24等比数列(1)

1、2.4 等等 比比 数数 列列(1)情景引入引例情景引入引例1： 如下图是某种细胞分裂的模型：如下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：细胞分裂个数可以组成下面的数列：124816 庄子庄子曰：曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”11111 24816， 如果将如果将“一尺之棰一尺之棰”视为单位视为单位“1”，则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：引例2：引例3： 一种计算机病毒可以查找计算机中的地一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者

2、发造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染轮每一台计算机都感染20台计算机，那么台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：的计算机数构成的数列是：120202203引例4： 除了单利，银行还有一种支付利息的方式除了单利，银行还有一种支付利息的方式复利，复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的期的利息，也就是通常说的“利滚利利滚利”。按照复利计算本。按照

3、复利计算本利和的公式是：本利和利和的公式是：本利和 = 本金本金（1+利率）利率）存期存期。 现在存入银行现在存入银行10000元钱，年利率是元钱，年利率是1.98%，那么按照复，那么按照复利，利，5年内各年末的本利和组成了下面的数列：年内各年末的本利和组成了下面的数列：10000 1.0198210000 1.0198310000 1.0198410000 1.0198510000 1.0198 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？四个数列有什么共同特征？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项

4、的比等于同一个常数；一项的比等于同一个常数； 我们给具有这种特征的数列一个名字我们给具有这种特征的数列一个名字等比数列等比数列 1.探究新知探究新知“探探”1、等比数列的定义、等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从第二项第二项起，每一项与它前一项的起，每一项与它前一项的比等于比等于同一个常数同一个常数，这个数列就叫做，这个数列就叫做等比数列等比数列，这个常数，这个常数就叫做等比数列的就叫做等比数列的公比公比（常用字母（常用字母“q”表示）。表示）。 （1）公比公比q一定是由后项除以前项所得一定是由后项除以前项所得 （2）对于数列）对于数列an，若，若 （与（与n无关的数

5、无关的数或字母），或字母），n 2，n N，则此数列是等比数列，则此数列是等比数列，q为公为公比。比。)0(1qqaann 1.由于等比数列的每一项都可能作为分母，所以每一由于等比数列的每一项都可能作为分母，所以每一项均不能为零，因此项均不能为零，因此q也不能为零。也不能为零。2.常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列。当常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列。当常数列各项都不为常数列各项都不为0时，它才是等比数列。时，它才是等比数列。思考思考 一：等比数列的每一项和公比是否能为零一：等比数列的每一项和公比是否能为零?思考二：常数列是否一定是等比数列？思考二：常数列是否一定是等比数列？思考

6、三：既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？思考三：既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？2、等比数列的通项公式：、等比数列的通项公式： 法一：迭代法法一：迭代法qaaqaa1212212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa由此归纳等比数列的通项公式可得：由此归纳等比数列的通项公式可得： 11nnqaa等等比比数数列列等等差差数数列列daa12daa213daa314由此归纳等差数列由此归纳等差数列的通项公式可得：的通项公式可得： dnaan) 1(1类比类比2、等比数列的通项公式：、等比数列的通项公式： 累乘法累乘法qaa12qaa23qaa3411nnqaaqaann1共共(n

7、 1) 项项）等等比比数数列列 法二：累加法法二：累加法daa12daa23daa34dnaan) 1(1daann1+）等等差差数数列列类比类比11nnqaa练习：试写出引例中等比数列的通项公式，练习：试写出引例中等比数列的通项公式， 并指出首项和公比。并指出首项和公比。, 18, 1243 aa18123121qaqa即例例3.一个等比数列的第项和第项分别是和一个等比数列的第项和第项分别是和，求它的第项和第项，求它的第项和第项解解 ：用：用an 表示题中公比为表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有的等比数列，由已知条件，有解得解得 因此因此，82331612qaa答：这个数列的第答：这

8、个数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是.8316与23q 316a118123121qaqa即,18,1243aa11nnqaa范例讲解范例讲解范例讲解范例讲解 已知数列 的通项公式为 这个数列是等比数列吗？ na3 2nna 例例4.已知已知an,bn是项数相同的等比数列，是项数相同的等比数列，那么数列那么数列anbn是等比数列吗？是等比数列吗？若若an,bn是项数相同的等比数列，是项数相同的等比数列，公比分别为公比分别为p, q。则数列。则数列anbn是等比数是等比数列，公比为列，公比为pq。特别地，若特别地，若an是等比数列，是等比数列，c是不等于是不等于0的常的常数，则数列数，则数列c.an也是等比数列。也是等比数列。P52 探究探究若若an,bn是项数相同的等比数列，公比是项数相同的等比数列，公比分别为分别为p, q。则数列。则数列 是等比数列，是等比数列，公比为公比为 。bannqp已知已知 an,bn是项数相同的等比数列，是项数相同的等比数列，那么数列那么数列 也一定是等比数列吗？也一定是等比数列吗？bann等比中项等比中项如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，那么成等比数列，那么G叫做叫做a与与b的等比中