王振发版-分析力学-课件-第4章-力学变分原理

1、第四章第四章 力学的变分原理力学的变分原理1.变分法简介变分法简介2.哈密顿原理哈密顿原理3.力学原理力学原理 . 方程之间的联系（了解）方程之间的联系（了解）4.哈密顿原理应用举例哈密顿原理应用举例5.高斯最小拘束原理高斯最小拘束原理（了解）（了解）6.拉格朗日最小作用量原理拉格朗日最小作用量原理（了解）（了解）力学原理：力学原理： 不需经过证明，在实践中靠归纳得出的力学的最基不需经过证明，在实践中靠归纳得出的力学的最基本最普遍的规律。本最普遍的规律。力学原理分为两大类：力学原理分为两大类： 不变分原理和变分原理；不变分原理和变分原理； 每一类可分为两种形式：微分形式、积分形式。每一类可分为

2、两种形式：微分形式、积分形式。不变分原理：不变分原理： 反映力学系统真实运动的普遍规律反映力学系统真实运动的普遍规律，如果原理本身，如果原理本身只表明只表明某一瞬时某一瞬时状态系统的运动规律，称为状态系统的运动规律，称为微分原理微分原理，如达朗伯原理就是不变分微分原理；如果原理是说明一如达朗伯原理就是不变分微分原理；如果原理是说明一有限时间有限时间过程系统的运动规律，则称为过程系统的运动规律，则称为积分原理积分原理，如机，如机械能守恒原理即不变分的积分原理。械能守恒原理即不变分的积分原理。变分原理：变分原理： 提供一种准则，根据这种准则，可以把力学系统的提供一种准则，根据这种准则，可以把力学系

3、统的真实运动与相同条件下约束所允许的一切可能运动区别真实运动与相同条件下约束所允许的一切可能运动区别开来，从而确定系统的真实运动。开来，从而确定系统的真实运动。如果准则是对如果准则是对某一瞬时某一瞬时状态状态而言的，则该原理称为而言的，则该原理称为微分微分变分原理变分原理 。虚位移原理就是微分变分原理，它提供了区。虚位移原理就是微分变分原理，它提供了区别非自由质点系的真实平衡位置和约束所允许的邻近的别非自由质点系的真实平衡位置和约束所允许的邻近的可能平衡位置的准则，动力学普遍方程和本章的高斯最可能平衡位置的准则，动力学普遍方程和本章的高斯最小拘束原理都是微分变分原理。小拘束原理都是微分变分原理

4、。 如果准则是对一如果准则是对一有限时间有限时间过程而言的，则该原理称为过程而言的，则该原理称为积积分变分原理分变分原理，本章的哈密顿原理和拉格朗日最小作用量，本章的哈密顿原理和拉格朗日最小作用量原理即积分原理。原理即积分原理。力学的变分原理是变分法在力学中的应用。力学的变分原理是变分法在力学中的应用。 1. 变分法简介变分法简介1. 泛函的概念泛函的概念（1）函数的概念）函数的概念 设设 x 和和 y 是两个变量，是两个变量，D是一个给定的数集。如是一个给定的数集。如果对果对D中的每个数中的每个数 x ，变量，变量 y 按确定关系总有一个确定按确定关系总有一个确定的数值与之对应，则称的数值与

5、之对应，则称 y 是是 x 的函数，记作的函数，记作 y = f (x)，x 称做自变量，称做自变量，y 称做因变量。称做因变量。 对于多元函数，记做对于多元函数，记做 y =f (x1，x2，xn）（2）泛函的概念）泛函的概念 给定一个由任何对象组成的集合给定一个由任何对象组成的集合D，这里所说的任，这里所说的任何对象可以是数、数组、点、线、面，也可以是函数或何对象可以是数、数组、点、线、面，也可以是函数或某系统的状态等。设集合某系统的状态等。设集合D中的元素用中的元素用 x 表示，如果对表示，如果对于集合中的每一个元素于集合中的每一个元素 x 对应一个对应一个数数 y，则称，则称 y 是是

6、x的泛的泛函，记为函，记为 y=F (x).有时泛函可以看做是函数，函数也可看做是泛数。有时泛函可以看做是函数，函数也可看做是泛数。 譬如，如果集合譬如，如果集合D中的元素是数中的元素是数 x ，则泛函，则泛函y=F (x)可可视为函数视为函数 y=f (x) ； 如果集合如果集合D中的元素是数组（中的元素是数组（x1, x2, xn），则泛函），则泛函y=F (x) 可视为函数可视为函数 y=f (x1, x2xn)。函数和泛函毕竟是两个不同的概念：函数和泛函毕竟是两个不同的概念： 函数表示的是数与数的一一对应关系，而泛函表示函数表示的是数与数的一一对应关系，而泛函表示的是函数与数一一对应的

7、关系，函数概念可作为泛函概的是函数与数一一对应的关系，函数概念可作为泛函概念的特殊情况。念的特殊情况。2. 变分法简介变分法简介（1）变分法的研究对象）变分法的研究对象 一个可微函数一个可微函数 y= f(x) 在某点在某点 x 具有极值的条件是它具有极值的条件是它的导数等于零，即的导数等于零，即 或说函数的微分等于或说函数的微分等于零，零， 。0)( xfy0)( dxxfdy 实践中还常常遇到需要求出泛函的极大值和极小值实践中还常常遇到需要求出泛函的极大值和极小值的问题，变分法就是研究求泛函的极值的方法。的问题，变分法就是研究求泛函的极值的方法。凡有关求凡有关求泛函的极值问题都称做变分问题

8、。泛函的极值问题都称做变分问题。例如：著名的例如：著名的最速降线问题最速降线问题就是一个变分问题。在图所就是一个变分问题。在图所示的铅垂平面内，质点示的铅垂平面内，质点M在重力作用下，不计摩擦，无在重力作用下，不计摩擦，无初速地自点初速地自点A降落到点降落到点B，所沿曲线可有无数条，显然，所沿曲线可有无数条，显然A，B两点的直线距离最短，但所用时间并不是最少的，那么，两点的直线距离最短，但所用时间并不是最少的，那么，沿哪条曲线所用时间最少呢？沿哪条曲线所用时间最少呢？ 由图知，点由图知，点A，B的坐标分别为（的坐标分别为（0，0），（），（ ），过），过A，B两点的曲线可用两点的曲线可用函数表

9、示为函数表示为 BByx ,)(xfy （0 xxb） 由机械能守恒定律，质点由机械能守恒定律，质点M的速度为的速度为gy2 在在dt 时间间隔内，质点时间间隔内，质点M走过的弧长为走过的弧长为dxydydxds2221)()( 则质点则质点M 从点从点A降落到点降落到点B所用时间为所用时间为BBxsdxgyydst02021 上式时间上式时间t是用定积分（函数的集合）来表示的，这是用定积分（函数的集合）来表示的，这种关系即泛函，其数值取决于式中未知函数种关系即泛函，其数值取决于式中未知函数 y= f(x)和和 。)( xfy 另外：在某一曲面上指定的两点之间，求出长度最短曲另外：在某一曲面上

10、指定的两点之间，求出长度最短曲线问题（短程线问题）；求长度一定的封闭线所围面积线问题（短程线问题）；求长度一定的封闭线所围面积为最大的问题（等周问题）等，都是变分问题。为最大的问题（等周问题）等，都是变分问题。显然显然求此泛函的极小值就是求所用的最小时间求此泛函的极小值就是求所用的最小时间 t,，也就是，也就是求出函数中的哪一个函数表示的曲线是最速降线。求出函数中的哪一个函数表示的曲线是最速降线。（2）变分的概念）变分的概念)(tqq 变分分等时变分和全变分两种，全变分又称非等时变分。变分分等时变分和全变分两种，全变分又称非等时变分。我们只研究等时变分。我们只研究等时变分。 设集合设集合D中的

11、元素是表示某一力学系统运动的函数中的元素是表示某一力学系统运动的函数 ，其中，其中 t 为自变量，为自变量，q 为力学系统的广义坐标，此函数见下图。为力学系统的广义坐标，此函数见下图。 当自变量当自变量 t 有微小增量有微小增量 dt时，时，对应的函数对应的函数 q 的微小增量的线性的微小增量的线性主部主部 dq 称为函数的微分，记为称为函数的微分，记为dttqdq)( 由于是在瞬时由于是在瞬时 t ，不考虑时间，不考虑时间 t 的变化，这种变分称为等时变分。的变化，这种变分称为等时变分。图给出了函数的变分与微分的区别。图给出了函数的变分与微分的区别。 如果自变量如果自变量 t 保持不变，而函

12、数本身形式发生微小变化，则得保持不变，而函数本身形式发生微小变化，则得另一条曲线另一条曲线 ，如图中虚线所示，显然这种曲线有无数条，令，如图中虚线所示，显然这种曲线有无数条，令 式中式中 为一参数，为无穷小量。为一参数，为无穷小量。 )(tq)()(),()(ttqtqtq)(t )(tqqqq上上式表示的是一族依赖于参数式表示的是一族依赖于参数 的函数，相应的是一族非常接近的函数，相应的是一族非常接近的曲线。式中的曲线。式中 是可微的时间函数。是可微的时间函数。 在瞬时，由函数本身形式的微小变化而得的微小增量的主部在瞬时，由函数本身形式的微小变化而得的微小增量的主部 称为函数的变分称为函数的

13、变分，记为，记为 等时变分的两个运算规则等时变分的两个运算规则 变分与对时间求导数的运算次序可以相互交换，即变分与对时间求导数的运算次序可以相互交换，即1a)-(4 )()()()()(tqtqtqtqdtdqdtdqdtdq变分与对时间的积分的运算次序也可以相互交换变分与对时间的积分的运算次序也可以相互交换 ：dttqdttqdttqtqdttqtttttttt)()()()()(212121211b)-(4 )(21dttqtt变分的导数等于导数的变分；变分的积分等于积分变分的导数等于导数的变分；变分的积分等于积分的变分的变分. （3）变分法）变分法 设泛函设泛函J 为定积分为定积分 ),

14、(21dttqqFJtt ),(11qtA),(22qtB)(tqq 现欲求通过两固定点现欲求通过两固定点 和和 的一条曲线的一条曲线 ， 如图如图实线所示，这条曲线使泛函实线所示，这条曲线使泛函 J 具有极具有极值。值。)(tq0)(),(tqtq)(tqq )()(),(ttqtq为表示通过为表示通过A，B两固定点的与两固定点的与非常接近的一族函数，我们将这族非常接近的一族函数，我们将这族函数表示为依赖于参数函数表示为依赖于参数 的函数的函数 ；当当 时，时， ，就是欲求的函数，就是欲求的函数 。 因因 可为不同的值，因此泛函可为不同的值，因此泛函 J 也是也是 的函数，即的函数，即 dt

15、ttqtqFJtt),(),()(21泛函的极值问题就转变为函数的极值问题。泛函的极值问题就转变为函数的极值问题。由函数的极值条件由函数的极值条件00J00J得得0J按运算规则。有按运算规则。有 0),(),(21dtttqtqFJttqqFqqFF0)(21ttdtqqFqqFJ =()FF dFqdtqdtdqqq dtq用分部积分用分部积分公式，第二项的时间积分为公式，第二项的时间积分为222111()ttttttFFdFqdtqqdtqqdtq积分号中第二项积分号中第二项因两端点因两端点A，B是固定的，所以是固定的，所以021ttqq因此上式右边因此上式右边第一项第一项等于零，得等于零

16、，得0)(21qdtqFdtdqFJtt由于由于 是任意的，因此上式成立的条件是是任意的，因此上式成立的条件是q0qFdtdqF 上式就是使泛函上式就是使泛函 J 取极值时函数取极值时函数 应满足的条应满足的条件，它是关于函数件，它是关于函数 的二阶微分方程，称为的二阶微分方程，称为欧拉欧拉微分方程微分方程，解之便得欲求，解之便得欲求的函数的函数 。)(tq)(tqq )(tq下面我们来求解质点的最速降线。改变泛函的形式，即下面我们来求解质点的最速降线。改变泛函的形式，即dxyygdxgyytBBxx202012121dxyygBx212021)1 (21dxxyyFgBx), ,(210对比

17、欧拉微分方程，更换变量，成为对比欧拉微分方程，更换变量，成为0yFdxdyF式中式中232212212122122322121223212)1 (21 )1 ( )1 ()()1 ()1 (21yyyyyyyyyyyFdxdyyyyFyyyF经整理后得经整理后得yyy11 22 y两边同乘以两边同乘以 后积分，得后积分，得)(a lnln)1ln(2为积分常数ayy即即12yay亦即亦即dxdyyay令令)cos1(2ay则则dadysin2代入上式并化简得代入上式并化简得dxda)cos1 (2积分后得积分后得Cax)sin(2由由 得得 。0, 0AAyx0C于是最后得于是最后得 )cos

18、(2)sin(2ayax这是以这是以 为参数的旋轮线的曲线方程。其中为参数的旋轮线的曲线方程。其中 可由可由 值来确定，由图可见值来确定，由图可见 是旋轮的直经，是旋轮的直经， 是旋是旋轮轮的转角。的转角。aBByx,a总之，最速降线为一旋轮线总之，最速降线为一旋轮线 。2.哈密顿原理哈密顿原理应用变分法来研究哈密顿原理应用变分法来研究哈密顿原理 L为拉格朗日函数，使泛函为拉格朗日函数，使泛函21),(ttdttqqLJ及泛函的极值条件及泛函的极值条件0),(21ttdttqqLJ进而得使泛函取极值时的函数进而得使泛函取极值时的函数 q(t) 应满足的条件应满足的条件0qLqLdtd这恰是这恰

19、是一个自由度一个自由度的保守系统的保守系统的拉格朗日方程。的拉格朗日方程。 对于对于多自由度多自由度的保守系统，其拉格朗日函数为的保守系统，其拉格朗日函数为L，仿，仿照对一个自由度系统的分析，便得使泛函取极值时的函数照对一个自由度系统的分析，便得使泛函取极值时的函数qk(t)应满足的条件为拉格朗日方程组应满足的条件为拉格朗日方程组0kkqLqLdtd这个结论推导这个结论推导如下：如下： 由由N个广义坐标构成的空间为个广义坐标构成的空间为N维位形空间维位形空间 为了形象简洁的表示系统的运动，由为了形象简洁的表示系统的运动，由N个广义坐标和个广义坐标和时间时间t组成的组成的N+1维空间，这样，维空

20、间，这样，增广位形空间增广位形空间的一个点的一个点就表示了系统在任一瞬时的位置。就表示了系统在任一瞬时的位置。先介绍增广位形空间的概念：先介绍增广位形空间的概念： 设系统在起始和终止的时间和位置分别用设系统在起始和终止的时间和位置分别用A和和B两个两个点表示，系统的真实运动用上图中的实线点表示，系统的真实运动用上图中的实线AMB表示，此表示，此曲线称为系统的曲线称为系统的真实路径真实路径。在相同的始末条件下，系统。在相同的始末条件下，系统为约束所允许的与真实运动非常邻近的任一可能运动用为约束所允许的与真实运动非常邻近的任一可能运动用图中虚线图中虚线AMB表示，此曲线称为系统的表示，此曲线称为系统的可能路径可能路径。 在任一瞬时在任一瞬时t，可能路径对真实路径的偏离用等时变，可能路径对真实路径的偏离用等时变分分 表示，真实路径的表示，真实路径的M点坐标为点坐标为 ，而可能路径，而可能路径对应的对应的 点的坐标为点的坐标为 ，则，则kq),(tqkM),(tqqkk函数函数L的的等时变分等时变分则为则为)(1kkkkNkqqLqqLLLL),(tqqqqL