三次样条插值ppt

1、插值与拟合插值与拟合前言前言 函数是多种多样的，在科研与工程实际中有的函数表达式过于复杂而不便于计算，但又需要计算多点的函数值；有的函数甚至给不出数学式子，只能通过实验和测量得到一些离散数据（如某些点的函数值和导数值）。面对这种情况，很自然的一个想法就是构造某个简单的函数作为要考察的函数的近似 。 如果要求近似函数满足给定的离散数据，则称之为的插值函数。实用上，我们常取结构相对比较简单的代数多项式作为插值函数,这就是所谓的代数插值。 设设 为给定的节点，为给定的节点， ，为相应的函数值，求一个次数不超过为相应的函数值，求一个次数不超过 的多项式的多项式 ，使其满足使其满足 ， .这类问题称为这

2、类问题称为插值问题插值问题。 称为称为被插值函数被插值函数， 称称为为插值函数插值函数， 称为称为插值节点插值节点01,nx xx)(iixfy ni, 1 , 0n)(xPnni, 1 , 0( )niiP xy一、问题提出一、问题提出01,nx xx( )f x( )nP x 定理定理1 设设 为给定的彼此互异的为给定的彼此互异的 个插值个插值节点，则存在唯一的次数不超过节点，则存在唯一的次数不超过 的多项式的多项式 ，满足，满足条件条件 , .nxxx10,1nn)(xPn( )niiP xyni, 1 , 0二、存在唯一性二、存在唯一性证明证明: 设设 , 其中其中 为待定系数为待定系

3、数.利用插值条件利用插值条件 , ,我们得到一个线性代数方程我们得到一个线性代数方程组组 , ,其中其中 观察发现矩阵观察发现矩阵A A是范德蒙矩阵是范德蒙矩阵, ,那么那么, ,由几代知识知道矩阵由几代知识知道矩阵A A 的行列式的行列式 为为 , ,由定理中条件由定理中条件, ,插值结点为彼此互异的插值结点为彼此互异的, , 那么行那么行列式不为零列式不为零. .故由故由CramerCramer法则知线性代数方程组法则知线性代数方程组 存在唯一解存在唯一解. . 2012nnnPaa xa xa x012,na a aa( )niiP xyAab0011111nnnnnxxxxAxx001

4、1,nnayayabay0( )()ijj i nDet Axx Aab三、三、Lagrange插值法插值法 011011()()()()( ),0,1,()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxl xinxxxxxxxx0( )( )nni iiPxy lx（1）Lagrange插值插值多项式可以表示为多项式可以表示为 引入记号引入记号 , , 易证易证 , , 从而从而LagrangeLagrange插值多项式可表示为插值多项式可表示为 101()()()()nnniiinixPxyxxx)()()()(1101niiiiiiinxxxxxxxxx)()()(101ninxxx

5、xxxx（2）插值误差估计）插值误差估计 定理定理2 设设 在在 上连续，上连续， 在在 内存在内存在,节点节点 ， 是拉格朗日插值多项是拉格朗日插值多项式，则对任意式，则对任意 , 插值余项插值余项 其中其中 且依赖于且依赖于 .)()(xfn,ba)()1(xfn),(babxxxan10)(xPn,bax)()!1()()()()(1)1(xnfxPxfxRnnnn),(bax例2.求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式。解：用4次插值多项式对5个点插值 00112233442 04 36 58 410 1,xyx yxyx yxy0(4)(6)

6、(8)(10)1( )(4)(6)(8)(10)(2 4)(2 6)(2 8)(2 10)384xxxxl xxxxx 1(2)(6)(8)(10)1( )(2)(6)(8)(10)(4 2)(4 6)(4 8)(4 10)96xxxxl xxxxx2(2)(4)(8)(10)1( )(2)(4)(8)(10)(6 2)(6 4)(6 8)(6 10)64xxxxl xxxxx3(2)(4)(6)(10)1( )(2)(4)(6)(10)(8 2)(8 4)(8 6)(8 10)96xxxxl xxxxx4(2)(4)(6)(8)1( )(2)(4)(6)(8)(10 2)(10 4)(10

7、6)(10 8)384xxxxl xxxxx40 01 12 23 34 4( )( )( )( )( )( )P xy l xy l xy l xy l xy l x13(4)(6)(8)(10)(2)(6)(8)(10)3849654(2)(4)(8)(10)(2)(4)(6)(10)64961(2)(4)(6)(8)384xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx于是有于是有缺点缺点: 当增加或减少插值节点时当增加或减少插值节点时,基函数需要重新基函数需要重新 构造构造,不便于实际的计算使用不便于实际的计算使用 定义定义称称 为为 在在 两点处的两点处的一阶差商一阶差商. （1）差商定义差

8、商定义011201202, ,f x xf x xf x x xxx( )() ,ijijijf xf xf x xijxx( )f x四、四、 Newton插值法插值法,ijx x01112010, ,nnnnf x xxf x xxf x xxxx二阶差商二阶差商n 阶差商阶差商差商表差商表 一阶一阶差商差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商kx0 x1x2x3x4x()kf x0()f x2()f x1()f x3()f x4()f x01,f xx12,f x x23,f xx34,f x x012,f xx x123,f x xx234,f xx x0123,f xx

9、xx1234,f x xx x01234,f x x xx x(2) Newton插值公式插值公式 由差商定义由差商定义把以上各式由后向前代入把以上各式由后向前代入,可得可得 , xa b 000( )() ,()f xf xf x xxx001011 , ,()f x xf x xf x x xxx010101 , , , , , , ,()nnnnf x xxf x xxf x x xxx x00100101( )( ) , () , ,()()nnnN xf xf x x x xf x xxx xx x010( )( )( ) , , ,()()nnnnR xf xN xf x x xx

10、x xx x例2:已知求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。解: 1 2 3 4 0 -5 -6 3一阶差商二阶差商三阶差商 1 2 3 4 0 -5 -6 3 -5 -1 9 2 5 1xy( )if xix由上述差商表对角线上取得的值则牛顿三次插值多项式为 00101201230, ,5, , ,2, , , 1,f xf x xf x x xf x x x x)2)(1(2) 1(50)(xxxxNn) 3)(2)(1(xxx343xx五、五、 Hermite插值多项式插值多项式给定的是节点上的函数值和导数值给定的是节点上的函数值和导数值问题问题：已知：已知iiyxf)(iiyxf)(1

11、 , 0i求求3次多项式次多项式 ，使得，使得)(3xHiiyxH)(iiyxH)(1 , 0i120101010210101032121)(yxxxxxxxxyxxxxxxxxxH120101021010)()(yxxxxxxyxxxxxx *多项式插值的问题 前面介绍了构造插值公式的方法，并分析了它前面介绍了构造插值公式的方法，并分析了它们的余项。在实际应用插值函数作近似计算时，总们的余项。在实际应用插值函数作近似计算时，总希望插值公式余项希望插值公式余项 的绝对值小一些，即使得的绝对值小一些，即使得 逼近的精度好。从表达式看，似乎提高插值多项式逼近的精度好。从表达式看，似乎提高插值多项式

12、的次数便可达到目的，但实际上并非如此。的次数便可达到目的，但实际上并非如此。)(xR例如 给定函数取其等距节点 ， 构造的Lagrange插值多项式为当 时， 只能在 内收敛，而在这个区间以外是发散的。这种畸形现象通常叫做Runge现象。如下图所示。3.63x 1 100,1,ixi n in 21,55,1f xxx 201( )1nnijjpxlxxn( )npx六、六、 分段插值分段插值 所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。在每所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。在每个个 子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一，子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一，作为整个区间作为

13、整个区间 上的插值函数，即称为分段多项式。如果上的插值函数，即称为分段多项式。如果函数函数 在每个子段上都是在每个子段上都是 次式，则称为次式，则称为 次式。次式。1,iix x, a b kSxkk一般（低次：一般（低次：k=1,2,3）（1）分段线性插值的构造（）分段线性插值的构造（k=1) 易知易知 在每个子区间在每个子区间 上是一上是一次插值多项式次插值多项式分段线性插值的余项分段线性插值的余项其中其中1 , (0,1,)iix xin2( )( )( )8Mhf xxR x( )xmax( )a x bMfx 11111 iiiiiiiiiixxxxxxxyxxxxyx,)(（2）

14、分段抛物线插值（分段抛物线插值（K=2）（3） 分段三次分段三次 Hermite 插值插值(K=3)（4） 三次样条插值三次样条插值 在分段插值中，分段线性插值在节点上仅连续而不可在分段插值中，分段线性插值在节点上仅连续而不可导，分段三次埃尔米特插值有连续的一阶导数，如此光滑导，分段三次埃尔米特插值有连续的一阶导数，如此光滑程度常不能满足物理问题的需要，而引入的样条函数则可程度常不能满足物理问题的需要，而引入的样条函数则可以同时解决这两个问题以同时解决这两个问题,使插值函数既是低阶分段函数使插值函数既是低阶分段函数,又又是光滑的函数。是光滑的函数。 三次样条函数定义三次样条函数定义 给定区间给

15、定区间 的一个划分的一个划分 ，如果函数如果函数 满足：满足： ba,bxxxxann110)(xS（1）在每一小区间上是三次多项式；）在每一小区间上是三次多项式；（2）在每个内节点上具有二阶连续导数；）在每个内节点上具有二阶连续导数；（3）iiyxS)( 则称则称 是是 在该区间上关于该划分的一个三次在该区间上关于该划分的一个三次样条函数。样条函数。)(xs)(xf其中四个待定系数为其中四个待定系数为 , ,子区间共有子区间共有n n个所以要个所以要确定确定S(x)S(x)需要需要4n4n个待定系数。个待定系数。 另一方面另一方面, ,要求分段三次多项式要求分段三次多项式S(x)S(x)及其

16、导数及其导数 和和 在整个插值区间在整个插值区间 a,ba,b 上连续上连续, ,则要求它们在各个子区间的连接则要求它们在各个子区间的连接点点 上连续上连续，即满足条件即满足条件 由样条函数的定义可知由样条函数的定义可知, ,三次样条插值函数三次样条插值函数S(S(x x) )是一个是一个分段三次多项式分段三次多项式, ,要求出要求出S(S(x x),),在每个小区间在每个小区间 x xi i, ,x xi+1i+1 上要确定上要确定4 4个待定参数个待定参数, ,若用若用S Si i( (x x) )表示它在第表示它在第i i个子区间个子区间 x xi i, ,x xi+1i+1 上的表上的

17、表达式，则达式，则332210)(xaxaxaaxSiiiii1, 1 , 0ni3210,iiiiaaaa)(xS)(xS 110,nxxx（1 1）插值条件）插值条件 （2 2）连接条件）连接条件 式共给出了式共给出了4n-24n-2个条件个条件, ,而待定系数有而待定系数有4n4n个个, ,因此还需要因此还需要2 2个条个条件才能确定件才能确定S(x),S(x),通常在区间端点上通常在区间端点上 各加一个各加一个条件条件, ,称为边界条件称为边界条件, , 常用边界条件有三种类型。常用边界条件有三种类型。)()(iixfxSni, 1 , 0 ) 0() 0(1, 2 , 1) 0()

18、0() 0() 0( iiiiiixSxSnixSxSxSxSnxbxa,0第一种类型：给定两端点第一种类型：给定两端点 的一阶导数值：的一阶导数值： 第二种类型：给定两端点第二种类型：给定两端点f(x)f(x)的二阶导数值：的二阶导数值：作为特例作为特例, , 称为自然边界条件。满足自然边界称为自然边界条件。满足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。第三种类型：当第三种类型：当 是以为是以为 周期的函数时，则要求周期的函数时，则要求S(x)S(x)也是周期函数也是周期函数, ,这时边界条件应满足这时边界条件应满足当当 时，时， )()

19、(),()(00nnxfxSxfxS)()(),()(00nnxfxSxfxS 0)()(0 nxSxS0 xxn)()(0nxfxf)()(),()(00nnxSxSxSxS )(xf)(xf这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，就能得出件，就能得出4n4n个方程，可以惟一确定个方程，可以惟一确定4n4n个系数。从而得个系数。从而得到三次样条插值函数到三次样条插值函数S(x)S(x)在各个子区间在各个子区间 x xi i , x, xi+1i+1 上的表达上的表达式式S(S(x xi i）(i=1,2,)(i=1,2,)。但是

20、，这种做法当。但是，这种做法当n n较大时，计算较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。的构造方法。 三次样条插值函数的求法三次样条插值函数的求法设设S(x)S(x)在节点在节点x xi i处的二阶导数为处的二阶导数为因为在子区间因为在子区间 x xi-1i-1,x,xi i 上上 是三次多项是三次多项式式, ,所以所以 在此小区间上是在此小区间上是x x的线性函数的线性函数, ,且因为用线性且因为用线性插值插值, ,可知其表达式为可知其表达式为), 1 , 0()(niMxSii )()(xSxSi)(xS

21、iiiiMxSMxS )(,)(11iixxx,11iiixxh1111)( iiiiiiiiixxxxMxxxxMxS记记 ，则有，则有iiiiiiihxxMhxxMxS11)( 其中其中, ,A Ai i,B,Bi i为积分常数为积分常数, ,可利用插值条件可利用插值条件 确定确定, ,即要求即要求A Ai i,B,Bi i满足满足并记并记 ，则得，则得)()(6)(6)()(13131iiiiiiiiiiixxBxxAhxxMhxxMxS)()(),()(11iiiixfxSxfxS)(61)(),(61)(21211iiiiiiiiiiiixfhBhMxSxfhAhMxSiiiiyxf

22、yxf)(,)(112211611,611iiiiiiiiiihMyhBhMyhA连续两次积分得连续两次积分得iiiiiiihxxMhxxMxS6)(6)()(3131iiiiiiiiiihxxhMyhxxhMy)(6)(612211),2, 1,(1nixxxii由上讨论可知由上讨论可知, ,只要确定只要确定 这这n+1n+1个值个值, , 就可定出就可定出三样条插值函数三样条插值函数S(xS(x) )。为了求出。为了求出 , ,利用一利用一阶导数在子区间连接点上连续的条件阶导数在子区间连接点上连续的条件 ，求导一次求导一次, ,得在区间得在区间 x xi-1i-1,x,xi i 上的表达式

23、为上的表达式为 nMMM,10), 1 ,0(niMi)0()0(iixSxS)(62)(2)()(112121iiiiiiiiiiiiiMMhhyyhxxMhxxMxS也就是在右端点也就是在右端点x xi i上有上有 iiiiiiiiiihyyMMhMhxS11)(62) 0(iiiiiiihyyMhMh1136在左端点在左端点x xi-1i-1上有上有 iiiiiiiiiihyyMMhMhxS1111)(62) 0(iiiiiiihyyMhMh1163将上式中的将上式中的i-1i-1改为改为i,i,即得在子区间即得在子区间 x xi i,x,xi+1i+1 上的表上的表达式达式 , ,并由

24、此得并由此得 )(1xSi) 0(1iixS1111163iiiiiiihyyMhMh利用利用 在内接点的连续性在内接点的连续性, ,即即就可得到关于参数就可得到关于参数 的一个方程的一个方程)(xS) 0() 0(1iiiixSxS11,iiiMMMiiiiiiiiiiiiihyyhyyMhMhhMh11111 11636) 1, 2 , 1(ni上式两边同乘以上式两边同乘以 , ,即得方程即得方程 16iihhiiiiiiiiiiiiiiiiihyyhyyhhMhhhMMhhh111 11 111 162iiiiiiiiiiiiiiiixxfxxfhhghhhhhh,61111111若记若

25、记 则所得方程可简写成则所得方程可简写成 iiiiiigMMM112)1,2, 1(ni11121232212121101222nnnnnngMMMgMMMgMMM即即 这是一个含有这是一个含有n+1n+1个未知数、个未知数、n-1n-1个方程的线性方程组个方程的线性方程组. .要完要完全确定全确定 的值还需要补充两个条件的值还需要补充两个条件, ,这两这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间 a,ba,b 的两个的两个端点处的边界条件来补充。边界条件的种类很多，常见的有端点处的边界条件来补充。边界条件的种类很多，常见的有以下以下3 3种：种：

26、), 1 ,0(niMi第一种边界条件：即已知插值区间两端的一阶导数值：第一种边界条件：即已知插值区间两端的一阶导数值： 则可得到包含则可得到包含M Mi i的两个线性方程的两个线性方程,S(x),S(x)在子区间在子区间 上的导数为上的导数为)()(),()(00nnxfxSxfxS10, xx)(62)(2)()(011101120112101MMhhyyhxxMhxxMxS由条件由条件 得得 000)()(yxfxS)(62011101100MMhhyyhMy)(620101110yhyyhMM即即 同理同理, ,由条件由条件 得得 nnnyxfxS)()()(6211nnnnnnnhy

27、yyhMM即得确定即得确定 的线性方程组的线性方程组 nMMM,10nnnnnnggggMMMM1101101111212212),(6),(6101010nnnnnxxfyhgyxxfhg其中其中第二种边界条件第二种边界条件: :即已知插值区间两端的二阶导数值即已知插值区间两端的二阶导数值: : , ,由于在区间端点处二阶导数由于在区间端点处二阶导数 ，所以方程中实际上只包含有，所以方程中实际上只包含有n-1n-1个未知数个未知数 ，从而得方程组从而得方程组 nnyxSyxS )(,)(00nnyMyM ,00121,nMMM nnnnnnnnnygggygMMMM1122011122112

28、22212222第三种边界条件第三种边界条件: :由由 与与 ，可得，可得 和和 )0()0(0 nxSxS) 0() 0(0nxSxSnMM0nnnnngMMM211),(61110111nnnnnnnnnnnxxfxxfhhghhhhhh其中其中得关于得关于 的线性方程组。的线性方程组。 nMMM,21nnnnnnnnggggMMMM1211211122112222 利用线性代数知识利用线性代数知识, ,可以证明方程组的系数矩阵都是非奇可以证明方程组的系数矩阵都是非奇异的，因此有惟一解。异的，因此有惟一解。 用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度，而且当用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑

29、度，而且当节点逐渐加密时，其函数值在整体上能很好地逼近被插函数节点逐渐加密时，其函数值在整体上能很好地逼近被插函数，相应的导数值也收敛于被插函数的导数，不会发生龙格现，相应的导数值也收敛于被插函数的导数，不会发生龙格现象。因此三次样条在计算机辅助设计中有广泛的应用。象。因此三次样条在计算机辅助设计中有广泛的应用。用用MATLABMATLAB作插值计算作插值计算一维插值函数：一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值点被插值点插值节点插值节点xixi处的插处的插值结果值结果nearest ：最邻近插值：最邻近插值linear ： 线性插值；线性插值；s

30、pline ： 三次样条插值；三次样条插值；cubic ： 立方插值。立方插值。缺省时：缺省时： 分段线性插值。分段线性插值。 注意：所有的插值方法都要求注意：所有的插值方法都要求x x是单调的，并且是单调的，并且xi不不能够超过能够超过x的范围。的范围。 例：在例：在1-121-12的的1111小时内，每隔小时内，每隔1 1小时测量一次小时测量一次温度，测得的温度依次为：温度，测得的温度依次为：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727，2424。试估计每隔。试估计每隔1/101/10小时的小时的温度值。温度值。x=1:12;y=5

31、 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;xi=1:0.1:12;yi=interp1(x,y,xi,spline); plot(x,y,+,xi,yi,r)0246810125101520253035 三次样条插值的三次样条插值的Matlab实现实现 如果三次样条插值没有边界条件，最常用的方法，就是如果三次样条插值没有边界条件，最常用的方法，就是采用非扭结（采用非扭结（not-a-knot）条件。这个条件强迫第）条件。这个条件强迫第1个和第个和第2个三次多项式的三阶导数相等。对最后一个和倒数第个三次多项式的三阶导数相等。对最后一个和倒数第2个个三次多项式也做同样地处理。

32、三次多项式也做同样地处理。Matlab中三次样条插值也有现成的函数：中三次样条插值也有现成的函数：y=interp1(x0,y0,x,spline)；y=spline(x0,y0,x)；pp=csape(x0,y0,conds),pp=csape(x0,y0,conds,valconds)，y=ppval(pp,x)。其中其中x0,y0是已知数据点，是已知数据点，x是插值点，是插值点，y是插值点的函数值是插值点的函数值。对于三次样条插值，我们提倡使用函数对于三次样条插值，我们提倡使用函数csape，csape的返的返回值是回值是pp形式，要求插值点的函数值，必须调用函数形式，要求插值点的函数值

33、，必须调用函数ppval。pp=csape(x0,y0)：使用默认的边界条件，即：使用默认的边界条件，即Lagrange边边界条件。界条件。pp=csape(x0,y0,conds,valconds)中的中的conds指定插值的指定插值的边界条件，其值可为：边界条件，其值可为：complete 边界为一阶导数，一阶导数的值在边界为一阶导数，一阶导数的值在valconds参参数中给出，若忽略数中给出，若忽略valconds参数，则按缺省情况处理。参数，则按缺省情况处理。not-a-knot 非扭结条件非扭结条件periodic 周期条件周期条件second 边界为二阶导数，二阶导数的值在边界为二

34、阶导数，二阶导数的值在valconds参数参数中给出，若忽略中给出，若忽略valconds参数，二阶导数的缺省值为参数，二阶导数的缺省值为0, 0。variational 设置边界的二阶导数值为设置边界的二阶导数值为0,0。对于一些特殊的边界条件，可以通过对于一些特殊的边界条件，可以通过conds的一个的一个12矩矩阵来表示，阵来表示，conds元素的取值为元素的取值为0，1，2。conds(i)=j的含义是给定端点的含义是给定端点i的的j 阶导数，即阶导数，即conds的第一的第一个元素表示左边界的条件，第二个元素表示右边界的条件个元素表示左边界的条件，第二个元素表示右边界的条件conds=

35、2,1表示左边界是二阶导数，右边界是一阶导数，表示左边界是二阶导数，右边界是一阶导数，对应的值由对应的值由valconds给出。给出。最小二乘拟合 已知一批离散数据已知一批离散数据 ( (x xi i, , y yi i), ), i i=0,1,.,=0,1,.,n n，且，且 x x0 0 x x1 1 x xn n, , 寻找一个函数寻找一个函数 f(x)，使使达到最小达到最小. . 这个过程称为最小二乘拟合这个过程称为最小二乘拟合, , f(x) 称为拟合函数称为拟合函数. . niiiyxf02)(线性拟合 若设拟合函数f(x)=b+ax，则有令niiiyaxbba02)(),(,

36、0)(2, 0)(200niiiiniiixyaxbayaxbb即即.,) 1(002000niiiniiniiniiniiyxaxbxyaxbn这是一个关于这是一个关于a a, , b b的的2 2元线性方程组元线性方程组. . 求解即可得到求解即可得到f f( (x x) )的表达式的表达式. .（2 2）多项式拟合）多项式拟合 有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直线有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直线, ,这时这时仍用直线拟合显然是不合适的仍用直线拟合显然是不合适的, ,可用多项式拟合。对于给定可用多项式拟合。对于给定的一组数据的一组数据 寻求次数不超过寻求次数不超过m m

37、 (mN ) (mN ) 的多项式，的多项式， Niyxii,2,1,mnxaxaxaay2210来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的平方和平方和201)(jimjjNiixay为最小为最小由于由于 可以看作是关于可以看作是关于 ( j=0,1,2, m)( j=0,1,2, m)的多元函数的多元函数, , 故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。令问题。令201)(jimjjNiixaymkak,2, 1 ,0,0得得 mkxxaykijimjjNii, 1 , 0, 0)(01

38、即有即有 imimimmimiiimimiiimimiyxxaxaxayxxaxaxayxaxaNa2110121010这是关于系数这是关于系数 的线性方程组，通常称为正规方的线性方程组，通常称为正规方程组。可以证明，正规方程组有惟一解。程组。可以证明，正规方程组有惟一解。 ja可化为线性拟合的非线性拟合可化为线性拟合的非线性拟合 有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点线拟合问题，一般先按观测

39、值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。线拟合方程。 下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的曲下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的曲线拟合方程及变换关系线拟合方程及变换关系 曲线拟合方程曲线拟合方程 变换关系变换关系 变换后线性拟合方程变换后线性拟合方程baxy xxyyln,ln)ln

40、(aaxbaycaxyxx cxaybaxxyxxyy1,1xbaybaxy1yy1axbycbxaxy21yy1cbxaxy2cbxaxxy2yxy cbxaxy2多项式曲线拟合函数多项式曲线拟合函数：polyfitpolyfit( )( )调用格式调用格式：p=polyfit(x,y,np=polyfit(x,y,n) ) p,s= polyfit(x,y,np,s= polyfit(x,y,n) )说明：说明：x,yx,y为数据点，为数据点，n n为多项式阶数，返回为多项式阶数，返回p p为幂次从高到低为幂次从高到低的多项式系数向量的多项式系数向量p p。矩阵。矩阵s s用于生成预测值的

41、误差估计。用于生成预测值的误差估计。 例例2 2：由离散数据x0.1.2.3.4.5.6.7.8.91y.3.511.4 1.6 1.9 .6.4.81.5 2拟合出多项式。 x=0:.1:1;x=0:.1:1;y=.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2y=.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2n=3;n=3;p=polyfit(x,y,np=polyfit(x,y,n) )xi=linspace(0,1,100);xi=linspace(0,1,100);z=polyval(p,xiz=polyval(p,xi);); plot(x

42、,y,o,xi,z,k:,x,y,bplot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b)二维插值的定义二维插值的定义 xyO O第一种（网格节点）：第一种（网格节点）： 注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。分片线性插值。最邻近插值最邻近插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O 二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。节点的函数值即为所求。 将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：分片线性插值分片线性插值xy (xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)