统计物理学基础2

1、大学物理（上）大学物理（上） 主讲人：吕波主讲人：吕波75 能量按自由度均分的统计规律能量按自由度均分的统计规律一、分子运动的自由度一、分子运动的自由度l定义：定义：确定一个物体的空间位置所需要的独确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目立坐标数目自由度。自由度。l质点的自由度质点的自由度直线运动直线运动 x 一个自由度一个自由度 i=1平面运动平面运动 x,y 两个自由度两个自由度 i=2空间运动空间运动 x,y,z 三个自由度三个自由度 i=3l自由刚体自由刚体i=6 3 3个平动个平动 3 3个转动个转动一个坐标一个坐标q q 决定刚体转过的角度决定刚体转过的角度两个独立的两个独立的a

2、 a， b b 决定转轴空间位置决定转轴空间位置三个独立的坐标三个独立的坐标 x,y,z 决定转轴上一点决定转轴上一点xyzOA(x,y,z)xyza ab bq ql刚性杆：刚性杆：x,y,z, i=5l刚体定轴转动：刚体定轴转动： i=1l 分子的自由度分子的自由度单原子（单原子（看作看作自由质点）自由质点）i=3双原子（双原子（看作看作刚性杆）刚性杆） i=5多原子（多原子（看作看作自由刚体）自由刚体）i=6A(x,y,z)xyza ab bq ql 一个分子的平均平动动能为一个分子的平均平动动能为二、能量按自由度均分定理：二、能量按自由度均分定理：kTkt23 222221212121

3、zyxkvmvmvmvm 222231vvvvzyx kTvmvmvmzyx21212121222 结论：结论：分子的每一个平动自由度上具有相同的平均平动动分子的每一个平动自由度上具有相同的平均平动动能，都是能，都是kT/2 ，或者说分子的平均平动动能，或者说分子的平均平动动能3kT/2是均匀地是均匀地分配在分子的每一个自由度上分配在分子的每一个自由度上平方项的平均值平方项的平均值平动自由度平动自由度能量按自由度均分定理：能量按自由度均分定理：说明：说明：是统计规律，只适用于大量分是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。子组成的系统。 气体分子无规则碰撞的结果。气体分子无规则碰撞的结果。统计物

4、理可给出严格证明。统计物理可给出严格证明。推广：推广：在温度为在温度为T 的平衡态下，分子的每一个转动自由度的平衡态下，分子的每一个转动自由度上也具有相同的平均动能，大小也为上也具有相同的平均动能，大小也为kT/2。在温度为在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于的平均动能都相等，都等于kT/2。这就是这就是能量能量按自由度均分定理按自由度均分定理，简称，简称能量均分定理。能量均分定理。单原子分子单原子分子 i=3 k=3kT/2 双原子分子双原子分子 i=5 k=5kT/2多原子分子多原子分子 i=6 k=6kT/2kTik2 1、热力学

5、系统的内能、热力学系统的内能热力学系统的内能是指气体分子各种形态的动能与势能的总和。热力学系统的内能是指气体分子各种形态的动能与势能的总和。即系统所包含的全部分子的能量总和称为系统的内能。即系统所包含的全部分子的能量总和称为系统的内能。三、理想气体的内能三、理想气体的内能2、理想气体内能公式、理想气体内能公式理想气体内能是所有分子的动能之和理想气体内能是所有分子的动能之和分子的自由度为分子的自由度为i，则一个，则一个分子能量为分子能量为ikT/2， 1摩尔理摩尔理想气体，有个想气体，有个NA分子，内分子，内能能RTiNkTiEA22 m/M摩尔理想气体，内能摩尔理想气体，内能RTiME2说明：

6、说明：理想气体的内能与温度和分子的理想气体的内能与温度和分子的自由度有关。自由度有关。内能仅是温度的函数，即内能仅是温度的函数，即E=E(T)，与与P，V无关。无关。状态从状态从T1T2,不论经过什么过程，不论经过什么过程，内能变化为内能变化为)(21212TTRiMEEE例：求水蒸汽分解为同温度下的氧气和氢气时例：求水蒸汽分解为同温度下的氧气和氢气时,其内能其内能增加的百分数增加的百分数分子的自由度分子的自由度 6 5 5内能内能2152215内能增加的百分数内能增加的百分数626255276 气体速率分布的统计规律气体速率分布的统计规律引言：引言：气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，

7、每个分气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律一定的统计规律气体速率分布律气体速率分布律。气体分子按速率分布的统计规律最早是有气体分子按速率分布的统计规律最早是有麦克斯韦麦克斯韦于于1859年年在概率论的基础上导出的，在概率论的基础上导出的，1877年年玻耳兹曼玻耳兹曼由经典统计力学由经典

8、统计力学中导出，中导出，1920年年斯特恩斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率从实验中证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律。分布的统计规律。麦克斯韦（麦克斯韦（James Clerk Maxwell 18311879)19世纪伟大的英世纪伟大的英国物理学家、数国物理学家、数学家。经典电磁学家。经典电磁理论的奠基人，理论的奠基人，气体动理论的创气体动理论的创始人之一。始人之一。 他提出了有旋电场和位移电流概念，建他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，预言了以光速传播立了经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波的存在。的电磁波的存在。1873年，他的年，他的电磁学通论电磁学通论问世

9、，这问世，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的是一本划时代巨著，它与牛顿时代的自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理并驾齐驱，它并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。是人类探索电磁规律的一个里程碑。1859年，在气体动理论方面，他还提出年，在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分布的统计规律。气体分子按速率分布的统计规律。设有设有N=100个分子，速率范围：个分子，速率范围：0 300 ms-1 v11000sm1200100sm1300200smN205030NN0.20.50.3葛正权简介葛正权简介 年毕业于南京高等师范工科，年毕业于南京高等师范工科，1929年年自费赴美留学，在南加州

10、大学攻读物理，自费赴美留学，在南加州大学攻读物理，1930年年获硕士学位后，入旧金山加州大学伯克利研究院获硕士学位后，入旧金山加州大学伯克利研究院攻读博士学位，研究课题是攻读博士学位，研究课题是“用分子束方法证明麦用分子束方法证明麦克斯韦波尔兹曼分子速率分布定律实验克斯韦波尔兹曼分子速率分布定律实验”，1933年完成重要学术论文年完成重要学术论文用分子束方法证明麦克斯韦用分子束方法证明麦克斯韦 -波尔兹曼分子速率分布定律，并测定双原子的铋分波尔兹曼分子速率分布定律，并测定双原子的铋分子的分解热子的分解热获物理学博士及美国物理学会和数学获物理学博士及美国物理学会和数学学会金钥匙各一枚。学会金钥匙

11、各一枚。 年回国，先后在武汉大学年回国，先后在武汉大学.解放军第二军解放军第二军医大学任教，积极从事教学、科研工作医大学任教，积极从事教学、科研工作,指导制成国指导制成国内第一架内第一架脑电波直流放大器脑电波直流放大器，装配成，装配成50万倍的万倍的 场场效应电子显微镜效应电子显微镜 并与一机部、上海照相器材厂等合并与一机部、上海照相器材厂等合作研制作研制静电复印机静电复印机。 年月因病逝世。年月因病逝世。葛正权关于气体分子速率的实验测定葛正权关于气体分子速率的实验测定OS1S2 银原子从小炉银原子从小炉O上小孔逸出，通过狭缝上小孔逸出，通过狭缝S1，S2进进入真空区域，圆筒入真空区域，圆筒C

12、可绕中心轴可绕中心轴A旋转，通过狭缝旋转，通过狭缝S3进入圆筒的分子束将投射并粘附在玻璃板进入圆筒的分子束将投射并粘附在玻璃板G上，上，用仪器可测定到达玻璃板上任一部分的分子数。用仪器可测定到达玻璃板上任一部分的分子数。分子仅能在狭缝分子仅能在狭缝S3穿过分子束的短暂时间间隔内穿过分子束的短暂时间间隔内进入圆筒，圆筒以顺时针方向旋转，当这些分子进入圆筒，圆筒以顺时针方向旋转，当这些分子穿越圆筒直径时，玻璃板穿越圆筒直径时，玻璃板G向右移动，则分子速向右移动，则分子速率愈小，其撞击点愈偏左。玻璃板变黑程度就是率愈小，其撞击点愈偏左。玻璃板变黑程度就是分子束的分子束的“速率谱速率谱”。如圆筒直径为

13、。如圆筒直径为D，转速，转速 ，撞击点撞击点P离离B距离为距离为LBAGS3CP则分子穿越直径的时间为 t=D/ t时间內P点的角位移qq= t L= Dqq/2= D2/（2 ） = D2/（2L） 式中式中D、 一定，一定， 愈小则愈愈小则愈L大，即撞击点愈偏左大，即撞击点愈偏左 实验结果：实验结果：分子数在总分子数中所占的比分子数在总分子数中所占的比率与速率和速率间隔的大小有率与速率和速率间隔的大小有关；关；速率特别大和特别小的分子数速率特别大和特别小的分子数的比率非常小；的比率非常小；在某一速率附近的分子数的比在某一速率附近的分子数的比率最大；率最大；改变气体的种类或气体的温度改变气体

14、的种类或气体的温度时，上述分布情况有所差别，时，上述分布情况有所差别，但都具有上述特点。但都具有上述特点。一、速率分布函数一、速率分布函数1、速率分布函数的定义：、速率分布函数的定义：一定量的气体分子总数为一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区表示速率分布在某区间间 vv+dv内的分子数，内的分子数， dN/N表示分布在此区间内表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率。的分子数占总分子数的比率。实验规律：实验规律：dN/N 是是 v 的函数；的函数；当速率区间足够小时（宏观小，微观大）当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与区间大小还应与区间大小dv成正比。成正比。d

15、vvfNdN)( NdvdNvf )(速率分布函数速率分布函数2、物理意义：、物理意义：速率在速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。的比率。 100 dvvfNdNNNdNdvvf )(表示速率分布在表示速率分布在vv+dv内的内的分子数占总分子数的比率分子数占总分子数的比率 21)(vvdvvfNdN表示速率分布在表示速率分布在v1v2内的分内的分子数占总分子数的子数占总分子数的比率比率3、速率分布曲线、速率分布曲线归一化条件归一化条件在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布

16、在任一速率区间一速率区间 vv+dv 的分子数占总分子数的比率为的分子数占总分子数的比率为dvvekTmNdNkTmvv2223224 2223224vekTmvfkTmv麦克斯韦麦克斯韦速率分布函数速率分布函数m分子的质量分子的质量T热力学温度热力学温度k玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量vPv v+dvv面积面积= dN/Nf(v)f(vP)曲线下面宽度为曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于的小窄条面积等于分布在此速率区间分布在此速率区间内的分子数占总分内的分子数占总分子数的概率子数的概率dN/N 。二、麦克斯韦气体分子速率分布律二、麦克斯韦气体分子速率分布律定义：定义：与与 f( (v) )极大

17、值相对应的速率，称为最概然速率。极大值相对应的速率，称为最概然速率。物理意义：物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在则分布在vP所在所在区间的分子数比率最大。区间的分子数比率最大。 vP的值：的值： 0dvvdfRTRTmkTvp41. 1 22三、三、麦克斯韦速率分布律的应用麦克斯韦速率分布律的应用1、最可几速率、最可几速率2、平均速率、平均速率定义：定义：大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。NvNNvNviiiii 计算：计算：NvdNv dvvNfdN)( dvvvfNdvvvNf

18、NvdNv)()(RTRTmkTv60. 1 8 83、方均根速率、方均根速率定义：定义：大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。NvNNvNviiiii 222计算：计算： dvvfvNdvvNfvNdNvv)()(2222 73. 1 3 32RTRTmkTv4、讨论、讨论vp 随随 T 升高而增大升高而增大，随，随m 增大而减小。增大而减小。三种速率的大小顺序为三种速率的大小顺序为 rmspvvv 三种速率的意义三种速率的意义讨论速率分布时讨论速率分布时用最概然速率用最概然速率讨论分子碰撞时讨论分子碰撞时用平均速率用平均速率

19、讨论分子平均平动动能时讨论分子平均平动动能时用方均根用方均根速率速率都含有统计的平均意义，反映大量分子作热都含有统计的平均意义，反映大量分子作热运动的统计规律。运动的统计规律。21mm ov)(vf1Pv2Pvm 2m 1T 112TT ov)(vf1Pv2PvT 2说明下列各量的物理意义：说明下列各量的物理意义：dvvf)(.1dvvNf)(.2dvvnf)(. 3 21)(.4vvdvvf 21)(.5vvdvvNf 0)(.6dvvf 02)(.7dvvfv 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。 单位体积内分子速率分布在速率单位体

20、积内分子速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v速速率区间内的分子数。率区间内的分子数。dNdvvNf )(. 2VdNNdNVNdvvnf )(. 3解：解： 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v 速率区间内的分子数占速率区间内的分子数占总分子数的比率。总分子数的比率。NdNdvvf )(.1NdvdNvf )( )()(2121)(.4vNvNvvNdNdvvf 分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分内的分子数占总分子数的比率。子数的比率。 )()(2121)(.5vNvNvvdNdvvNf 分布在有限速率区间分布在有限速率区间 v1 v2 内的分子数。内的分子数。1)(.60 dvvf 分布在分布在 0 速率区间速率区间内的分子数占总分子数的比率。内的分子数占总分子数的比率。（ 归一化条件）归一化条件）202)(.7vdvvfv v2 的平均值。的平均值。* 玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律 hh+dhpP+dpnkTp 一、重力场中粒子按高度的分布一、重力场中粒子按高度的分布在重力场中，大气分子受重力和热运动的双