概率论与数理统计连续型随机变量及其概率密度

1、一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、小结三、小结第四节连续型随机变量及其概率第四节连续型随机变量及其概率密度密度定义定义 设设 X X 是一随机变量，若存在一个非负是一随机变量，若存在一个非负 可积函数可积函数 f f ( ( x x ), ), 使得使得xttfxFxd)()(其中其中F F ( ( x x ) )是它的分布函数是它的分布函数则称则称 X X 是是连续型随机变量连续型随机变量，f f ( ( x x ) )是它的是它的概率密度函数概率密度函数( p.d.f. )( p.d.f. )，简称为，简称为密度函数

2、密度函数或或概率密度概率密度一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念-10-550.020.040.060.08x xf f ( ( x x) )x xF F ( ( x x ) )分布函数分布函数F F ( ( x x ) )与密度函数与密度函数 f f ( ( x x ) )的几何意义的几何意义)(xfy p.d.f. p.d.f. f f ( ( x x ) )的性质的性质1 1、0)(xf2 2、1)(d)(Fxxf常利用这两个性质检验一个函数能否作为连常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数中的未知参数3

3、3、在在 f f ( ( x x ) ) 的连续点处，的连续点处，)()(xFxff f ( ( x x ) ) 描述了描述了X X 在在 x x 附近单位长度的区间内附近单位长度的区间内取值的概率取值的概率4 4 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP)(aX )(aXxa0 x事实上事实上)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(lim)(0000)(aXP由此可得：由此可得：)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(d)(aFbFxxfbab bx xf f ( (

4、x x) )-10-550.020.040.060.08a a连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关)()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a. 0 aXP若若X是连续型随机变量，是连续型随机变量， X=a 是不是不可能事件，则有可能事件，则有, 0 aXP若若是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量, （3 3）连连续续型型离离散散型型是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定aX .271)3(;)2(

5、;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkxxxkxxfX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解, 1d)()1( xxf由由例例1的概率密度为的概率密度为知知由由Xk61)2( ., 0, 43,22, 30,6)(其它其它xxxxxf, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxfxFd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即

6、271)3( XP)1()27(FF .4841 二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX记为记为区间上服从均匀分布区间上服从均匀分布在区间在区间则称则称其它其它具有概率密度具有概率密度设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 1. 均匀分布均匀分布xo)(xf a b概率密度概率密度函数图形函数图形均匀分布概率密度函数均匀分布概率密度函数演示演示均匀分布的意义均匀分布的意义,),(Xba变量变量上服从均匀分布的随机上服从均匀分布的随机在区间在区间.),(性是相同的性是相同的内的可能内的可能中任意等长度的子区间中任意等

7、长度的子区间落在区间落在区间baxo)(xf a bab 1 lablp l即即 X X 的取值在的取值在( (a a, ,b b) )内任何长为内任何长为 d d c c 的小区间的小区间的概率与小区间的位置无关的概率与小区间的位置无关, , 只与其长度成正只与其长度成正比比. . 这正是几何概型的情形这正是几何概型的情形. . ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数xo)(xF a b 1均匀分布分布函数图形均匀分布分布函数图形演示演示例例3 3设随机变量设随机变量X X服从服从(1,6)(1,6)上的均匀分布，求上的均匀分布，求一元两次方程一元两次方程t t2 2+

8、Xt+Xt+1 1= =0 0有实根的概率有实根的概率. . 解解: :.01,0422有实根有实根时时因为当因为当 XttX故所求概率为故所求概率为: : )04(2XP)22( XXP或或而而X X的密度函数为的密度函数为 : : ,0;61,51)(其其他他xxf, 0)2(,54)()2(62 XPdttfXP且且因此所求概率因此所求概率 .54)04(2 XP解解由题意由题意,R 的概率密度为的概率密度为 ., 0,1100900),9001100(1)(其其他他rrf故有故有1050950 RP. 5 . 0d20011050950 r例例3 设电阻值设电阻值 R 是一个随机变量，

9、均匀分布在是一个随机变量，均匀分布在900 1100 求求 R 的概率密度及的概率密度及 R 落在落在950 1050 的概率的概率 ).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx记为记为的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 2. 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)高斯资料高斯资料正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有

10、拐点处有拐点曲线在曲线在x 参数称为位置轴作平移变换着只是沿图形的形状不变的大小时改变当固定xxf;,)(,)6(;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x称为形状参数图形越矮越胖越大图形越高越瘦越小而形状在改变不变图形的对称轴的大小时改变当固定xf.,)(,)7(正态分布密度函数图形正态分布密度函数图形演示演示正态分布的分布函数正态分布的分布函数txFxtde21)(222)( 正态分布分布函数图形正态分布分布函数图形演示演示（1）正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正

11、常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 可以说可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态那么这个变量一般是一个正态随机变量随机变量.（2）正态分布还可以导出一些有用的分布。）正态分布还可以导出一些有用的分布。（3）另一方面）另一方面,有些分布有些分布(如二项分布、泊松分布如二项分

12、布、泊松分布)的极限分布是正态分布的极限分布是正态分布.所以所以,无论在实践中无论在实践中,还是在还是在理论上理论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换二项分布向正态分布的转换).1, 0(,1, 0),(2NN记为记为态分布态分布的正态分布称为标准正的正态分布称为标准正这样这样时时中的中的当正态分布当正态分布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,e21)(22 xxx 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.,de21)(22 xtxxt标准正态分布的图形标准正态分布的

13、图形标准正态分布的计算：.)(,值由此可得态分布表教科书上都附有标准正x5 . 0)0()(1)(xx1)(2)|(|aaXP5 . 0)0(-3-2-11230.10.20.30.4-xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.4对一般的正态分布对一般的正态分布 ：X N X N ( ( , , 2 2) ) 其分布函数其分布函数xttexFd21)(222)(作变量代换作变量代换tsxxF)(abaFbFbXaP)()()(aaFaXP1)(1)(例例6 6 已知),2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 3 3所以至少要进行所

14、以至少要进行 4 4 次独立测量才能满足要求次独立测量才能满足要求. . 3 3 指数分布指数分布若若 X X 的密度函数为的密度函数为其他, 00,)(xexfx则称则称 X X 服从服从 参数为参数为 的指数分布的指数分布)(EX记作记作X X 的分布函数为的分布函数为0,10, 0)(xexxFx 0 0 为常数为常数对于任意的对于任意的 0 0 a a b b, , babaxeeaFbFxebXaP)()(d)(应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命无线电

15、元件的寿命动物的寿命动物的寿命指数分布常作为各种指数分布常作为各种“寿命寿命”分布的近似分布的近似分分钟钟之之间间的的概概率率分分钟钟到到用用电电话话间间，求求你你需需等等待待面面走走进进公公如如果果某某人人刚刚好好在在你你前前为为参参数数的的指指数数随随机机变变量量（单单位位：分分钟钟）是是以以间间设设打打一一次次电电话话所所用用的的时时2010101 X解：解：的的密密度度函函数数为为X 00010110 xxexfx例例4 4 2010 XPBP则则令：令：B B= = 等待时间为等待时间为10201020分钟分钟 201010101dxex201010 xe 21 ee2325. 0

16、(4) (4) 伽玛分布伽玛分布 设随机变量设随机变量X X，若，若X X的密度函数为的密度函数为 , 0, 0,0, 00,)()(1 xxexxfx则称则称X X服从参数为服从参数为 的伽玛（的伽玛（GammaGamma）分布）分布, ,简称为简称为 分布，分布， ,),( GX记记为为为伽玛函数为伽玛函数其中其中)( . 0,)(01 dxexx注注: :伽玛函数具有性质：伽玛函数具有性质： )()1(. 1 )2/1(, 1)1(. 20dxex(5) (5) 威布尔分布威布尔分布 ( (自学自学) )(6) (6) 截尾分布截尾分布( (自学自学) ) 分布函数分布函数概率密度概率密

17、度三、小结三、小结2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 xttfxFd)()(. 1 连续型随机变量连续型随机变量均匀分布均匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布 Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)Died: 23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany)Carl Friedrich Gauss高斯资料高斯资料一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量

18、函数的分布三、小结三、小结第五节第五节 随机变量的分布随机变量的分布).(,)(,)(XfYXYxfyxXYxXxf 记作记作的函数的函数变量变量为随机为随机则称随机变量则称随机变量的值的值的值而取的值而取取值取值随着随着若随机变量若随机变量的集合上的函数的集合上的函数的一切可能值的一切可能值是定义在随机变量是定义在随机变量设设问题问题?)(的分布的分布分布求得随机变量分布求得随机变量的的量量如何根据已知的随机变如何根据已知的随机变XfYX 一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布 Y 的可能值为的可能值为 ;2,1,0,)1(2222 即即 0, 1, 4.解解0002

19、XPXPYP,41 .2的分布律的分布律求求的分布律为的分布律为设设XYX Xp2101 41414141例例1)1()1(112 XXPXPYP11 XPXP,214141 2442 XPXPYP,41 故故 Y 的分布律为的分布律为Yp410412141由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布的分布律为的分布律为若若也是离散型随机变量也是离散型随机变量其函数其函数是离散型随机变量是离散型随机变量如果如果XXgYX.)(, Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(X

20、gY kppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合并合并应将相应的应将相应的中有值相同的中有值相同的若若kkpxgY 的分布律为的分布律为Yp4 1 2121Xkp211 616263例例2 设设.52的分布律的分布律求求 XY解解 第一步第一步 先求先求Y=2X+8 的分布函数的分布函数).(yFY)(yYPyFY 82yXP 解解二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布.82., 0, 40,8)(的概率密度的概率密度求随机变量求随机变量其他其他的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量 XYxxxfXX例例3)()(yFyfyY xxfyXd)(28 28 yX

21、P,)28)(28( yyfX第二步第二步 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度.d)(28 xxfyX).()()()()(,)()()()(xxfxxfxFdttfxFxx 则则如果如果本例用到变本例用到变限的定积分限的定积分的求导公式的求导公式 ., 0, 4280,21)28(81)(其他其他所以所以yyyfY ., 0,168,328其他其他yy)(yYPyFY 2yXP yXyP )()(yFyFXX .32. 0,e, 0, 0)(232的概率密度的概率密度和和求随机变量求随机变量的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量 XYXYxxxxfXxX解解,2分布函数分布函数先求随机变量先求随机变量XY 例例4.d)(d)(xxfxxfyXyX )