数理统计例题

1、v1.0可编辑可修改1设随机变量X和Xi,X2,Xi6是X的一个样本,例题解析(1)丫相互独立，XN(1,12),YN(2,2)。丫1,丫2,丫1。是Y的一个样本，测得数据16Xii11684,x：i110563,yii11018,y：72i1(1)分别求1,2的矩估计量；(2)分别求2的极大似然估计值;(3)在显著水平0.05下检验假设H0:j2,H/12(1)用样本一阶原点矩估计总体一阶矩，即得2的矩估计值:?2也：(2)?21161XXi16i11105.25,?2yi10i11.8。正态总体XN(,2)的参数2的极大似然估计量为2(XiX)。1:的极大似然估计值为(3)-(x16i1工

2、1010i1x)21n2Xi16i116X27.625c1n(yiy)wi1V；16y23.962未知，双总体方差的假设检验。待检假设H。：12因为s21n,aJXi查F分布表,0.05下的单侧检验。2一x)8.13,S222；n(y1y)24.4o所以F同机量得i1F841f1.847得Fo.05”9)3.01.经比较知,F1.847F0.05(15,9)3.01,故接35xj0.963912,Tj1i133.8,Tj4.8102j1v1.0可编辑可修改例2有三台机器，生产同一种规格的铝合金薄板，测量三台机器所生产的薄板厚度（单位：厘米），得结果如表所示。W1W2Wrs2i112964225

3、448965S&9(S1267176515533S2)271224Si1(168)2766.8889Qe3SSi13S2人1765155331112.2222111.777819QtQeQa111.777866.8889178.6667II型(A2)5685107126665m(A3)7116679510667计算：X14,X27.22,X37.444,X6.222列成表格如下，其中,r3,n27方差来源平方和自由度均力F值因素Qa66.8889AQe111.7778总和Qt178.666777v1.0可编辑可修改QrQn66.888933.44452111.77784.657F0SA33.4

4、445SE4.65747.1809,查表F0.052,243.40给定的显著水平0.05,查表Fo.05(2,24)3.40,因247.1809F0.05（2,24）3.40,故拒绝H0,即认为这三种不同菌型的伤寒杆菌的平均存活天数有显著差异。关于未知求=1,2,3）的参数估计Qe?2=nSE4.65744.0006.2222.2227.2226.2221.0007.4446.2221.222i的区间估计F0.05(1,nr)F0.05(1,24)4.26i的置信区间为(XinrF(1,nr)F-(1,n-r)=,4.657/9X4.26=1,2,3白95%置信区间为88v1.0可编辑可修改均

5、值之差i-的1-的置信区间为1kt_(nr)to.025(24)2.06242曾rTJ信二爰“砒20012,13,23的95%的置信区间为);例7.（正交试验）为了制造轴承，寻求新钢种最佳等温淬火工艺。考察试验指标是径向抗压负荷与硬度，对试验指标有影响的主要因素：加热温度（单位：C）,等温温度（单位：0C）,淬火返修次数（单位：次），将因素列如下表。水平列号A加热温度B等温温度C淬火返修次数190025002880260138602702因为是3元素3水平，选择正交表L9（34）合适。制定试验方案表表头设计ABC歹1号试Qik、123411(900)1(250)3(2)29922(880)11

6、(0)333(860)12(1)1412(260)235223163212713(270)118232293333v1.0可编辑可修改确定试验方案在上表中，每一个横行就代表了一个试验条件，共有9个试验条件。等1号试验条件是：加热温度是9000C（Ai）,等温温度是2500c（Bi）,返修次数是2次（C3）,记作为A1B1C3,类似地第2号试验条件是A2B1C1,第9号试验条件是A3B3C3试验方案的实施按正交表中的试验条件严格操作。将各次的试验结果记录下并列如下表中。T其中品一一第j列因素水平k（k1,2,3）,不上一一第j列因素水平k的33次试验指标的平均例Tn（负荷）5.55.78.419

7、.6,对因素B,有硬度T23(57.253)/357.253Sj（负荷）Tjk63.2各因素的3个水平的负荷之和k1Sj（硬度）58.15各元素的3个水平平均硬度。Rj(负荷)=maxTjkJ1k3minTjk1k3Rj(硬度)=m1axTjkminTjkIk3Ik31010v1.0可编辑可修改列号试1(A)2(B)3(C)试验指标负荷硬度1234567891(900)2(880)3(860)1231231(250)112(260)223(270)333(2)1 (0)2 (1)231123品负荷负荷单位：t硬度单位：HRC硬度Tj2负荷硬度Tj3负荷硬度负荷硬度九负荷硬度匚3负荷硬度Rj负荷

8、硬度正交试验结果的分析1111v1.0可编辑可修改1 .直接看：（1）比较9次试验的负荷：抗压负荷最高的试验条件是A2B3c2,即第8号试验，其次是A1B3C1（第7号试验），A3B2C1（第6号试验），A2B1C1（第2号试验）。（2）再比较9次试验的硬度是：硬度的高低主要取决于等温温度，加热温度和返修次数对硬度无明明显影响。综合考虑，等2号试验的条件问好。2 .计算分析；（1）负荷因素A平均负荷是T；27.678800C因素B平均负荷是T238.27因素C平均负荷是%7.87由此分析出A2B3C1是最好的试验条件。但这个条件在表中没有出现。类似（1）硬度一一AB根据每个因素对试验指标的影响

9、不同，区分出主次。由上表可见主次z”因素BCA负荷水平270C00次8800C硬度因素水平B250C0A各水平C各水平用极差大小来区分主次：若某因素的极越大，则该因素对指标的影响就越大结果可以看出是因素Bo综合平衡考虑：硬度不能低于58（HRC）在这一条件下高负荷的好水平组合为A2B2C1。试验结果的分析很分别的在正交表中进行。3 .方差分析这是3元素3水平的无重复试验设计问题。1212v1.0可编辑可修改其效应模型为Yjkijkijk333i0,j0,k0约束条件i1j1k1ijkN(0,2),各派是相互独立设丫1,丫2,丫9表示从第1号试验到第9号试验的试验指标。具体效应模型表示如下丫1丫

10、2丫3丫4丫5丫6丫7丫8丫9H01:检验假设总离差平方SSt4SSjj1其中SSj第j列的离差平方和,由于正交表具有均衡分散性和综合可比性的特点，所以SSj3i13Tjr19(i9丫)21ESS13Eir丫1丫4丫7丫2丫5丫83E丫3丫6丫99=312Yi1同理Ess1313v1.0可编辑可修改ESSj312ESS422记SGSSA为因素A的平方和SS2SSb为因素B的平方和S&SSC为因素C的平方和。SS4SS31则SSC2SSc1SS2SSA2SSb2(31)T-S(91)T(31),-S(31)SSc/2-2(31),SScJ2-2(31)当H01为真时，检验统计量Fa2生F(2,2

11、)分布;SSC1/2当H02为真时，检验统计量FbSSCF(2,2)分布；SS1/2当H03为真时，检验统计量Fc0SNf(2,2)分布。SSC1/2若给定显著系性水平，拒绝域FF2,2,当拒绝H01,则认为因素A对试验指标有显著影响；当拒绝H。2,则认为因素B对试验指标有显著影响；当拒绝H03,则认为因素C对试验指标有显著影响；利用正交表进行方差分析时，要确定自由度可以用如下方法。f总总试验组数(n)1SSt;正交表每列的自由度正交表总的自由度f列该列数字种数1即每个因素平方和的自由度f因素该因素水平数11414v1.0可编辑可修改正交表总的自由度=各自由度之和，即f总f列；正交表空白列的自由度=误差平方和的自由度。若无空白列，则将最小的离差平方和作为误差平方和，即S&1m.irkSS。将例7的关于抗压负荷的方差列如下表方差分析表方差来源平方和自由度土萌F因素ASSA2.0356fA2SSa1.0178Fa1.3315因素BSSB7.0756fB2SSb3.5378Fb4.6282SSC4.3356fc2SSC2.1678Fc2.8359因素CSSC11.5288fc12SSC0.7644SG14.976ft8总和效应是未知参数，应先求效应估计值，效应估计值大的所对应的水平是好水平。前面已经分析过因素A,C对