相似三角形的复习[1]

1、卢春华卢春华一、相似三角形的定义一、相似三角形的定义 、 的两个三角形，叫做相似三角形。三、相似三角形的性质三、相似三角形的性质二、相似三角形的判定二、相似三角形的判定对应角相等对应边成比例对应角相等对应边成比例相似三角形的判定相似三角形的判定：相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。相似三角形判定定理:两角对应相等两角对应相等,两三角形相似。两三角形相似。相似三角形判定定理:两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等, ,两三角两三角形相似。形相似。相似三角形判

2、定定理:三边对应成比例三边对应成比例,两三角形相似。两三角形相似。相似三角形的传递性:如果两个三角形都与第三个三角形相如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形也相似似，那么这两个三角形也相似直角三角形相似的特殊判定定理：斜边与一直角边对应成比斜边与一直角边对应成比例例, ,两直角三角形相似两直角三角形相似. .ADEBACBABCDADE绕点A旋转DCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合ACB=RtCDAB相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾：相似三角形的性质相似三角形的性质：定义定义:相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形对应角相等，对应边成比例.

3、相似三角形性质定理相似三角形性质定理: 相似三角形对应角平分线相似三角形对应角平分线之比、对应中线之比、对应高之比都等于相似比之比、对应中线之比、对应高之比都等于相似比.相似三角形性质定理相似三角形性质定理:相似三角形周长之比等于相似比相似三角形周长之比等于相似比. .相似三角形性质定理相似三角形性质定理: 相似三角形面积之比等于相似比相似三角形面积之比等于相似比 的平方的平方.相似三角形判定与性质的应用相似三角形判定与性质的应用引申：增加什么增加什么条件能使两个直条件能使两个直角三角形相似角三角形相似引申：增加什增加什么条件能使两么条件能使两个等腰三角形个等腰三角形相似相似 1.1.判一判判

4、一判: :（1 1）两个等腰三角形一定相似吗）两个等腰三角形一定相似吗（2 2）两个等边三角形一定相似吗）两个等边三角形一定相似吗（3 3）两个直角三角形一定相似吗）两个直角三角形一定相似吗 不一定不一定一定一定不一定不一定2.找一找找一找:(1) 如图如图, 在在ABC中中, ACB=90, DEAB,则图中有没有则图中有没有三角形相似三角形相似?(2) 若分别延长若分别延长DE、BC交于点交于点F,这时图中还有哪些三角形相这时图中还有哪些三角形相似似?EBACD(3)(3)若联结若联结DCDC、AFAF，这时图中又有哪些三角形也相似？，这时图中又有哪些三角形也相似？F1.如图，正方形如图，

5、正方形ABCD的边长为的边长为8，E是是AB的中的中点，点点，点M，N分别在分别在BC，CD上，且上，且CM=2，则，则当当CN=_时，时，CMN与与ADE相似。相似。EABCDMN1或或4练一练练一练:E EA AB BC C. .3 3、如图、如图, , 在在ABCABC中中,AB=5,AC=4,E,AB=5,AC=4,E是是ABAB上一点上一点,AE=2, ,AE=2, 在在ACAC上取一点上取一点F,F,使以使以A A、E E、F F为顶点的三角形与为顶点的三角形与 ABCABC相似相似, ,那么那么AF=_AF=_F2F F1 1练一练练一练2558或4 4、 如图如图, , 在直角

6、梯形中在直角梯形中, BAD=D=ACB=90, BAD=D=ACB=90。， CD= 4, AB= 9, CD= 4, AB= 9, 则则 AC=_AC=_ D DA AB BC C6二、知识应用二、知识应用1 1、如图、如图, ,正方形正方形ABCDABCD中中, ,E E是是DCDC中点中点,.,.求证求证: : AEEFAEEFABCDEF2 2、如图、如图, ,DEBC,EFAB,DEBC,EFAB,且且S SADEADE=25,S=25,SCEFCEF=36=36，求求ABCABC的面积的面积. .ABCDEFADEBC（1)若若AD:BD=2:3,则则CADE: CABC_；S

7、ADE: S ABC=_(2) 若直线若直线DE将将ABC 的面积分成相等的两部分，则的面积分成相等的两部分，则DE:BC=_(3)若点若点D、F是是AB的三的三 等分点，等分点，DEFG BC， 则则C ADE: CAFG : C ABC = S ADE: S AFG : S ABC = S ADE: S 梯形梯形DFGE: S 梯形梯形FBC =:FG.算一算算一算:如图如图:ABC中，中，DE/BC() 若连结若连结DC,BE交于点交于点O,且且 ,则则梯形梯形，。916DOEBOCSS，O 证明：证明：CDAB， E为为AC的中点的中点 DE=AE EDA=A EDA=FDB A=FD

8、B ACB= Rt A=FCD=900-CBA FDB=FCD F= F FDBFCD BD：CD=DF：CF BDCF=CDDF 例例4 如图，如图，CD是是RtABC斜边上的高，斜边上的高，E为为AC的中点，的中点， ED交交CB的延长线于的延长线于F。CEADFB求证：求证：BDCF=CDDFBCAPQBCAPQBCAPQ若若AB=6 cm,AC=5cm,BC=8cm,AP=2cm,点点Q从从A出发，出发，沿折线沿折线ACB以以1cm/s的速度移动，问经过几秒钟，的速度移动，问经过几秒钟，PQ截截ABC所得的新三角形与原三角形相似（点所得的新三角形与原三角形相似（点P在在AB上上固定不动

9、）固定不动） Q B C A P 合作交流合作交流 4 4、如图、如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一个动点边上的一个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使使ADE=45ADE=45A AB BC CD DE E（1 1）求证：）求证：ABDABDDCEDCE（2 2）设）设BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y关于关于x x的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量x x的取值范围，并求出当的取值范围，并求出当BDBD为何值时为何值时AEA

10、E取得最小值取得最小值（3 3）当）当ADEADE是等腰三角形时，求是等腰三角形时，求AEAE的长的长拓展提高拓展提高1 1xy 如图如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一个动点个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使使ADE=45ADE=45（1 1）求证：）求证：ABDABDDCEDCEADCADC是是ABDABD的外角的外角ADC=ADE+2=B+1ADC=ADE+2=B+1）2 21 1证明：证明：AB=ACAB=AC，BAC=90BA

11、C=90B=C=45B=C=45又又ADE=45ADE=45ADE=BADE=B1=21=2 ABDABDDCEDCEA AB BC CD DE E（2 2）设）设BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y关于关于x x的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量x x的取值范围，并求出当的取值范围，并求出当BDBD为何值时为何值时AEAE取得最小值取得最小值解：解：ABDABDDCEDCE1 1xy1y2xABBDCDCE112xyx即12yxx221yxx2212202yxx当当22x 时时12y最小值 如图如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=A

12、C=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一个动点个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使使ADE=45ADE=45A AB BC CD DE E（3 3）当）当ADEADE是等腰三角形时，求是等腰三角形时，求AEAE的长的长AD=AEAD=AEAE=DEAE=DEDE=ADDE=AD 如图如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一个动点个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使使AD

13、E=45ADE=451 1xy1y2xA AB BC CD DE E分类讨论分类讨论挑战自我挑战自我BADC D F在ABC中 ， AB=AC=8，BAC=120 ， 取 一 把 含 30 角 的 三 角 板 ，把 30 角 的 顶 点 放 在 BC边 上 运 动 （ 不 与 B、 C重 合 ） ， 使 一 边经 过 点 A， 另 一 边 与 AC相 交 于 点 F。（ 1）与相 似 吗 ？ 若 相 似 ， 请 证 明 ； 若 不 相 似 ， 请 说 明 理 由 。（ 2） 设 BD=x， AF=y， 求 y与 x的 函 数 关 系 式 ， 并 指 出 定 义 域 。（ 3） 当ADF是 等 腰 三 角 形 时 ， 求 AF的 长 。ABC如图，如图，一块直角三角形木板的一块直角三角形木板的一条直角边长为一条直角边长为1.5m，面，面积为积为1.5