固体物理学_能带理论之三维周期场中电子运动的近自由电子近似

1、04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论04_03 三维周期场中电子运动的近自由电子近似三维周期场中电子运动的近自由电子近似 1 模型和微扰计算模型和微扰计算 电子受到粒子周期性势场的作用电子受到粒子周期性势场的作用 势场的起伏较小零级近似势场的起伏较小零级近似 用势场的平均值代替离子产生的势场用势场的平均值代替离子产生的势场 VVr周期性势场起伏量周期性势场起伏量 VVV r 微扰来处理微扰来处理势场的平均值势场的平均值01/3404_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 电子的波动方程电子的波动方程 222VEm rrr 晶格周期性势场函数晶格周期性势场函

2、数 mVVrRr04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论1) 零级近似下电子的能量和波函数零级近似下电子的能量和波函数零级哈密顿量零级哈密顿量VmH2202薛定谔方程薛定谔方程 2200002VEmrrr电子的波函数电子的波函数能量本征值能量本征值 01iV ek rkr2202kEVmk金属金属 个原胞构成，体积个原胞构成，体积123NN N N0VNv04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 周期性边界条件周期性边界条件满足正交归一化条件满足正交归一化条件312123123lllNNNbbbk电子的波矢电子的波矢电子的零级本征波函数电子的零级本征波函数

3、01ieVk rkr0*0,0Vd kkk kr04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论2) 微扰时电子的能量和波函数微扰时电子的能量和波函数 近自由电子近似模型近自由电子近似模型微扰的情形微扰的情形0HHHVmH2202( )HVVV r微扰后电子的能量微扰后电子的能量 120.EEEEkkkk电子的波函数电子的波函数 0(1).kkkrrr05/3404_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论一级能量修正一级能量修正电子的能量电子的能量 120.EEEEkkkk(1)( )0EHVVkkkkrk二级能量修正二级能量修正 2200HEEEkkkkkk kk(

4、)( )HVVVkkkrkkr k ()0(1/)ViVVeVdkk rkr krr04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论(1)000HEEkkkkkkk一级修正一级修正电子的波函数电子的波函数0(1)( )( )( ).kkkrrr矩阵元矩阵元 的计算的计算 HVkkkr k 01ViVeVdVkk rkr krr引入积分变量引入积分变量mrR04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 0()()0 011mviimVeVdevNkk Rkk kr k应用应用312123123lllNNNbbbk312123123lllNNNbbbk1 12233mmmm

5、Raaa331122312312312123111222000mimllllllNNNimimimNNNmmmeeeekk R04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论112233123123,llllllnnnNNN123mimeN N NNkk R0mimek k R当上式中当上式中321,nnn 为整数为整数则有则有任意一项不满足任意一项不满足112233123123,llllllnnnNNN则有则有04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论112233nnnnkkbbbG 00 01nvinVeVdVvGkr k 0()0 011mviimVeVdevN

6、kk Rkk kr k331122123123llllllNNNkkbbb123mimeN N NNkk R10/3404_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论波函数一级修正波函数一级修正(1)000kHEEkkkkkk0( )11niiirV eV eeGrk rk rk(1)001nniinnVV eeEEG rk rkkk G电子的波函数电子的波函数0(1)( )( )( )rrrkkk001( )1nniinnVeeEEVG rk rkkk GrnkkG04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论mrrR波函数波函数00nninnVeEEG rkk+G 不

7、变不变波函数波函数001( )1nniinnVeeEEVG rk rkkk Gr波函数可以写成自由电子波函数和晶格周期性函数乘积波函数可以写成自由电子波函数和晶格周期性函数乘积1( )( )ieuVk rkkrr00( )1nninnVueEE G rkkk Gr04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 微扰后电子的能量微扰后电子的能量0(1)(2).EEEEkkkk220(1)2(2)0020nnnkEVmEVEEEkkkkk G222002nnnVkEVmEEkkk G04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大一级修

8、正波函数和二级能量修正趋于无穷大222002nnknVkEVmEEkk+G001( )1nniinnVeeEEVG rk rkkk Gr22nkkG102nnGkG当当 和和 的零级能量相等的零级能量相等 knk =k +G04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论n kkG102nnGkG 三维晶格三维晶格 波矢在倒格矢垂直平波矢在倒格矢垂直平 分面上以及附近的值分面上以及附近的值 非简并微扰不再适用非简并微扰不再适用15/3404_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论简单立方晶格中的倒格子空间简单立方晶格中的倒格子空间O点是一个倒格点点是一个倒格点 距离距离

9、O点最近邻的倒格点有点最近邻的倒格点有6个个 纸面内有纸面内有4个倒格点个倒格点_红点标记红点标记 垂直于纸面有垂直于纸面有2个倒格点个倒格点04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论* A和和A两点波矢大小相等，零级能量相同两点波矢大小相等，零级能量相同 同时相差一个倒格矢同时相差一个倒格矢 两个状态的相互作用矩阵元不为零两个状态的相互作用矩阵元不为零1nGb112233nnnnkkbbbG* B和和B两点波矢大小和两点波矢大小和A点相同点相同 但不满足但不满足 几个状态的相互几个状态的相互 作用矩阵元为零作用矩阵元为零04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理

10、论* 四点波矢大小相等四点波矢大小相等 零级能量相同零级能量相同 相差一个倒格矢相差一个倒格矢 几个状态作用矩阵元不为零几个状态作用矩阵元不为零1234,C CC C2133113411 kkbkkbbkkb 三维情形中，简并态三维情形中，简并态 的数目可能多于两个的数目可能多于两个 04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论2 布里渊区和能带布里渊区和能带 在在k空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出 k空间分割被为许多区域空间分割被为许多区域 每个区域内每个区域内 E k 是连续变化的是连续变化的 而在这些区域的边界上能量而在这

11、些区域的边界上能量E(k)发生突变发生突变 这些区域称为这些区域称为布里渊区布里渊区04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 布里渊区布里渊区 简单立方晶格简单立方晶格k空间的二维示意图空间的二维示意图20/3404_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带属于同一个布里渊区的能级构成一个能带 每一个布里渊区的体积相同每一个布里渊区的体积相同_倒格子原胞的体积倒格子原胞的体积 每个能带的量子态数目每个能带的量子态数目 _ 2N (计入自旋计入自旋) 三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不

12、同 使得不同的能带发生重叠使得不同的能带发生重叠 不同的布里渊区对应不同的能带不同的布里渊区对应不同的能带04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 第一布里渊区在第一布里渊区在k方向上能量最高点方向上能量最高点 A k方向上能量最高点方向上能量最高点C 二维正方格子二维正方格子 C点的能量比第二布里渊区点的能量比第二布里渊区B点高点高04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 第一布里渊区第一布里渊区 和第二布里渊区能带的重叠和第二布里渊区能带的重叠04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论用简约波矢用简约波矢 表示能量和波函数表示能量和波函数

13、kmkkG( )( )nnEandkkr能量和波函数能量和波函数 必须同时指明它们属于哪一个能带必须同时指明它们属于哪一个能带22200( )2nnnVkEVmEEkkk Gk001( )1mnniiinnnVeeeEEVGrG rk rkkk Gr04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论3 几种晶格的布里渊区几种晶格的布里渊区 1) 简单立方格子简单立方格子 第一布里渊区第一布里渊区 原点和原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立方体个近邻格点的垂直平分面围成的立方体123aaaaiajak123222aaabibjbk 倒格子基矢倒格子基矢 正格子基矢正格子基矢 简单立方格

14、子简单立方格子25/3404_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 第一布里渊区第一布里渊区 简单立方格子简单立方格子04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论2) 体心立方格子体心立方格子 正格子基矢正格子基矢123()2()2()2aaaa-i+ j+kai- j+kai- j+k1232()2()2()aaabj+kbi+kbi+ j 倒格子基矢倒格子基矢a4 边长边长 的面心立方格子的面心立方格子第一布里渊区第一布里渊区04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 第一布里渊区第一布里渊区原点和原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十

15、二面体个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 体心立方格子第一布里渊区各点的标记体心立方格子第一布里渊区各点的标记04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论3) 面心立方格子面心立方格子123()2()2()2aaaaj+kak +iai+ j1232()2()2()aaab-i+j+kbi-j+kbi-j+k 正格子基矢正格子基矢 倒格子基矢倒格子基矢a4 边长边长 的体心立方格子的体心立方格子第一布里渊区第一布里渊区30/3404_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 第一布里渊区为原点和第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分个近邻格点连线的垂直平分 面围成的正八面体，和沿立方轴的面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连个次近邻格点连 线的垂直平分面割去八面体的六个角线的垂直平分面割去八面体的六个角, 形成的形成的14面体面体04_03_三维周期场中电子运动的近自由电子近似 能带理论 八个面是正六边形八个面是正六边形 六个面是正四边形六个面是正四边形面心立方格子面心立方格子 第一布里渊区第一布里渊区04_