第1章科学计算的魅力

1、科学计算的魅力科学计算的魅力 南京航空航天大学数学系南京航空航天大学数学系 内容提要1. 1. 科学计算的地位与应用科学计算的地位与应用 2. 2. 科学计算的基本内容科学计算的基本内容一. 科学计算的地位与应用理论理论研究研究科学科学计算计算科学研究科学研究/工程技术工程技术 科学计算的地位科学计算的地位科学科学实验实验应用应用问题问题数学数学模型模型计算计算方法方法建模建模计算计算算法算法软件软件 科学工程计算科学工程计算v“科学计算科学计算”就是研究在计算机上解就是研究在计算机上解决数学问题的理论和数值方法决数学问题的理论和数值方法. .v计算机技术和应用软件的发展，让科计算机技术和应用

2、软件的发展，让科学计算展开了双翼。学计算展开了双翼。v许多迅速发展的其他学科给科学计算许多迅速发展的其他学科给科学计算的发展开拓出更为广阔的新天地的发展开拓出更为广阔的新天地。v 请看几个应用请看几个应用在国防中的魅力v美国和前苏联分别进行了次和美国和前苏联分别进行了次和次核试验，而中国前后只进行了次核试验，而中国前后只进行了次核试验却获得了前两者所得到的类似试次核试验却获得了前两者所得到的类似试验结果，这就是计算机时代中科学计算的验结果，这就是计算机时代中科学计算的作用。原因何在？作用。原因何在？v科学计算不再只和计算机有关，它决定我科学计算不再只和计算机有关，它决定我们的生存们的生存。 航

3、天中科学计算v发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星世发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星世纪开始到发射、回收为止，科学家和工程纪开始到发射、回收为止，科学家和工程技术人员、工人就要对卫星的总体、部件技术人员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生产，要对选用的火箭进行全面的设计和生产，要对选用的火箭进行设计和生产，这里面就有许许多多的进行设计和生产，这里面就有许许多多的数据要进行准确的计算。数据要进行准确的计算。v发射和回收的时候，又有关于发射角度、发射和回收的时候，又有关于发射角度、轨道、遥控、回收下落角度等等需要进行轨道、遥控、回收下落角度等等需要进行精确的计算。精确的计算。 嫦娥一号中

4、的科学计算嫦娥一号中的科学计算高斯消去法高斯消去法的巨大威力的巨大威力v假设用著名的假设用著名的Cramer法则去求一个法则去求一个25个未知数的线个未知数的线性方程组性方程组, 这时需要计算这时需要计算26个个25阶的行列式阶的行列式, 再假定再假定用行列式的定义来计算行列式的值用行列式的定义来计算行列式的值, 则完成这一计算则完成这一计算任务需要的乘法计算次数约为任务需要的乘法计算次数约为26!. v若忽略存取数和加减运算等计算机所需时间若忽略存取数和加减运算等计算机所需时间,用每秒用每秒可用万亿次乘法的计算机来完成这一任务可用万亿次乘法的计算机来完成这一任务,所需时间所需时间大约是一千三

5、百多万年大约是一千三百多万年. 然而现在改用消去法然而现在改用消去法,则可则可在不到一秒的时间内完成上百阶的线性方程组的求在不到一秒的时间内完成上百阶的线性方程组的求解任务解任务. 计算方法的意义计算方法的意义: （3）基于离散数据建立数学模型时）基于离散数据建立数学模型时 无法采用传统数学方法获得所需解的三种有代表性无法采用传统数学方法获得所需解的三种有代表性的情形的情形 :（1）所涉及的数学模型无系统的求解析解的方法）所涉及的数学模型无系统的求解析解的方法 （2）所涉及数学模型的解法计算量大，只适用）所涉及数学模型的解法计算量大，只适用 于规模较小的情形于规模较小的情形 什么是计算方法（数

6、值分析）？什么是计算方法（数值分析）？研究怎样通过计算机所能执行的基本运算，求得研究怎样通过计算机所能执行的基本运算，求得各类问题数值解或近似解的学问。各类问题数值解或近似解的学问。加、减、乘、加、减、乘、除、逻辑运算除、逻辑运算 计算方法计算方法（又称为（又称为数值分析数值分析）的任务）的任务:研究如何对给定的问题构建只须进行有限步四则研究如何对给定的问题构建只须进行有限步四则运算的计算模型，以便有效地借助于计算机迅速运算的计算模型，以便有效地借助于计算机迅速求出所需要的数值解。这种计算模型通常又称为求出所需要的数值解。这种计算模型通常又称为计算格式计算格式。计算方法不同于纯粹数学学科的一些

7、新特点计算方法不同于纯粹数学学科的一些新特点: : 面向计算机：将要求解的数学问题简化成一系列的面向计算机：将要求解的数学问题简化成一系列的 算术运算和逻辑运算算术运算和逻辑运算，以便在计算机，以便在计算机 上求出问题的上求出问题的数值解数值解。遵循的遵循的相容性原则相容性原则，满足控制误差积累的，满足控制误差积累的数值稳定性数值稳定性要求要求，以及评价计算格式优劣的，以及评价计算格式优劣的计算复杂性计算复杂性，为适应，为适应大型计算机的计算，现今又提出了大型计算机的计算，现今又提出了并行性并行性要求。要求。三.科学计算的基本内容线性方程组求解线性方程组求解非线性方程求根非线性方程求根插值与拟

8、合插值与拟合数值微分与积分数值微分与积分常微分方程数值解常微分方程数值解ABxoab )(xf0)( f非线性方程求根非线性方程求根1xo2x 22221211212111cxaxacxaxa解线性方程组求解线性方程组求解yxo插值插值tyo1 247356824252627拟合拟合abxyo badxxfI)(数值积分数值积分计算格式的相容性与稳定性计算格式的相容性与稳定性定义定义1.11.1 如果一个计算格式在取某种极限后可还原成如果一个计算格式在取某种极限后可还原成某数学模型，则称该计算格式与此数学模型相容。某数学模型，则称该计算格式与此数学模型相容。 定义定义1.21.2 如果在用某一

9、计算格式进行数值计算的如果在用某一计算格式进行数值计算的过程中，误差不会严重积累，从而保证解满足所要过程中，误差不会严重积累，从而保证解满足所要求的精确度求的精确度( (简称精度），则称该计算格式简称精度），则称该计算格式数值稳数值稳定定（简称为（简称为稳定稳定），反之则为），反之则为不稳定不稳定。 稳定性分析通常基于对初始误差的传播状况的讨论。 补充内容：补充内容：例例1.1 试建立计算如下问题的稳定的计算格式试建立计算如下问题的稳定的计算格式 101dxexIxnn解解 分部积分得分部积分得 110111011| nxnxnnnIdxexnexI由此可建立如下两种计算格式由此可建立如下两种

10、计算格式 格式（格式（A）：）： ), 2 , 1(11 nnIInn格式（格式（B）：）： ), 1,()1(11 NNnInInn定积分的性质定积分的性质 性质性质1)(0nIn 性质性质2 11111 nnInIne性质性质3 0 nI 初始值的选取：初始值的选取： 格式（格式（A）, 0110101IedxeIx近似取得近似取得根据根据 格式（格式（B），）， )111(211 NeNIN近似取近似取格式格式(A)格式格式(B)精确值精确值I0I1I2I3I4I5I6I70.63210.36800.26400.20800.16800.16000.04000.72000.63200.36

11、800.26430.20730.17080.14550.12690.11240.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.1124稳定性分析稳定性分析 对格式（对格式（A）：）： 相减得相减得由由 1111nnnnInInII1 nnnee0!enen 故得故得所以，计算不稳定。所以，计算不稳定。 对格式（对格式（A）：）： 所以，计算不稳定。所以，计算不稳定。 nnene11 )( |12111|NneNnneNn 故得故得稳定性分析稳定性分析 对格式（对格式（B），），则有则有 计算稳定。计算稳定。 一般来说，若一个计算格式满足如下误差关系式一般来

12、说，若一个计算格式满足如下误差关系式 )(|为常数为常数初初后后CeCe 则认为该计算格式数值稳定。则认为该计算格式数值稳定。 所以，人们通常以相容性和稳定性作所以，人们通常以相容性和稳定性作为对一个计算格式可行性的基本要求。为对一个计算格式可行性的基本要求。 稳定性分析稳定性分析 3.1 非线性方程非线性方程(组组)的数值解的数值解v五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代数方程的解，因此，要求出五次以上的高次代数方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是数值分析的方法。数值分

13、析的方法。v对于对数方程、三角方程等一般非线性方程只对于对数方程、三角方程等一般非线性方程只能采用数值分析的办法。能采用数值分析的办法。v找出找出简洁、误差小、收敛快、计算时间少简洁、误差小、收敛快、计算时间少的计的计算方法是数值分析的主要课题算方法是数值分析的主要课题。 3.2 线性代数方程组线性代数方程组v在线性代数方程组的解法中，常用的有塞在线性代数方程组的解法中，常用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法等等。此外，一些比较古老的普通消去法，等等。此外，一些比较古老的普通消去法，如高斯法、追赶法等如高斯法、追赶法等.v在计算机的条件下已得到广泛的

14、应用。在计算机的条件下已得到广泛的应用。 大大家可猜一猜家可猜一猜,目前可解方程组的个数大约多目前可解方程组的个数大约多少少?3.3 数值逼近v 在计算方法中，数值逼近也是常用的基本在计算方法中，数值逼近也是常用的基本方法。数值逼近也叫近似替代，就是用简方法。数值逼近也叫近似替代，就是用简单的函数去替代比较复杂的函数，或者替单的函数去替代比较复杂的函数，或者替代不能用解析表达式表示的函数。代不能用解析表达式表示的函数。v数值逼近的基本方法是数值逼近的基本方法是插值法插值法。初等数学。初等数学里的三角函数表，对数表中的修正值，就里的三角函数表，对数表中的修正值，就是根据插值法制成的是根据插值法制

15、成的。 3.4 数值微分与数值积分v在遇到求微分和积分的时候，如何利用简在遇到求微分和积分的时候，如何利用简单的函数去近似代替所给的函数，以便容单的函数去近似代替所给的函数，以便容易求到和求积分，也是计算方法的一个主易求到和求积分，也是计算方法的一个主要内容要内容. v 插值型方法，复合求积法等插值型方法，复合求积法等3.5 微分方程(组)数值解v常微分方程的数值解法由欧拉法、预测校常微分方程的数值解法由欧拉法、预测校正法等。偏微分方程的初值问题或边值问正法等。偏微分方程的初值问题或边值问题，目前常用的是有限差分法、有限元素题，目前常用的是有限差分法、有限元素法等。法等。v 有限差分法的基本思想是用离散的、只有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变含有限个未知数的差分