第四节 数据处理

1、定义：定义：数据处理就是用简明而严格的数据处理就是用简明而严格的方法把实验数据所代表的事物内在规方法把实验数据所代表的事物内在规律性提炼出来。它是获得数据到结果，律性提炼出来。它是获得数据到结果，包括记录、整理、计算、分析等内在包括记录、整理、计算、分析等内在的一个加工过程。的一个加工过程。数据处理方法很多，主要讲列数据处理方法很多，主要讲列表法、作图法、逐差法和最小表法、作图法、逐差法和最小二乘法。二乘法。一、列表法一、列表法列表法就是在记录和处理数据时，将原始数据列表法就是在记录和处理数据时，将原始数据（有时还把运算的中间项）列成表格。（有时还把运算的中间项）列成表格。要求：要求： 要把原

2、始数据和必要的运算要把原始数据和必要的运算过程中的中间结果引入表中。过程中的中间结果引入表中。 必须标明各符号所代表的物必须标明各符号所代表的物理量的意义，并写明单位。理量的意义，并写明单位。 表中的数据要正确地反映测量表中的数据要正确地反映测量结果的有效数字。结果的有效数字。 记录环境数据（如温度）和记录环境数据（如温度）和测量样品的参数。测量样品的参数。通过测量温度通过测量温度t和在温度和在温度t下铜的电阻下铜的电阻Rt来来测量铜的电阻温度系数，得到测量铜的电阻温度系数，得到t与与Rt的数的数据列表如下：据列表如下：）关关系系温温度度（）电电阻阻（tRt)(样品：铜样品：铜)( Ct)(t

3、R表中数据均为有效数字表中数据均为有效数字优点：优点：1.简单而明确地表示相关各简单而明确地表示相关各 物理量之间的关系。物理量之间的关系。 2.便于对比检查测量与运算便于对比检查测量与运算 结果是否合理。结果是否合理。 3.便于发现和分析问题，有便于发现和分析问题，有 助于从中找出规律性的联助于从中找出规律性的联 系和找出经验公式。系和找出经验公式。二、作图法二、作图法二、作图法二、作图法 作图法就是把一系列数据之间的作图法就是把一系列数据之间的关系或其变化情况用图线直观地表关系或其变化情况用图线直观地表示出来的一种方法，它是研究物理示出来的一种方法，它是研究物理量之间的变化规律，找出对应的

4、函量之间的变化规律，找出对应的函数关系，求出经验公式最常用的方数关系，求出经验公式最常用的方法之一。法之一。1.1.作图的应用作图的应用A.图线是依据许多图线是依据许多数据点描出的平滑数据点描出的平滑曲线，因而具有取曲线，因而具有取平均的效果，从图平均的效果，从图线我们可以看出偶线我们可以看出偶然误差的大小以及然误差的大小以及判断是否存在系统判断是否存在系统误差。误差。B.直接得到经验公式直接得到经验公式(求斜率与截距）求斜率与截距） 从实验得出的一系列数据为线性关系从实验得出的一系列数据为线性关系或近似为线性关系时，可用一直线作为其或近似为线性关系时，可用一直线作为其图线。根据实验数据得到直

5、线的图线过程图线。根据实验数据得到直线的图线过程叫直线拟合，数据应分布在直线两边。叫直线拟合，数据应分布在直线两边。直线方程为直线方程为ybxa斜率为斜率为截距为截距为此法称为三点法，第此法称为三点法，第三个点为非实验点三个点为非实验点截距为截距为211221x yx yaxx2121yybxx213321yyayxxxC.内插与外推内插与外推从图线可得到非测量点的数据。如图所示：从图线可得到非测量点的数据。如图所示：利用内插或外推使测量利用内插或外推使测量范围得到了扩展，并且范围得到了扩展，并且方便快捷、避免了复杂方便快捷、避免了复杂的计算。的计算。*当数据在测量范围内时为当数据在测量范围内

6、时为内插内插（X1,Y1）*当数据在测量范围外时为当数据在测量范围外时为外推外推（X2,Y2）注意：实验图线是不能随意注意：实验图线是不能随意延伸，不能认定在一定范围延伸，不能认定在一定范围内得到的规律一定可以适应内得到的规律一定可以适应于另一范围。于另一范围。D.校正曲线校正曲线一信号源的输出频率有较大的误差，可一信号源的输出频率有较大的误差，可利用高精度的信号源对它进行校正，校利用高精度的信号源对它进行校正，校正结果如下：正结果如下：利用校正曲线可以提高仪器的准确度。利用校正曲线可以提高仪器的准确度。注意：校注意：校正曲线是正曲线是折线折线图，图，相邻的数相邻的数据点用据点用直直线线连接。

7、连接。E.曲线改直曲线改直 从实验得出的数据常近似满足从实验得出的数据常近似满足一定的非线性函数关系，给实验数一定的非线性函数关系，给实验数据找到合适的非线性函数图线的过据找到合适的非线性函数图线的过程叫曲线拟合。很多非线性函数关程叫曲线拟合。很多非线性函数关系可通过适当变换成为线性关系，系可通过适当变换成为线性关系，把这种变换称为曲线改直。把这种变换称为曲线改直。为常数、幂函数baaxyb,).1 (。，截截距距为为斜斜率率为为的的线线性性函函数数，为为则则abxyaxbylglglg,lglglg 为为常常数数。、baaeybx,).2( 。，截截距距为为斜斜率率为为的的线线性性函函数数，

8、为为则则abxyabxylnln,lnln 为为常常数数。、baabyx,).3( 。，截截距距为为斜斜率率为为的的线线性性函函数数，为为则则abxyaxbylglglg,lg)(lglg 为为常常数数。CCI,).4( 。斜斜率率为为的的线线性性函函数数，为为则则CI ,CI 11 为为常常数数。ppxy,2).5(2 。斜斜率率为为的的线线性性函函数数，为为则则pxy,xpy222121 a a、b b为为常常数数。, ,b bx xa ax x( (6 6) ). .y y 斜斜率率为为a a，截截距距为为b b。的的线线性性函函数数，x x1 1为为y y1 1b b, ,x x1 1

9、a ay y1 1则则 为为常常数数。、avattvS020,21).7( 。，截截距距为为斜斜率率为为的的线线性性函函数数，为为则则002,21vattsatvts 测量单摆的周期测量单摆的周期T随摆长随摆长L的变化，函数关系为：的变化，函数关系为：224TgL LT曲线为抛物线。曲线为抛物线。若进行曲线改直作若进行曲线改直作LT2曲线。结果将得到一条通过原点的直线。曲线。结果将得到一条通过原点的直线。其斜率等于其斜率等于24g。由此可算出试验所在地的重力加速度。由此可算出试验所在地的重力加速度g电容的放电过程电容的放电过程RcteQq 式中式中R或或c为未知量，可以为未知量，可以用作图的方

10、法确定。两边取对数得：用作图的方法确定。两边取对数得：QLntRcqLn 1作作 曲线，设图线的斜率为曲线，设图线的斜率为 截距为截距为 。由此可算出电路参数由此可算出电路参数R或或c。tqLnRc1 QLn2.2.作图规则作图规则决定作图参量决定作图参量(标尺）、标尺）、选取坐标纸。选取坐标纸。 作图一定要用坐标纸，作图一定要用坐标纸，测量数据中的可靠数字在图测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠的，即图纸上上也应是可靠的，即图纸上一小格对应数据中可靠数字一小格对应数据中可靠数字的最后一位，而误差位在小的最后一位，而误差位在小格之间估计。格之间估计。 作图时纵坐标和横坐标的比例不一定相同，坐标

11、作图时纵坐标和横坐标的比例不一定相同，坐标原点也不一定与变量的零点一致。应适当地选择比例原点也不一定与变量的零点一致。应适当地选择比例和坐标原点，使曲线尽量充满整个图纸，不要偏于一和坐标原点，使曲线尽量充满整个图纸，不要偏于一角或一边。角或一边。 某稳压二极管的某稳压二极管的I V曲线曲线 2.2.作图规则作图规则 标明坐标轴和图名标明坐标轴和图名如果图中包括多条图线，每条图线也要写名称。如果图中包括多条图线，每条图线也要写名称。 2.2.作图规则作图规则 标点标点若同时有几条线，分别用若同时有几条线，分别用“x” “+” “0” “” “” “I”等标点，通常不用园点等标点，通常不用园点“”

12、，特别是小圆点，特别是小圆点“.”，图线绘制时应准确落在标记的中心上。，图线绘制时应准确落在标记的中心上。2.2.作图规则作图规则 连线连线a. 平滑曲线平滑曲线 平滑曲线是表示一定条件下两个物理量之间相互关系的图线。平滑曲线是表示一定条件下两个物理量之间相互关系的图线。 如果图线是反映物理量之间未知函数关系的，一般应绘制如果图线是反映物理量之间未知函数关系的，一般应绘制平滑曲线，连线应尽量平滑、连续地过大多数数据点，曲率应平滑曲线，连线应尽量平滑、连续地过大多数数据点，曲率应连续过渡，少数数据点不符合整体规律的，不必过该数据点。连续过渡，少数数据点不符合整体规律的，不必过该数据点。b. 校正

13、曲线校正曲线 校正曲线是折线图，相邻的实验点之间都是直线段校正曲线是折线图，相邻的实验点之间都是直线段连接。必须通过每个数据点连成折线。连接。必须通过每个数据点连成折线。 校正值校正值A = A标准标准 - A被校为纵坐标，被校为纵坐标，A被校为横坐标，被校为横坐标，各相邻校验点之间用直线连接起来得到的各相邻校验点之间用直线连接起来得到的A - A被校图线即被校图线即为校正曲线。为校正曲线。 c. 拟合直线和拟合曲线拟合直线和拟合曲线 如果测量数据可以用已知或期望的函数方程表示如果测量数据可以用已知或期望的函数方程表示其规律性，则用该函数方程描绘的曲线就是拟合曲线。其规律性，则用该函数方程描绘

14、的曲线就是拟合曲线。 从实验得出的一系列数据为线性关系或近似为线从实验得出的一系列数据为线性关系或近似为线性关系时，可用一直线作为其图线。由这些数据得到性关系时，可用一直线作为其图线。由这些数据得到直的图线的过程叫做直线拟合。直线拟合时，数据应直的图线的过程叫做直线拟合。直线拟合时，数据应均匀地分布在直线两边。拟合直线是拟合曲线的特例，均匀地分布在直线两边。拟合直线是拟合曲线的特例，在实验中有着广泛的应用。在实验中有着广泛的应用。 注意：注意：连线时不一定通过所有数据点（甚至可能一连线时不一定通过所有数据点（甚至可能一个点都不通过），而是让数据点均匀地分布在拟合直个点都不通过），而是让数据点均

15、匀地分布在拟合直线或拟合曲线的两旁线或拟合曲线的两旁 说明说明:同一图上要画几条图线，可以分别用不同虚实线同一图上要画几条图线，可以分别用不同虚实线 或不同标点或不同颜色画出来。或不同标点或不同颜色画出来。3.3.作图举例作图举例直角坐标举例。测得铜电阻与温度对应的直角坐标举例。测得铜电阻与温度对应的一组数据如表所示，试用直角坐标作图表一组数据如表所示，试用直角坐标作图表示出电阻与温度的函数关系。示出电阻与温度的函数关系。 测量次数12345678910铜电阻 Rt10.2010.2010.3510.3510.5110.5110.6410.6410.7610.7610.9410.9411.08

16、11.0811.2211.2211.3611.3611.5311.53温度 t0.00.05.05.010.010.015.015.020.020.025.025.030.030.035.035.040.040.045.045.0)()( C在图中任选两点在图中任选两点 和和 ，将两点代入式中可得：将两点代入式中可得：最后，得到电阻随温度的变化关系为：最后，得到电阻随温度的变化关系为：)(20.100314. 0 tRc)/(0314. 00 .130 .4860.1070.11Cb由于有由于有x=0的坐标点，故的坐标点，故)(20.10a)70.11, 0 .48(1P)60.10, 0 .

17、13(2P 用电势差计校准量程为用电势差计校准量程为1mV的毫伏表，的毫伏表，测量数据如下（表中单位均为测量数据如下（表中单位均为mV）。在）。在如图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线，如图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线，并对毫伏表定级别。并对毫伏表定级别。 毫伏表读数毫伏表读数0.1000.2000.3000.4000.500 电势差计读数电势差计读数0.10500.21500.31300.40700.5100 修正值修正值U0.0050.0150.0130.0070.0100.6000.7000.8000.9001.0000.60300.69700.78500.89201.00700.00

18、3-0.003-0.015-0.0080.007 毫伏表读数毫伏表读数 电势差计读数电势差计读数 修正值修正值U例例4：%5 . 1%10000. 1015. 0%100%amax 量量程程 毫伏表的级别为：毫伏表的级别为：为为1.5级表级表（1）作用：验证理论或寻找经验公式；用内插法和外）作用：验证理论或寻找经验公式；用内插法和外推法（在一定条件下）从图线得到测量数据范围以外推法（在一定条件下）从图线得到测量数据范围以外的数据；作修正曲线及校准曲线；帮助发现实验中个的数据；作修正曲线及校准曲线；帮助发现实验中个别测试点测量结果的错误，对系统误差进行分析等。别测试点测量结果的错误，对系统误差进

19、行分析等。（2）优点：直观、简便；如果图线是依据许多数据点）优点：直观、简便；如果图线是依据许多数据点描出的拟合直线或曲线，则有取平均的效果；利用作描出的拟合直线或曲线，则有取平均的效果；利用作图把复杂的函数关系变换为线性关系即曲线改直等。图把复杂的函数关系变换为线性关系即曲线改直等。（3）缺点：由于受坐标纸图幅的限制，有时不能完全）缺点：由于受坐标纸图幅的限制，有时不能完全反映测量值的有效数字；另外，同一数据，不同的人反映测量值的有效数字；另外，同一数据，不同的人或同一人两次描绘，结果也不尽相同。因此作图法是或同一人两次描绘，结果也不尽相同。因此作图法是一种粗略的方法。一种粗略的方法。小结：

20、小结：1.1.逐差法的含义逐差法的含义 把实验测量数量（因变量）进行逐把实验测量数量（因变量）进行逐项相减或依顺序分为两组实行对应项测项相减或依顺序分为两组实行对应项测量数据相减之差作因变量的多次测量值。量数据相减之差作因变量的多次测量值。然后求出最佳值然后求出最佳值算术平均值的处理算术平均值的处理数据的方法。数据的方法。伏安法测电阻，试用逐差法求出电流伏安法测电阻，试用逐差法求出电流I的最佳值并算出电阻的最佳值并算出电阻R)(1mAIIKK)(5mAIIKK.若按逐项相减，则有若按逐项相减，则有111)(1101nkkkIII 9102312.1101IIIIII 1101101II IVR

21、 解：解：根据伏安公式根据伏安公式.若按顺序分为两组（若按顺序分为两组（15为一组，为一组，610为一组）为一组）mAI99. 9596. 993. 903.1001.1004.10 实行对应项相减，其结果如表：实行对应项相减，其结果如表：可以利用这种分组法计算因变量可以利用这种分组法计算因变量 的平均值的平均值根据欧姆定律得根据欧姆定律得)(1000. 11099. 900. 2533 IVR)(1mAIIKK)(5mAIIKK)( I 2.2.有关逐差法的几点说明有关逐差法的几点说明使用条件：使用条件： 自变量等间隔变化（对一次逐差必须自变量等间隔变化（对一次逐差必须 是线性关系，否则先进

22、行曲线改直）是线性关系，否则先进行曲线改直）用数据进行直线拟合（一次逐差）用数据进行直线拟合（一次逐差） 优点：优点： 充分利用测量数据（取平均的效果）充分利用测量数据（取平均的效果）作用：作用： 验证函数是否线性关系（一次逐差）验证函数是否线性关系（一次逐差） 如果测量数据不是偶数，计算时就要如果测量数据不是偶数，计算时就要 去掉头、尾或中间一组数据。去掉头、尾或中间一组数据。计算不确定度时，把两个数据的差作计算不确定度时，把两个数据的差作 为直接测量量来计算不确定度，在数为直接测量量来计算不确定度，在数 据较少时（如据较少时（如7 7个数据，逐差后剩个数据，逐差后剩3 3个）个） 仪器误差

23、一般要按照常值仪器误差一般要按照常值1.41.4倍计算。倍计算。近似计算法比较：近似计算法比较：作图法：作图法： 直观、简便。但主观随意性大（粗略）直观、简便。但主观随意性大（粗略）逐差法：逐差法： 粗略的近似计算方法（要满足一定条件）粗略的近似计算方法（要满足一定条件）回归分析法：回归分析法： 最准确的计算方法最准确的计算方法1.1.回归分析法定义：回归分析法定义： 由数理统计的方法处理数据，通过计算由数理统计的方法处理数据，通过计算确定其函数关系的方法。确定其函数关系的方法。步骤：步骤：1.推断函数形式（回归方程）推断函数形式（回归方程）2.由实验数据确定参数由实验数据确定参数a、b、 c

24、等的最佳值。等的最佳值。3.根据实验数据检验函数关系根据实验数据检验函数关系 是否合理。是否合理。y=aebx+c (指数关系）指数关系）如如 y=a+bx (线性关系）线性关系）2.2.用最小二乘法进行一元线性回归用最小二乘法进行一元线性回归（1）最小二乘法原理）最小二乘法原理给定函数关系为给定函数关系为 y = a + bx最小乘数最小乘数a和和b的值是能使各次测的值是能使各次测量值误差平方和为最小的那个值。量值误差平方和为最小的那个值。数学表达式为：数学表达式为：Kiixx12min)(最佳（2）一元线性回归（直线拟合）一元线性回归（直线拟合）函数形式函数形式bxay （1）实验数据为实

25、验数据为.,.,2121kkyyyxxx对对应应由于由于x和和y的测量存在误差，将的测量存在误差，将kkyyyxxx.,.,2121和和代入（代入（1）式，等式两边并不相等。）式，等式两边并不相等。等式两端的差值用等式两端的差值用k .,21表示，则表示，则)(111bxay )(222bxay )(kkkbxay .按最小二乘法原理，按最小二乘法原理，a、b最佳值应满足：最佳值应满足： kiiikiimin)bxay(1212 （2）由于由于 最小，最小， kii12 （2）式对）式对a和和b求偏导应为求偏导应为0。 kiiikiibxaya11202 kiiiikiixbxayb11202

26、 整理后得整理后得 kiikiikiiikikiiixbxayxxbkay12111100（3）由于由于xxkkii 11yykkii 112121xxkkii xyyxkkiii 11 002xbxaxyxbay222xxxyxyxa xayxxxyyxb 22代入（代入（3）式有：）式有：总结：上式总结：上式a、b就是用最小二乘法求得就是用最小二乘法求得拟合直线的截距和斜率的最佳值。拟合直线的截距和斜率的最佳值。注意：注意： 1.用最小二乘法计算用最小二乘法计算a、b时，计算中间过程不时，计算中间过程不宜用有效数字运算法则，否则引起较大的计算误差，宜用有效数字运算法则，否则引起较大的计算误差，用计算器为好，把显示数字都记下来为好。用计算器为好，把显示数字都记下来为好。 2.若若x、y相关性好，可粗略考虑相关性好，可粗略考虑a的有效数字的有效数字位数与位数与y有效数字最后一位对齐，有效数字最后一位对齐，b的有效数字位的有效数字位数与数与 和和 中有效位数较少的相同。但最中有效位数较少的相同。但最可靠的方法是通过计算可靠的方法是通过计算a、b的不确定度来确定有的不确定度来确定有效数字的位数。效数字的位数。 3.最小二乘法求出拟合